高考数学一轮对数与对数函数

[最新考纲]

内容 A 对数 对数函数的图象与性质 要求 B √ √ C

1．对数的概念

如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． logcb

(2)换底公式：logab＝loga(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

c

(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

M

②logaN＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数 a＞1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 1

0＜a＜1

当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 在(0，＋∞)上为增函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.( ) (2)当x＞1时，logax＞0.( )

(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( ) (4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1

a，－1，函数图象不在第二、三象限．( ) 

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(2017·启东中学高三第一次月考)函数f(x)＝________．

2logx－1>0211

0，2∪(2，＋∞) [由得02.] x>0，

当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为减函数 1

定义域为2log2x－1

11

3．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知loga＋loga＝2，则a＝________.

2311

6 [∵loga＋loga＝2，

23∴loga2＋loga3＝2， ∴loga6＝2， ∴a2＝6，a>0， ∴a＝6.]

2

4．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图9-1，则下列结论成立的是________．(填序号)

图9-1

①a＞1，c＞1； ②a＞1,0＜c＜1； ③0＜a＜1，c＞1； ④0＜a＜1,0＜c＜1.

④ [由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]

3

5．(教材改编)若loga4＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 333

0，4∪(1，＋∞) [当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；

443

当a＞1时，loga4＜logaa＝1，∴a＞1. 3

即实数a的取值范围是0，4∪(1，＋∞)．]



对数的运算 11 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．

ab

10

(2)(2017·南通第一次学情检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝3，ab＝ba，则a＋b＝________.

(1)10 (2)43 [(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， 1111

∴a＋b＝logm＋logm＝logm2＋logm5＝logm10＝2，

25

3

∴m＝10. 1

(2)∵logba＝logb，

a

101

∴由logab＋logba＝3得logab＝3或logab＝3. 1

又∵a>b>1，∴logab＝3，即a＝b3. 又ab＝ba，∴a＝3b，∴a＝33，b＝3， ∴a＋b＝43.]

[规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．

2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．

3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．

x

2，x≥4，

[变式训练1] (1)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为

fx＋1，x＜4，

________．

(2)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.

43

(1)24 (2)3 [(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24.

1

(2)∵a＝log43＝log223＝2log23＝log23， ∴2

a

＋2－a＝2log2

3＋2－log2

3＝

3＋2log23 3343

＝3＋3＝3.]

对数函数的图象及应用 4

(1)(2017·南通二调)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1，b∈R)的

2所示，则a＋b的值是________． 图象如图9-

图9-2

log2x，x＞0，(2)已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有

3，x≤0，一个实根，则实数a的取值范围是________. 【导学号：62172048】

9

(1)2 (2)(1，＋∞) [(1)由题图可知

logab－3＝0，19解得b＝4，a＝2，∴a＋b＝2. logab＝－2，

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]

[规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．

2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

5

[变式训练2] 如图9-3，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝________.

图9-3

3 [由题意知等边△ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m＋3，n＋1)．又A，B两点均在函数y＝log2x＋2的图象上，故有log2m＋2＝n，解得m＝3.] log2m＋3＋2＝n＋1，

☞角度1 比较对数值的大小

(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则下列选项中正确的是

________．(填序号)

①logac＜logbc； ②logca＜logcb； ③ac＜bc； ④ca＞cb.

lg clg c

② [对于①：logac＝lg a，logbc＝lg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.而a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴logac与logbc的大小不能确定．对于lg alg b1

②：logca＝lg c，logcb＝lg c，而lg a＞lg b，两边同乘一个负数lg c不等号方向改变，∴logca＜logcb，∴②正确．对于③：利用y＝xc(0＜c＜1)在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，∴③错误．对于④：利用y＝cx(0＜c＜1)在R上为减函数，可

对数函数的性质及应用

6

得ca＜cb，∴④错误．]

☞角度2 解简单的对数不等式

(2016·浙江高考改编)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则

下列说法正确的是________．(填序号)

①(a－1)(b－1)<0； ②(a－1)(a－b)>0； ③(b－1)(b－a)<0； ④(b－1)(b－a)>0.

④ [法一：logab＞1＝logaa， 当a＞1时，b＞a＞1；

当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有④正确． 法二：取a＝2，b＝3，排除①，②，③，故选④.] ☞角度3 探究对数型函数的性质

已知函数f(x)＝loga(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)

在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 【导学号：62172049】

[解] 假设存在满足条件的实数a.

∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x的减函数． 又f(x)＝loga(3－ax)在[1,2]上是关于x的减函数， ∴函数y＝logau是关于u的增函数， ∴a＞1，x∈[1,2]时，u最小值为3－2a，

3－2a＞0，

f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴

loga3－a＝1，

7

3a＜2，即3

a＝2，

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

[思想与方法]

1．对数值取正、负值的规律

8

当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，logab＞0； 当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，logab＜0.

2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．

3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．

4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．

[易错与防范]

1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．

2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．

3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．

课时分层训练(九)

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、填空题

51－1

1．lg 2＋2lg 2－2＝________.



51－1 [lg 2＋2lg 2－2－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2



9

＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]

2．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________.

【导学号：62172050】

(－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图

所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]

3．函数y＝

2

log32x－1的定义域是________．

11

2，1 [由log2(2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒＜x≤1.]

23

4．已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．

a＝b＞c [因为a＝log23＋log2

3

3＝log233＝2log23＞1，b＝log29－log23

＝log233＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c.]

5．若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图9-4所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)

图9-4

① ② ③ ④

② [由题图可知y＝logax的图象过点(3,1)，

10

∴loga3＝1，即a＝3.

1

选项①，y＝3－x＝3x在R上为减函数，错误；

选项②，y＝x3符合；

选项③，y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误； 选项④，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．]

log2x，x＞0，1

6．已知函数f(x)＝－x则f(f(1))＋flog32的值是________.

3＋1，x≤0，

【导学号：62172051】

5 [由题意可知f(1)＝log21＝0， f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，

11log3－flog32＝3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3， 2

1

log所以f(f(1))＋f32＝5.] 

7．已知函数y＝log2(ax－1)在(2,4)上单调递增，则a的取值范围是____________．

a＞0，1

2，＋∞ [由函数y＝log2(ax－1)在(2,4)上单调递增，得 解2－1＞0，a·1得a＞2，

1

则a的取值范围是2，＋∞.]



1

8．(2017·苏锡常镇调研二)已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(loga3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________. 【导学号：62172052】

(0,1)∪(3，＋∞) [∵f′(x)＝3x2＋2>0， ∴f(x)为R上的递增函数，

11

又f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．

11

由f(1)＋floga3>0得f(1)>－f(log3)＝f(loga3)，

a∴loga3<1，即a>3或09．(2017·盐城期中)设函数f(x)＝lg(x＋1＋mx2)是奇函数，则实数m的值为________．

1 [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴lg(－x＋1＋mx2)＋lg(x＋

1＋mx2)＝lg(1＋mx2－x2)＝0，

∴(m－1)x2＝0，即m＝1.]

10．(2017·无锡期中)若函数f(x)＝ln|x－a|(a∈R)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)在(－∞，m)单调递减，则实数m的最大值等于________．

3 [由f(3＋x)＝f(3－x)可知，f(x)关于x＝3对称，又f(x)＝ln|x－a|的图象关于x＝a对称，

所以a＝3，

结合题意可知，实数m的最大值为3.] 二、解答题

11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； 3

(2)求f(x)在区间0，2上的最大值．

[解] (1)∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a＞0，a≠1)， ∴a＝2.

12

1＋x＞0，由得x∈(－1,3)， 3－x＞0，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1,1)时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

3

0，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 2

12．f(0)＝0，f(x)＝已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)＞－2. 【导学号：62172053】 1

[解] (1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log2(－x)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)的解析式为

x.



f(x)＝0，x＝0，

log－x，x＜0.

logx，x＞0，

2112

(2)因为f(4)＝4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|＜4，解得－5＜x＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．

13

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．已知点(n，an)(n∈N＋)在y＝ex的图象上，若满足当Tn＝ln a1＋ln a2＋…＋ln an＞k时，n的最小值为5，则k的取值范围是________．

10≤k＜15 [因为点(n，an)在y＝ex的图象上，所以an＝en，所以Tn＝

nn＋1nn＋112n

ln(ee…e)＝2，由2＞k时n的最小值为5，即

44＋1

2≤k，得10≤k＜15.]



55＋1

2＞k，

解

－x＋6，x≤2，

2．(2017·南京模拟)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是

3＋logax，x>2[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

(1,2] [当x≤2时，y＝－x＋6≥4.∵f(x)的值域为[4，＋∞)， ∴当a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，∴loga2≥1， ∴1当03．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的解集． [解] (1)要使函数f(x)有意义， x＋1＞0，则解得－1＜x＜1. 1－x＞0，故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．

14

(2)证明：f(x)为奇函数，由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．

(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f(x)＞0⇔

x＋1

＞1，解得0＜x＜1， 1－x

所以使f(x)＞0的x的解集是(0,1)． 4．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

[解] (1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函数f(x)的定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

15

a＞0，

因此应有3a－1

a＝1，

1

解得a＝2. 1

故存在实数a＝2使f(x)的最小值为0.

16