《函数的单调性》教学设计

《函数的单调性》...................................................................... 错误！未定义书签。 一、教学内容分析：.................................................................................................... 3

1.教材的地位和作用............................................................................................. 3 2.教学的重点和难点............................................................................................. 3 3.学时..................................................................................................................... 3 二、学情分析................................................................................................................ 4

1.学习对象............................................................................................................. 4 2.知识基础............................................................................................................. 4 3.能力基础............................................................................................................. 4 4.学习风格............................................................................................................. 4 三、教学目标................................................................................................................ 4

1.知识目标............................................................................................................. 4 2.能力目标............................................................................................................. 4 3.情感目标............................................................................................................. 4 四、教法学法分析........................................................................................................ 5

1.教法..................................................................................................................... 5 2.学法..................................................................................................................... 5 3.教学手段............................................................................................................. 5 五、教学过程................................................................................................................ 5

(一)创设情境，引入课题 ............................................................................. 5 (二)归纳探索，形成概念 ............................................................................. 6

1．借助图象，直观感知...................................................................................... 6 2．探究规律，理性认识...................................................................................... 7 3．抽象思维，形成概念...................................................................................... 8

（三）掌握证法，适当延展........................................................................ 8 1．难点突破.......................................................................................................... 8 2．详细板书.......................................................................................................... 8 3．归纳步骤.......................................................................................................... 9

（四）归纳小结，提高认识........................................................................ 9 1．学习小结.......................................................................................................... 9 2．布置作业.......................................................................................................... 9 六、学习流程图.......................................................................................................... 10

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《函数的单调性》教学设计

一、教学内容分析：

1．教材的地位和作用

本节选自人教版高中数学必修1第一章第三节的第一课时1.3.1“单调性与最大（小）值”，在这里选取1.3.1中的 “单调性”做一个信息化教学设计。

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数的性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材. 2．教学的重点和难点

重点：函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性。 难点：函数单调性的概念形成。 3.学时

学时为一课时（45′）

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二、学情分析

1.学习对象

这部分教学的学习对象是高一学生，他们的平均年龄只有16、17岁，具有勤于观察、好奇心强、大胆质疑、乐于表现的天性，具有一定的团结协作能力。因此，在教学中，要引导学生积极地讨论、大胆地质疑、精心地展示，给予学生客观正面的评价。正由以形象思维为主的认知水平逐渐转入以抽象思维为主的认知水平的发展阶段。因此，教学中应结合具体事例及直观的表象信息，来呈现学习的内容。 2.知识基础

学生已学习了函数的概念、定义域、值域及函数的表示方法。

初中阶段对函数的单调性有初步的了解认识，如“y随x的增大而增大” “y随x的增大而减小”。 3.能力基础

高一学生通过小学、初中的数学的学习，已具备一定的解决数学问题的能力，初步了解数形结合的思想，对于从具体到抽象的数学活动有一定的体会。 4.学习风格

伴随信息化时代的到来，学生已经善于通过网络资源进行学习；学生具有寻求认可的取向，能够主动积极地参与到学习中，学习具有主动性；学生更看重同伴关系（peer relationship），喜欢合作式的学习。

三、教学目标

根据本节教材的特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我确定了以下教学目标： 1.知识目标

从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义来判断、证明函数单调性的方法． 2.能力目标

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象、类比的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3.情感目标

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习

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惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

四、教法学法分析

1.教法

本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标、学生的认知水平以及新课改的要求“学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者”，主要采取教师启发式讲授，学生探究式学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.总之， 教师怎么教应当依据学生怎么学来确定。 2.学法

采用自主探索、合作交流的探究学习方式。让学生真正成为学习的主体，重视学生的参与性、探究性，引导学生体验成功的快乐，增强学生学习数学的兴趣与能力。同时在不断解决问题的过程中，发现新问题，通过合作解决问题，培养合作意识。 3．教学手段

教学中使用多媒体投影、PPT和几何画板来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于让学生从问题的感性认识上升到问题的理性认识。

五、教学过程

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握证法，适当延展；归纳小结，提高认识.具体过程如下： (一)创设情境，引入课题

在课前，我给学生布置了两个任务：

(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 【总设计意图】概念的形成主要是通过对感性材料的抽象概括，通过提供北京奥运会的材料，让学生课下利用网络资源自主学习，查阅搜索有关北京奥运会

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的资料，培养学生利用网络资源学习的能力。同时让学生深刻的认识到数学来源于生活、应用于生活，生活中处处都有数学。在教学中，也将2008年北京从7.25日到8.25日的气温、2008.8.8的气温用图像展示出来，让学生直观了解增减函数的图像特征。

【问题一设计意图】课上通过对问题一的交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事。培养学生分析问题、解决问题的能力。

【问题二设计意图】课上引导学生观察奥运会当日的气温变化曲线图，引导学生体会在某些时段温度升高，某些时段温度降低.然后，指出生活中我们关心很多数据的变化，并让学生举出一些实际例子（如燃油价格等）. 使学生体会到研究函数单调性的必要性，明确本课我们要研究和学习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神．

随后进一步引导学生归纳：所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． (二)归纳探索，形成概念 1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数yx,yx2的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

【总设计意图】本环节的教学通过几何画板画出的上述两个函数的图像在PPT中的出示，从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数（如一次函数、二次函数）的图象出发，直观感知函数的单调性，从形方面理解函数的单调性。完成对函数单调性定义的第一次认识——定性认识.

【第一个函数设计意图】在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大。然后让学生明确，对于自变量x变化时，函数值y也在发生变化。

【第二个函数设计意图】函数图像在y轴左侧是下降的，y随x的增大而减小；在y轴右侧是上升的，y随x的增大而增大。让学生简要认识到具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.且认识到函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言

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的，是函数的局部性质．

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

【设计意图】对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念。

【教师引导】引导学生用自己的语言描述增函数的定义：

如果函数f(x)在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，函数值y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数．

然后让学生类比描述减函数的定义.至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：“x的增大”“y的增大”怎么用数学语言表示呢？结合yx2的函数图像说明。

【设计意图】结合直观的熟悉的图像yx2，教师借助几何画板作出函数

yx2的图像，并在函数yx2的图像上任画一点P，拖动点P，得到当x值增加时， y值相应增加．将“x的增大”转化为“

，”“y的增大”转化为“

。”同”再转化为时，有

时提醒学生这里的y值即是自变量x时所对应的函数值，那么“f()问题2：函数f（x）在区间（a，b）上有两个自变量，使得当

f()【设计意图】给予学生一定的思考，培养学生思考问题、分析问题、辨析问题的能力。且培养学生是否能将问题与最初的08年奥运会开幕式当天的气温变化图联系起来，从而得出结论， 只有两个自变量，即使它们有当量时，是否就可以判断了呢？自然而然的引出问题3.

问题3：函数f（x）在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜＜…＜…＜b时，有f（a）＜f()【设计意图】学生仍结合08年奥运会开幕式当天的气温变化图，判定即使取无数自变量x，当a＜

＜…＜…＜b时，有f（a）＜f()（b），也是无法判定函数的单调性的。引导学生明确问题的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上，引导学生得出自变量x 在区间（a，b）上“任意取”，且只要“取两个”就够了，然后比较函数值大小即可。

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时，

f()3．抽象思维，形成概念

单调性概念：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当

时，都有f()，当

时，

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值都有f()>f()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

【设计意图】在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的概念，从增函数类比得到减函数概念，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.同时强调概念中需要注意的地方：①单调性是对定义域内某个区间而言的。②自变量取值的任意性。 （三）掌握证法，适当延展

0 ,) 上是减函数． 例：证明函数 f ) 1 在 ( ( xx【设计意图】通过对例题思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌

握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展.

证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤. 1．难点突破

2f(x)x对于函数单调性的证明，由于前边有对于函数在[0,)上为增函数

的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤:

证明：任取x1,x2(0,),且x1x2,

f(x1)f(x2)11， x1x2因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.预设问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论.

针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数f(x)x2在[0,)上为增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后引导学生从已有的认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式(x1x2),提取后即可考虑判断符号. 2．详细板书

证明：任取x1,x2(0,),且x1x2, 设元

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f(x1)f(x2)11 求差 x1x2x2x1 变形 x1x2 又由x1x2，得x1x20, 断号 于是f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).

1所以，函数f(x)在(0,)上是减函数． 定论

x【设计意图】对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯. 3．归纳步骤

在板书的基础上，引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(设元,求差,变形,断号,定论).通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法（因式分解）以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力．

习题：作函数f(x)=-2x+1的图像，并判定函数在R上的单调性，并加以证明。

【设计意图】为了巩固用定义证明函数单调性的方法，强化解题步骤，形成并提高解题能力。

（四）课堂小结，布置作业 1．学习小结

知识层面：回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义.

方法层面：引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；而后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果；同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.

【设计意图】通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础． 2．布置作业

1（1）证明函数 y  x  ( x  0 ) 在[1,)上是增函数，并以小组为单位，把

x

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函数图像在电脑上用数学软件（几何画板、matlab等）绘制出来．

【设计意图】巩固函数的单调性的概念，评估学生是否掌握了证明函数的单调性的办法，以及熟悉证明函数单调性的五步，以及五步中最关键的步骤变形的方法。同时培养学生使用数学学习软件的能力和小组合作探究学习的能力，提高使用计算机的能力。

(2) 思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2，f(x)f(x)有 2 1  0 ，能断定函数f(x)在(a,b)上是增函数吗?

x2x1【设计意图】加深学生对定义的理解，并对判断单调性的方法做适当延展。这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

六、学习流程图

创设情境、导入新课：08年奥运会为 投影 观察图像，捕捉信息 出示本节课的标题

2 画函数的图像 yx,yx投影

初步感知单调性：对定

据自己理解，说说什么是增 yx2在 （0，+）上的图像 几何画板

讲解函数单增的概念 交流讨论，增函数概念 概念的关键字：任意类比的单减性的概念 例题：证明函数f(x)=在（0,+ 上是减函数 ） 参与思考，规范板书 - 10 -

教师提问，单调性函 数都有哪些应用 符号说明： 小组思考讨论 全班交流发言 教师评价并给出结论 小组交流总结证明单课堂小结 x(求差，x0) 在 调性的五步法：证明y设元，1x[1,)上为增函数 布置作业 总 结 结 束

用几何画板或matlab画出函数图形并观察 教学内容与教师活动 ： 学生活动：

媒体运用 ： 学生利用媒体操作、学习：

教师进行评价判断 ：

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