2020年中考数学专题训练5.二次函数压轴题(含解析)

1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0(2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值；

(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O3

逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP2、BP2，求AP2＋2BP2的最小值．

图① 图②

第1题图

解：(1)∵A(4，0)在抛物线上， 1∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－2；

1

13

(2)由(1)可知抛物线解析式为y＝－2x2＋2x＋2，令x＝0可得y＝2， ∴OB＝2， ∵OP＝m， ∴AP＝4－m， ∵PM⊥x轴， ∴△OAB∽△PAN， OBPN2PN∴OA＝PA，即4＝，

4－m1

∴PN＝2(4－m)， ∵M在抛物线上， 123

∴PM＝－2m＋2m＋2， ∵PN∶MN＝1∶3， ∴PN∶PM＝1∶4，

131

∴－2m2＋2m＋2＝4×2(4－m)， 解得m＝3或m＝4(舍去)， 即m的值为3；

OQ3

(3)如解图，在y轴上取一点Q，使OP＝2，

2

2

第1题解图

由(2)可知P1(3，0)，且OB＝2， OP23

∴OB＝2，且∠P2OB＝∠QOP2， ∴△P2OB∽△QOP2， QP2OP23∴BP＝OB＝2，

2

93

∴当Q(0，2)时，QP2＝2BP2， 3

∴AP2＋2BP2＝AP2＋QP2≥AQ，

∴当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值， 9

又∵A(4，0)，Q(0，2)，

921454＋（2）＝2，

2

∴AQ＝ 3

3145

即AP2＋2BP2的最小值为2.

2. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于

A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PN⊥x轴于N，交直线BC于M. (1)求二次函数表达式及顶点D的坐标； (2)当PM＝MN时，求点P的坐标；

(3)设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HE＋HF的值为定值，并求出这个定值．

第2题图

解：(1)∵A(－2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将A，B点代入二次函数表达式中，

4a＋（－2）b＋4＝0得， 16a＋4b＋4＝0

4

解得a＝－1

2， b＝1

∴二次函数的表达式为y＝－12x2

＋x＋4， 将其化为顶点式为y＝－12(x－1)2

＋92， ∴顶点D的坐标为(1，9

2)；

(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0，4)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0)，将点B(4，4k＋c＝0c＝4，解得k＝－1

c＝4， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，(5分) ∵点P在x轴上方的抛物线上，

∴设点P的坐标为(t，－12t2

＋t＋4)(－2＜t＜4)， ∵PN⊥x轴于N， ∴点N的坐标为(t，0)， ∵PN交BC于M，

∴点M的坐标为(t，－t＋4)，(7分)

∵PM＝MN，点P在点M的上方，∴PN＝2MN，即－1

2t2＋t＋4＝2(－t＋4)，

5

0)，点C(0，4)代入得

解得t1＝2，t2＝4(与B重合舍去)，

∴当PM＝MN时，点P的坐标为(2，4)；(8分)

第2题解图

(3)如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标为(t，－∵DH⊥x轴于点H， ∴PG∥DH， ∴△AHE∽△AGP， △BGP∽△BHF， ∴EH＝AHPGBGPGAG，FH＝BH，

∴EH＝AH·PG，FH＝BH·PG

AGBG，(10分) 当点G在BH上时，

∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－12t2

＋t＋4，

6

1

2t2＋t＋4)，

4－t＋t＋2PGPG1

∴EH＋FH＝3(＋)＝3·(－2)(t＋2)(t－4)·＝9，

t＋24－t（t＋2）（4－t）同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同． 综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.(14分)

1

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.

(1)求a、b及sin∠ACP的值； (2)设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

7

第3题图

1

解：(1)由2x＋1＝0，得x＝－2， ∴A(－2，0)，

1

由2x＋1＝3，得x＝4，∴B(4，3)． ∵y＝ax2＋bx－3经过A、B两点，

2（－2）·a－2b－3＝0

∴2， 4·a＋4b－3＝3

1a＝2解得，

1

b＝－2

如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E(0，1)． ∵PC∥y轴，∴∠ACP＝∠AEO. OA∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝AE＝225＝； 2252＋1

(2)①由(1)知，抛物线的解析式为 11

y＝2x2－2x－3， 121

∴P(m，2m－2m－3)， 1

C(m，2m＋1)，

8

1111

∴PC＝2m＋1－(2m2－2m－3)＝－2m2＋m＋4.

12255

在Rt△PCD中，PD＝PC·sin∠ACP＝(－2m＋m＋4)×5＝－5(m－1)2＋955. ∵－55<0，

∴当m＝1时，PD有最大值955； ②存在，m＝532

2或9.

【解法提示】如解图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为点F、G.

第3题解图

由图中几何关系可知 ∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，

9

OE15∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝AE＝22＝5，

2＋1

512

在Rt△PDF中，DF＝cos∠FDP·PD＝5PD＝－5(m－2m－8)． 又∵BG＝4－m，

1

－5（m2－2m－8）

m＋2DF

＝BG＝＝5.

4－m

∴

S△PCDS△PBCm＋295S△PCD当＝5＝10时，解得m＝2； S△PBCm＋21032S△PCD当＝5＝9时，解得m＝9. S△PBC532∴m＝2或9.

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，在OC上取一点E，使OA＝OE，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，E，B三点． (1)求B，E点的坐标及抛物线表达式；

(2)若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MA－ME|最大时，求M点的坐标； (3)若点D为OA中点，过D作DN⊥BC于点N，连接AC，若点P为线段OC上一动点且不与C重合，PF⊥DN于F，PG⊥AC于G，连接GF，是否存在点P，使△PGF为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

10

第4题图

解：(1)∵OA＝3，AB＝4, OA＝OE，∴A(0，3)，B(－4，3), E(－3，0)． 将A，B，E三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中， c＝3a＝1

得16a－4b＋c＝3，解得b＝4， 9a－3b＋c＝0c＝3∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋3；(3分)

(2)∵抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴为直线x＝－2，点A关于对称轴的对称点为点B，

∴当|MA－ME|最大时，M在直线BE与直线x＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x＝－2于点M，M点即为所求，如解图①，(5分)

11

第4题解图①

设直线BE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∵直线过B(－4，3)，E(－3，0)，

－4k＋b＝3∴， －3k＋b＝0k＝－3∴， b＝－9

∴直线BE的解析式为y＝－3x－9. 当x＝－2时， y＝－3， ∴M(－2，－3)；(7分)

(3)设P(x，0)(x＜0)，如解图②，过点P分别作PF⊥DN于点F，PG⊥AC于点G，

过点G作GH⊥OC于点H，交DN于点Q，连接GF，

12

第4题解图②

∵OA＝3，AB＝4，∠AOC＝90°， ∴AC＝5，

∵D为OA的中点，DN⊥BC， 3PGOA

∴PF＝2，sin∠1＝PC＝AC， PG3∴＝， x＋453（x＋4）

∴PG＝， 5CGOC∵cos∠1＝PC＝AC， CG4∴＝， x＋454（x＋4）

∴CG＝. 5∵△CGH∽△CAO，

13

GHCGCH∴AO＝CA＝CO， GHCGCH∴3＝5＝4，

334（x＋4）12（x＋4）

∴GH＝5CG＝5×＝， 525444（x＋4）16（x＋4）CH＝5CG＝5×＝，(9分) 525

16（x＋4）9（x＋4）∴PH＝QF＝OC－CH－OP＝4－＋x＝， 252512（x＋4）3GQ＝GH－QH＝－2， 25∴在Rt△GQF中，

22

12（x＋4）81（4＋x）9（x＋4）36（x＋4）9322

GF＝[－2]＋＝－＋4. 256252525

要使△PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论： (ⅰ)当GF＝GP时， GF2＝GP2，

9（x＋4）236（x＋4）99（x＋4）2∴－＋4＝， 25252539∴x＝－16，

39

∴P1(－16，0)；(11分) (ⅱ)当FG＝FP时，FG2＝FP2，

14

9（x＋4）236（x＋4）99∴－＋4＝4， 2525∴x1＝－4，x2＝0. ∵点P不与C重合， ∴x＝－4(舍去)，∴P2(0，0)； (12分)

3（x＋4）3(ⅲ)当PG＝PF时，＝2， 53∴x＝－2，

3

∴P3(－2，0)．(13分)

393

综上所述，存在P1(－16，0)，P2(0，0)，P3(－2，0)使△PFG为等腰三角形．(14分)

11

5. 已知：直线y＝2x－3与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线y＝3x2＋bx＋c经过点A、B，且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m. ①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；

②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上是否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合

15

条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

第5题图 备用图

1

解：(1)∵直线y＝2x－3与x轴、y轴分别交于A、B， 则A(6，0)，B(0，－3)，

12

又∵抛物线y＝3x＋bx＋c经过点A、B，

0＝1×62＋6b＋c则3， －3＝c

b＝－3

2， 解得

c＝－3

16

13

∴抛物线的解析式为y＝3x2－2x－3；

123

(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，3m－2m－3)， ∵点P在直线AB下方，∴0＜m＜6，

第5题解图①

如解图①，过点P作x轴的垂线，交AB于点E，交则E(m，1

2m－3)，

∴PE＝1－3－(131

2m3m2－2m－3)＝－3m2＋2m， ∴SS1

△PAB＝S△BPE＋△PEA＝2PE·OA ＝112(－3m2

＋2m)×6 ＝－(m－3)2＋9，

∴当m＝3时，△PAB的面积最大；

17

x轴于点D， 9

②在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形；点Q的坐标为(3，4)3

或(3，－2)．

3

【解法提示】直线PD的解析式为：x＝3，易得C(－2，0)，D(3，0)， COQD

当∠BCQ＝90°时，如解图②，易证△COB∽△QDC，则OB＝DC，可得Q(3，94)；

第5题解图②

当∠CBQ＝90°时，如解图③，易知Q在AB上，将3，得y＝－3(3，－3

2，∴Q2)；

18

x＝3代入直线y＝1

2x－

第5题解图③

92CDDQ

当∠BQC＝90°时，如解图④，易证△CDQ∽△QRB，则QR＝BR，即

3－DQDQ

＝3，无解．

第5题解图④

综上所述，在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形，点Q的坐标93为(3，4)或(3，－2)．

19

6. 如图，抛物线y＝x2－4x－5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. (1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)如图①，点E(m，n)为抛物线上一点，且2(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图① 图②

第6题图

解：(1)把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2－4x－5＝0， 解得x1＝－1，x2＝5， ∵点B在点A的右侧，

20

∴A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)， 把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5， ∴点C的坐标为(0，－5)， ∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2；(4分) (2)由题意可知，四边形EHDF是矩形，

∵抛物线的对称轴为直线x＝2，点E坐标为(m，m2－4m－5)， ∴EH＝－m2＋4m＋5，EF＝m－2，

∴矩形EHDF的周长为2(EH＋EF)＝2(－m2＋4m＋5＋m－2)＝－2(m2－5m5237

－3)＝－2(m－2)＋2， ∵－2<0，2537

∴当m＝2时，矩形EHDF的周长最大，最大值为2；(8分)

第6题解图

21

(3)存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形． 如解图，设点P的坐标为(2，k)，

∵B和C两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)， ∴BC＝52＋52＝52， ①当∠CBP＝90°时， ∵BC2＋BP2＝CP2，

∴(52)2＋(5－2)2＋(－k)2＝22＋(k＋5)2， 解得k＝3， ∴P1(2，3)；(10分) ②当∠PCB＝90°， ∵BC2＋PC2＝BP2，

∴(52)2＋22＋(k＋5)2＝(5－2)2＋(－k)2， 解得k＝－7， ∴P2(2，－7)；(12分) ③当∠CPB＝90°时， ∵PC2＋PB2＝BC2，

∴22＋(k＋5)2＋(5－2)2＋k2＝(52)2， 解得k＝1或k＝－6， ∴P3(2，1)，P4(2，－6)，

22

综上所述，满足条件的点P的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)

12

7. 如图，抛物线y＝－4x＋bx＋c经过A(2，0)，B(－4，0)两点，直线y＝2x－2交y轴于点D，过点B作BC⊥x轴交直线CD于点C. (1)求抛物线的解析式；

(2)求点B关于直线y＝2x－2对称的点E的坐标，判断点E是否在抛物线上，并说明理由；

(3)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线CE于点F，是否存在这样的点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第7题图

1

解：(1)∵抛物线y＝－4x2＋bx＋c的图象经过点A(2，0)，B(－4，0)两点，

23

－14×4＋2b＋c＝0∴，

－14×16－4b＋c＝0

解得b＝－1

2， c＝2

∴抛物线的解析式为y＝－121

4x－2x＋2； (2)点E在抛物线上，理由如下：

如解图①，设直线CD：y＝2x－2与x轴交于点N，过点垂足为点M，

令y＝2x－2＝0，解得x＝1，

∴点N的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，－2)， ∵BN2＝25，BD2＝20，DN2＝5，BN2＝BD2＋DN2，∴BD⊥CD，

∵点B和点E关于点D对称， ∴BE＝2BD，∴BE＝45， ∵当x＝－4时，y＝2x－2＝－10， ∴点C的坐标为(－4，－10)， ∵BN＝5，BC＝10， ∴CN＝55，

又∵∠MBE＝∠BCN，∠CBN＝∠BME，

24

E作EM⊥x轴， ∴△CBN∽△BME， BEME45ME∴CN＝BN，即＝，

555∴ME＝4，

根据勾股定理得BM＝BE2－ME2＝80－16＝8， ∴BM＝8，∴OM＝4， ∴点E的坐标为(4，－4)， 当x＝4时，

1111

y＝－4x2－2x＋2＝－4×16－2×4＋2＝－4， ∴点E在抛物线上；

第7题解图①

－5＋3293329－151－5－3299

(3)存在，点P的坐标为(－1，，)或(，4)或(282－

3329＋151

)． 8

25

【解法提示】如解图②，设直线CE的解析式为y＝kx＋b′，

k＝－4k＋b′＝－10

由(2)得点C(－4，－10)，E(4，－4)，∴，解得4

4k＋b′＝－4

3

，

b′＝－7

第7题解图②

3

∴直线CE的解析式为y＝4x－7.

113

∵PF⊥x轴，设点P的坐标为(a，－4a2－2a＋2)，则点F的坐标为(a，4a－7)，

11315

∴PF＝|－4a2－2a＋2－(4a－7)|＝|－4a2－4a＋9|， 要使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形， ∵PF∥BC， ∴PF＝BC＝10.

15

当－4a2－4a＋9＝10时，

26

解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1， 9

∴点P的坐标为(－1，4)， 15

当－4a2－4a＋9＝－10时， －5＋329

解得a1＝， 2－5－329a2＝， 2

－5＋3293329－151－5－329∴点P的坐标为(，)或(， 2823329＋151－)， 8

综上所述，存在点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，－5＋3293329－151－5－3299点P的坐标为(－1，4)或(，)或(，－2823329＋151

)． 8

8. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点A(3，－3)和点B(33，0)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出相应点P的坐标； 1

(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC＝3S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；

27

若不存在，请说明理由．

第8题图

解：(1)将点A(3，－3)，B(33，0)分别代入y＝ax2＋bx中，得－3＝3a＋3b0＝27a＋33b

， a＝1

解得2

，

b＝－33

2∴抛物线的解析式为y＝133

2x2－2x；

(2)设P点的坐标为P(m，1332m2－2m)，则D(m，－3)， ∴PD＝|12332m－2m＋3|，AD＝|m－3|， ∵∠ACO＝∠ADP＝90°，

∴①当△ACO∽△ADP时，有ACAD

OC＝PD，

28

|m－3|3

即3＝，

133|2m2－2m＋3|1233∴3|m－3|＝|2m－2m＋3|，

133133∴3(m－3)＝2m2－2m＋3或－3(m－3)＝2m2－2m＋3，整理得m2－53m＋12＝0或m2－3m＝0，

解方程m2－53m＋12＝0得：m1＝43，m2＝3(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；

解方程m2－3m＝0得：m3＝0，m4＝3(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；

此时P点的坐标为P(0，0)或P(43，6)； ACPD②当△ACO∽△PDA时，有OC＝AD， 133

|2m2－2m＋3|3即3＝，

|m－3|133∴3|2m2－2m＋3|＝|m－3|，

12331233∴3(2m－2m＋3)＝m－3或－3(2m－2m＋3)＝m－3， 整理得3m2－11m＋83＝0或3m2－7m＋43＝0，

83

解方程3m－11m＋83＝0，得：m1＝3，m2＝3(点P与A点重合，△

2

APD不存在，舍去)；

29

4

解方程3m2－7m＋43＝0，得：m1＝33，m2＝3(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；

8344310

此时P点的坐标为P(3，－3)或P(3，－3)，

综上可知：以点A、D、P为顶点的三角形与△AOC相似时，点P的坐标为：8344310P(0，0)或P(43，6)或P(3，－3)或P(3，－3)；

(3)存在．在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝3，根据勾股定理得∵S1331

△AOC＝2OC·AC＝2，S△AOC＝3S△AOQ， ∴S93△AOQ＝2，

∵OA＝23，∴△AOQ边OA上的高为9

2， 如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝9

2，第8题解图

30

OA＝23，

过点M作MN∥OA交y轴于点N， ∵AC＝3，OA＝23， ∴∠AOC＝30°， 又∵MN∥OA

∴∠MNO＝∠AOC＝30°，

∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N(0，9)，过点M作MH⊥x轴交x轴于点H，

199393∵∠MNO＝30°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝2OM＝4，OH＝4，即M(4，94)，

设直线MN的解析式为y＝kx＋9(k≠0)， 993把点M的坐标代入得4＝4k＋9，即k＝－3， ∴y＝－3x＋9，

y＝－3x＋9联立得1233，

y＝2x－2xx＝33x＝－23解得或，即Q(33，0)或(－23，15)．

y＝0y＝15

9. 如图，抛物线经过原点O(0，0)，与x轴交于点A(3，0)，与直线l交于点B(2，－2)． (1)求抛物线的解析式；

31

(2)点C是x轴正半轴上一动点，过点C作y轴的平行线交直线l于点E，交抛物线于点F，当EF＝OE时，请求出点C的坐标；

(3)点D为抛物线的顶点，连接OD，在抛物线上是否存在点P，使得∠BOD＝∠AOP？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第9题图 备用图

解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx， 将A(3，0)，B(2，－2)代入y＝ax2＋bx中，

32

9a＋3b＝0a＝1得，解得， 4a＋2b＝－2b＝－3

∴抛物线的解析式为y＝x2－3x； (2)设直线l的解析式为y＝kx，

将B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k， 解得k＝－1，

∴直线l的解析式为y＝－x，

设点C的坐标为(n，0)，则点E的坐标为(n，－n)，点F的坐标为(n，n2－3n)．

①当点C在点A的左侧时，如解图①所示，EF＝－n－(n2－3n)＝－n2＋2n，OE＝n2＋（－n）2＝2n， ∵EF＝OE， ∴－n2＋2n＝2n，

解得n1＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，n2＝2－2， ∴点C的坐标为(2－2，0)；

②当点C在点A的右侧时，如解图②所示，EF＝n2－3n－(－n)＝n2－2n，OE＝n2＋（－n）2＝2n， ∵EF＝OE， ∴n2－2n＝2n，

解得n1＝0(C，E，F均与原点重合，舍去)，n2＝2＋2，

33

∴点C的坐标为(2＋2，0)；

综上所述，当EF＝OE时，点C的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)； 14141616

(3)存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(5，－25)或(5，25)． 329

【解法提示】抛物线的解析式为y＝x－3x＝(x－2)－4，

2

39

∴顶点D的坐标为(2，－4)，设抛物线的对称轴交直线l于点M，交x轴正半轴于点N，过点D作DG⊥OB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，如解图③所示，

∵直线l的解析式为y＝－x， ∴∠MON＝45°，

332

∴△ONM为等腰直角三角形，ON＝MN＝2，OM＝2ON＝2， 933

∴DM＝4－2＝4， 在Rt△DGM中，

∵∠DMG＝∠NMO＝45°， ∴Rt△DGM为等腰直角三角形， 3232

∴MG＝DG＝4×2＝8， 3232152∴OG＝OM＋MG＝2＋8＝8.

34

设点P的坐标为(c，c2－3c)，当点P在x轴下方时，如解图③所示，OH＝c，HP＝3c－c2，

第9题解图③

∵∠HOP＝∠BOD， ∴tan∠HOP＝tan∠BOD， 3283c－c2HPDG

∴OH＝OG，即c＝，

1528

14

解得c1＝0(P点与O点重合，舍去)，c2＝5， 1414

∴点P的坐标为(5，－25)；

当点P在x轴上方时，如解图④所示，OH＝c，HP＝c2－3c，

35

第9题解图④

328c2－3c

同理可得c＝，

1528

16

解得c1＝0(P点与O点重合，舍去)，c2＝5， 1616

∴P点的坐标为(5，25)．

141416

综上所述，存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(5，－25)或(5，1625)．

1

10. 在平面直角坐标系中，直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，12

二次函数y＝2x＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式；

36

(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值； (3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存．．．在，请说明理由．

图① 图②

第10题图

解：(1)直线y＝1

2x－2中，令y＝0，解得x＝4， 令x＝0，解得y＝－2， ∴点B(4，0)，C(0，－2)，

将点B(4，0)，C(0，－2)代入y＝12x2

＋bx＋c中，得b＝－3



2， c＝－2

∴二次函数的表达式为y＝13

2x2－2x－2；

37

8＋4b＋c＝0

c＝－2，解得

第10题解图①

(2)如解图①，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，

1231

设点D的坐标为(x，2x－2x－2)(－1∴DE＝2x－2－(2x2－2x－2)＝－2x2＋2x，

112

∴S＝S△CDE＋S△BDE＝2(－2x＋2x)×4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴当x＝2时，S有最大值，S的最大值为4； 29

(3)存在，满足条件的点D的横坐标为2或11. 123

【解法提示】令y＝0，则2x－2x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴A(－1，0)，

∵B(4，0)，C(0，－2)，

38

∴AB2＝52＝25，AC2＝12＋(－2)2＝5，BC2＝42＋22＝20， ∴AB2＝AC2＋BC2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，如解图②，取AB的中点P，

第10题解图②

∴P(3

2，0)， ∴PA＝PC＝PB＝5

2， ∴∠CPO＝2∠ABC， ∴tan∠CPO＝OC

OP＝ tan2∠ABC＝4

3，

过点D作x轴的平行线交y轴于点R，交BC的延长线于点G，连接①当∠DCM＝2∠ABC＝∠DGC＋∠CDG， ∵DG∥x轴，

39

CR， ∴∠DGC＝∠ABC， ∴∠CDG＝∠ABC，

OC1CR1

∴tan∠CDG＝tan∠ABC＝OB＝2，即DR＝2， 123

设点D(x，2x－2x－2)， 123

∴DR＝x，RC＝－2x＋2x，

123－2x＋2x

1

∴＝x2，解得x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴点D的横坐标为2； ②当∠MDC＝2∠ABC， 4∴tan∠MDC＝3，

设MC＝4k，∴DM＝3k，DC＝5k， 3k1

∵tan∠DGC＝MG＝2，

∴MG＝6k，∴CG＝2k，∴DG＝35k， ∵∠MGD＝∠RGC，∠DMG＝∠CRG＝90°， ∴△DMG∽△CRG， DMDG∴CR＝CG，

40

2545

∴CR＝5k，RG＝2CR＝5k，

3k35k45115即CR＝2k，∴DR＝35k－5k＝5k， 1155kDRx

∴CR＝＝1， 325－2x2＋2xk529

解得x1＝0(舍去)，x2＝11， 29

∴点D的横坐标为11，

29

综上所述，满足条件的点D的横坐标为2或11.

41