第1讲 从“算术”到“代数”

【知识要点】

代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？（引自百度百科）

这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。

【例题精选】

例1、下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为Sn．那么，按此规律，用含有n的式子表示Sn为 ．

…

n＝2 n＝3 n＝4 S2＝4 S3＝8 S4＝12

从图形变化规律来看。每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。

Sn2n24n4。

2

例2、计算：

111111111111 2319992199821999231998

例3、设n是自然数，定义n!=123…n，若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。

， def的和abc def能被37整除。证明六位数abcdef也能被例4、已知两个三位数abc37整除。

例5、如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另一个小正方形并排放在一下起，求ABC的面积。

【A组题】 1、若

1ba3， 6b63， 则的最大值是( ) 2a222，S3，…，S2010，则S2010 (用

S2S1S2009A、21 B、2 C、12 D、126 2、已知a≠0，S12a，S2含a的代数式表示)．

11，s32a，s4，s52a……根据序数奇偶变化分别对应的值来确定结果：aa1s2010。

an(n1)3、将一个正整数n输入一台机器内会产生出的个位数字．若给该机器输入初始数

2s2a，将所产生的第一个数字记为a1；再输入a1，将所产生的第二个数字记为a2；…；

依次类推．现输入a2，则a2010是（ ） A．2 B．3 C．6 D．1

经过计算发现：a13，a26，a31，a41……往后每一个数都等于1，出现了重复。因此a20101。

4、给出一个“三角形”的数表如下：

此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…，999，以后下一行的数是上一行相邻两数的和。问：第四行的数中能被999整除的数是什么？

5、将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折六次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？

【B组题】

6、将自然数排成如下的螺旋状：

第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？

7、在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成几部分？

8、比较大小：A78901234567890123455,B

89012345678901234566

9、（2010贵州）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后，再左右两列交换位置，第三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2010次交换位置后，小兔子坐在几号位上：

A．1 B．2 C．3 D．4

本题的原型是“华杯赛”中的一个题，这里作了简化。问题的关键是抓住“兔子”的位置变化规律。第一次交换后，兔子在“1”号位；第二次交换后，兔子在“2”号位；第三次交换后，兔子在“4”号位，第四次交换后，兔子在“3”号位……按照1-2-4-3的顺序循环。而2010被4除余2，故等同于第二次交换后的结果，最后坐在“2”号位。

本题容易出现的错误是：把第一张图认为是第一次交换后的结果。那么就可能出现寻找规律类题型中最容易出现的错误——结果中的序数和题目中的序数没有对齐。

10、（2010吉林）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比一个图案中正三角形的个数多4个.则第n个图案中正三角形的个数为_________（用含n的代数式表示）.

4n2。 本题可按上题中提出的两种方法来思考。最后第n个图案中正三角形的个数为：

请大家作一下尝试。

11、（2010云南大理）如图，已知矩形ABCD的面积为1.A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，若四边形A1B1C1D1的面积为S1，A2、B2、C2、D2分别为A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的中点，四边形A2B2C2D2的面积记为S2，…，依此类推，第n个四边形AnBnCnDn的面积记为Sn，则Sn＝ 。

11111 由S1，S2，S3，……可得出：Snn。

22222

12、（2010辽宁）如图所示，观察下列图形 …

第1个图形 第2个图形 第3个图形

它们是按一定规律构造的，依照此规律，第100个图形中共有 个三角形.

同样从图形和数字两个角度都可以解决这个题。

第n个图形中共有（4n1）个三角形。第100个图形中共有399个三角形。

123n13、（2010青海） 将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有 个小圆点，第n个图形有 个小圆点．

本题也是由两部分构造而成的。第一部分为四个角落的四个点，这是不变的。第二部分是中间部分的点。不难看出第1个图形中间部分有12个点，第2个图形中间部分有23个点，……第n个图形中间部分有n（n+1）个点。

故第6个图形有4+67=46个点，第n个图形有4+ n（n+1）=nn4个点。

【C组题】

14、（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）

本题结合了对学生空间想象能力的考查。事实上，由图已经可以得出各个相对面点数的对应关系，题中给出的条件已经降低了对学生的要求。

只需往后面排几次，就可以发现，骰子朝上一面的点数按照5-6-3-5-6-3的规律变化。三次变换循环一次。故十次变换等同于一次变换，最后的结果是5.

15、*表示一种运算，它的含义是xy2

向右翻滚90° 逆时针旋转90° 图6-1 图6-2

A．6 B．5 C．3 D．2

112，已知21，求xyx1yA320112012。

16、满足不等式10A10的整数A的个数是x101，求x的值

17、假设地球是个标准球体,小明有一根足够长的绳子，长度比地球赤道的周长多100米,用它做成一个圆形绳套，套在地球赤道的外围，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，现在有蚂蚁、兔子、大象和长颈鹿，问那些动物能钻过去？

18、观察·归纳·猜想 （1）观察下列算式：

21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，27 = 127，28 = 256，……

利用你发现的规律，写出230的末位数（个数上的数字）是 。 （2）比较下面两列算式结果的大小（在横线上填“>”、“<”或“=”）

42 + 32 2 × 4 × 3

32 + 22 2 × 3 × 2

22 + 12 2 × 2 × 1 12 + 02 2 × 1 × 0

通过观察，写一个反映上述规律的式子： 。 （3）从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下：

2 = 2 = 1 × 2

2 + 4 = 6 = 2 × 3 2 + 4 + 6 = 12 = 3 × 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 × 5 … 可推测，从2开始，连续10个偶数相加的和是 。 （4）观察下列各式： 12 + 1 = 2 = 1 × 2

22 + 2 = 6 = 2 × 3

32 + 3 = 12 = 3 × 4

42 + 4 = 20 = 4 × 5 … 猜想992 + 99 = 。

（5）比较（3）和（4）两小题，你又可发现规律，请根据你的发现写两个等式： ； 。

19、(1)证明：奇数的平方被8除余1．

(2)请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．

45420、试比较

Sn1234nn248162（n为任意自然数）与2的大小.

分析 关键是将Sn写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次称Sn的各项分别为第1项，第2项，…，第n项，对第k项变形

k2(k1)(k2)k1k2k1k,2k2k22这说明Sn中每一项都可以\"裂\"为正负两项,这时33445n1n2n2Sn(2)()()(n1n)2n,

22448222自然有Sn2.