最小二乘法数值计算实验报告

数学与计算科学学院

实 验 报 告

实验项目名称 最小二乘多项式拟合 所属课程名称 数值计算 实 验 类 型 验证型 实 验 日 期 5.8.2012

班 级 隧道1002班 学 号 ************ 姓 名 李彬彬 成 绩

一、实验概述： 【实验目的】 通过上机计算，对曲线的最小二乘法的拟合有进一步的掌握，并且能够熟练的运用这种方法。 【实验原理】在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，这是为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点上的误差的平方和 这里据要求 最小.当时，即 (4.4.1) 是线性无关的函数族，假定在，使 以及对应的一组权最小，其中 ，这里上给出一组数为权系数，这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法. (4.4.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得 (4.4.3) 根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号 (4.4.4) 1

则(4.4.3)可改写为 这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为 (4.4.5)称为法方程.当上至多只有n个不同零点，则称解存在唯一(证明见［3］).记(4.4.5)的解为 从而得到最小二乘拟合曲线 可以证明对 故(4.4.6)得到的，有 (4.4.5) 线性无关，且在点集在X上满足Haar条件，此时(4.4.5)的 (4.4.6) 即为所求的最小二乘解.它的平方误差为 均方误差为 (4.4.7) 在最小二乘逼近中，若取示为 ，则 (4.4.8) ，表 2

【实验环境】 Microsoft visual c++ 二、实验内容： 【实验方案】 测得铜导线在温度Ti（℃）时的电阻Ri（Ω）如表，求电阻R与温度T的近似函数关系。 i 0 1 25.0 77.80 2 30.1 79.25 3 36.0 80.80 4 40.0 82.35 5 45.1 83.90 6 50.0 85.10 Ti（℃） 19.1 Ri（Ω） 76.30 用计算机程序进行多项式拟合上述T与R的近似函数关系。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1， 2， 3， 4， 确定数据，易知测得的数据接近一条直线，故拟合函数为R=a0+a1T； 编写计算机程序； 运行程序，得出结果； 计算出的拟合多项式函数计算出的数据与原数据进行比较 【实验结论】（结果）

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【实验小结】（收获体会）通过本实验使用多项式对数据进行拟合，我掌握数据拟合的基本原理，并且掌握最小二乘法的计算方法，同时学会使用数学的方法对数据拟合的情况进行判断。对我们以后对数据进行分析很有帮助 三、指导教师评语及成绩： 评语等级 评 语 优 良 中 格 1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强 2.实验方案设计合理 3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻） 4实验结论正确. 及不及格 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：

附录1：源 程 序

#include int main() { double a0,a1,sumTi=0,sumTi2=0,sumRi=0,TiRi=0; double T[100],R[100]; int n,m,i,j; 4