2017全国2卷理科数学.docx

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2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域

内。

2.选择题必须使用 字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

2B 铅笔填涂；非选择题必须使用

0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1.

3 i 1 i

（）

B． 1 2i

C． 2 i

D ． 2 i （

A ． 1 2i 2.设集合 A．1,3

1,2,4 ，

x x2

B． 1,0

4x m 0 ．若 I 1 ，则

） D． 1,5

C． 1,3

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 的下一层灯数是上一层灯数的

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共

7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中

）

2 倍，则塔的顶层共有灯（

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A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏

该几

4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，学 科 & 网粗实线画出的是某几何体的三视图， 何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ A ．90

B． 63

C． 42

）

D ．36

2x 3y 3 0 y 3 0

B． 9

5.设 x ， y 满足约束条件

2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的最小值是（

）

A． 15

C． 1

D ． 9

6.安排 3 名志愿者完成 排方式共有（ A．12 种 种

）

4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安

B．18 种 C．24 种

D ．36

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ A ．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩

2 位

科 & 网给丁看甲的成 ）

B．丁可以知道四人的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的 A ．2

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a

1 ，则输出的 S （

C． 4

）

B． 3 D ．5

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9.若双曲线 C:

x

2

2

a2

y b2

1（ a

0 ， b

0 ）的一条渐近线被圆 x 2

2

y

2

4 所截得的

弦长为 2 ，则 C 的离心率为（ A ． 2

）

B ． 3

C ． 2

D ．

2 3 3

10. 已知直三棱柱

与

线 A ．

1

C

1 1

C

中，

1

C 120o ，

2 ， C CC1

1，则异面直

C1 所成角的余弦值为（

）

3

B．

15

C．

10 5

D ．

3 3

2

5

11. 若 x A. D.1

2 是函数 f ( x)

( x2 ax 1)ex

1` 的极值点，则

f (x) 的极小值为（

）

1

B.

2e 3

C. 5e 3

12. 已知 小值是（ A.

uuur uuur uuur

ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC )的最

）

2

B.

3

C.

4 3

D.

2

1

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

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13. 一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件， 有放回地抽取 100 次，

表示抽到的二等品件数，则 14. 函数 f x

D

．

sin 2 x

3 cos x 3 （ x

4

0,

2

）的最大值是

．

15. 等差数列

an 的前 n 项和为 Sn ， a3

3， S4 10 ，则

n k

1 1 Sk

．

16. 已知 F 是抛物线 C: y为 F 的中点，则 F

2

8x 的焦点，

是 C上一点，F

的延长线交 y 轴于点 ．若

．

三、解答题：共

70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必做

题，每个试题考生都必须作答。第

22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17. （12 分）

的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c 已知

,

2

B ．

ABC

sin( A C ) 8sin

2

(1) 求 cosB (2) 若 a

c 6 , ABC 面积为 2,求 b.

18. （12 分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：

| 科网，收获时各随机抽取了

kg ）某频率直方图如下：

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（1 ） 设两种养殖方法的箱产量相互，记

新养殖法的箱产量不低于

A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,

50kg, 估计 A 的概率；

99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（2 ） 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有

箱产量＜ 50kg

箱产量≥ 50kg

旧养殖法

新养殖法

（3 ） 根据箱产量的频率分布直方图， 求新养殖法箱产量的中位数的估计值

（精确到 0.01 ）

2

≥ ） 0.050

0.010

0.001

P（ ?? k

3.841 6.635 10.828

K 2

n( ad bc)2

(a b)( c d )(a c)(b d )

19. （12 分）

如图，四棱锥 P- ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面

ABCD ，

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AB BC

1

AD , BAD

ABC 90o , E 是 PD 的中点 .

2

（ 1 ）证明：直线 CE / / 平面 PAB

（ 2 ）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45o ，求二面角 M -AB - D

的余弦值

20. （12 分）

设

OC

y

1

为坐标原点，动点

M

在椭圆

： x

2

2

上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为

N ，点

2

uuur

uuuur

P满足 NP

2NM .

(1) 求点 P 的轨迹方程；

uuur uuur

(2) 设点 Q 在直线 x=-3

上，且 OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.

21. （12 分） 已知函数 f ( x) ax3

ax x ln x, 且 f ( x) 0.

（1 ）求 a；

（2 ）证明：

存在唯一的极大值点

x ，且 e 2

f (x0 ) 2 3 .

f (x)

0

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第

一题计分。

22.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程

]（ 10 分）

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在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线 C1 的

极坐标方程为

cos

4 ．

（1 ）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | | OP | 16 ,求点 P 的轨迹

C2 的直角坐标方程；

（2 ）设点 A 的极坐标为 (2, ) ，点 B 在曲线 C2 上，求

OAB 面积的最大值．

3

23.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（ 10 分）

已知 a 0, b

0, a3 b3

2 ，证明： （1 ） (a b)( a3 b3 )

4 ；

（2 ） a

b 2 ．

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2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题 1.D 7.D

2.C 8.B

3.B 9.A

4.B 10.C

5.A 11.A

6.D 12.B

二、填空题 13. 1.96

14. 1

15. 2n

16. 6

n 1

三、解答题 17. 解：

（1 ）由题设及 A

B C

得 sin B

8sin 2

2

，故

sin B （41-cosB）

上式两边平方，整理得

17cos2B-32cosB+15=0

解得 cosB= 1（舍去）， cosB=

15

（2 ）由 cosB=

15 17

得 sin B

17 2

8 17

17

，故 S ABC

1 2

acsin B

4 ac 17

又 S ABC =2，则 ac

由余弦定理学

科 & 网及 a c

6 得

b2

（ +c）

a

a2 c2 2ac cosB

2

36

2ac(1 cosB) 17 15 2 (1 )

2 17

4

所以 b=2 18. 解：

（1 ）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于

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50kg ” ， C 表示事件“新养殖法的箱产量不

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低于 50kg ”

由题意知

PA PBC PBPC

旧养殖法的箱产量低于

50kg 的频率为

（0.040 0.034 0.024 0.014 0.012） 5=0.62

故 P B 的估计值为 0.62

新养殖法的箱产量不低于

50kg 的频率为

（0.068 0.046 0.010 0.008） 5=0.66

故 P C 的估计值为 0.66

因此，事件 A 的概率估计值为

0.62 0.66 0.4092

（2 ）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量 50kg

62 34

2

箱产量 ≥ 50kg

38 66

旧养殖法 新养殖法 200 100

K

2

62 66 34 38

15.705

100 96 104

由于 15.705 6.635

故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3 ）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，

箱产量低于 50kg 的直方图面积为

0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5 ，

箱产量低于 55kg 的直方图面积为 0.004 0.020 0.044+0.068

5 0.68 0.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+

19. 解：

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≈52.35（kg）．

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（1）取 PA中点 F ，连结 EF ， BF ．

因为 E为 PD的中点，所以 EF PAD,EF =

又BCAD

1 2

AD ,由 BADABC 90 得 BC∥AD ，

1 2

所以 EF BC ．四边形 BCEF 为平行四边形， CE∥BF ． 又 BF

（ 2）

∥

平面 PAB ， CE 平面 PAB ，故 CE ∥平面 PAB

由已知得 BA

AD ,以 A 为坐标原点，

A-xyz, 则

uuur

AB 的方向为 x 轴正方向， uuur

AB 为单位长，建立如

图所示的空间直角坐标系

则 A(0 ，0 ，0) ， B(1，0，0) ， C (1，1，0) ， P(0 ，1 ， 3) ，

uuur PC uuuur BM

，， (10 3) (x

uuur

, AB (10，，0) 则

uuuur

， ，

1 y z), PM ， (x y

，

1 z3)

因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为

以

45 °，而n (0，0， 1) 是底面 ABCD 的法向量，所

uuuur

cos BM ,n sin450 ，

z

(x 1)2

y2

2

z22

uuur PC ,则

即（ x-1 ）2+y 2-z 2=0

uuuur

又 M 在棱 PC 上，学 |科网设 PM

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x , y 1,z 3 3

=1+ x y=1

2 2

=1- 2 x

2

( 舍去 )， y=1

由①，②得

z

6

2

z

6

2

所以M 1-

2 ,1， 2

6

uuuur

，从而 AM

1-

2

2

,1，

6

2 2

设 m = x0 , y0, z0 是平面 ABM 的法向量，则

uuuur g

0 即 uuur

2- 2 x

0

2y

0

6z

0

0

m gAB 0

x0 0

所以可取 m = （ 0 ， - 6 ， 2）.于是 cos

m, n

mgn m n

10

5

因此二面角

M-AB-D 的余弦值为

10 5

20. 解

uuur

（1 ）设 P（ x,y ）,M （ x0 ,y0 ）,设 N （x 0,0）, NP

uuur

uuuur

2NM 得 x0 =x, y0

uuuur

x x0 , y , NM0, y0

2 2

y

2

由 NP

因为 M （ x0,y 0 ）在 C 上，所以

x

2

2 y2

2

y 2

1

因此点 P 的轨迹方程为 x2

（ 2 ）由题意知 F（-1,0 ） .设 Q （-3 ， t ） ,P(m,n), 则 uuur OQ uuur OP

3,t

uuur , PF

1

uuur uuur

m, n , OQ gPF3 3m tn ，

uuur

m, n , PQ

3 m, t m2

tn

n , n2

uuur uuur 由 OPgPQ 1得 -3 m

1 ，又由（ 1 ）知 m2 +n2 =2 ，故

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3+3m-tn=0

所以 OQ PF

uuur uuur 0 ，即 uuur

g OQ

uuur .学 .科网又过点 P 存在唯一直线垂直于

OQ ，所以过点 P 且

PF

垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 21. 解： （1 ） f 设 g x

x 的定义域为 0，+

= ax - a - lnx ，则 f x

= xg x , f x

0 等价于 g

x 0

因为 g 1 =0，g x

0, 故

g'

=0, 而1 g'

x

a

1 x

, g'

1 =a

1, 得a

1

若 a=1 ，则 g'

x

= 1

1

.当 0 ＜ x＜ 1 时， g' x

＜0, g x 单调递减；当

x＞1 时， g' x ＞

x

0 ， g x 单调递增 .所以 x=1 是 g x 的极小值点，故 综上， a=1

g x g 1 =0

（2 ）由（ 1）知 f 设 h x

x x 2

x x ln x , f '( x )

2

2 x 2

ln x

2x

2

ln x, 则 h '( x )

1

x

,+

当 x

在 ,+

2

1

0, 时，h ' x ＜0 ；当 x 2

11

时，h ' x ＞0 ，所以 h x

在 0,

1

单调递减，

2

2

单调递增

2

又 h e

＞0, h 1 ＜0, h 1

2

0 ，所以 h x

在 0,

1

有唯一零点 x 0 ，在

1 ,+

有唯一零

2 2 1,+

点 1 ，且当 x 因为 f ' x 由 f ' x0 由 x0

0, x 0 时，h x ＞0 ；当 x

x0 ,1 时，h x ＜0 ，当 x 时，h x ＞0 .

h x ，所以 x=x 0 是 f(x) 的唯一极大值点

0得 ln x0

2( x0 1

1), 故 f x0 =x0(1

x0 )

0,1 得 f ' x0 ＜

4

因为 x=x 0 是 f(x) 在（ 0,1 ）的最大值点，由

e1

0,1 , f ' e 1

0 得

f x 0 ＞f e 1

e 2

所以 e 2＜ f x0 ＜2-2

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22. 解：

，

（1 ）设 P 的极坐标为

， ＞0 ， M 的极坐标为

1

1＞ 0 ，由题设知

4

OP = ，OM

=

1

=

cos

由 OM gOP= 16 CC 得 2 的极坐标方程

=4cos 因此 的直角坐标方程为

x

22

y 2

4 x

2

，（2 ）设点 B 的极坐标为

B

B＞ 0 ,由题设知OA =2， B =4cos

,于是△OAB 面积

S= 1

OAg B gsin AOB

2 4 cos

gsin

3

2 sin 3

2

3

2

2 3

当 =- 12 时， S 取得最大值 2+ 3 所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3

23. 解： （1 ）

a b a5

b5

a6 ab5

a5 b b6

3

3

2

2 3

3 a b a b

4 ab a2

b22

4

（2 ）因为

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＞0

0

ab a

4

4

b

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3

a b

a3 3a2b 3ab2

2

b3

3 + ab a b

2

3 + 2+ +

a b

4

2

3 +

4

3

3

所以 a+b

8 ，因此 a+b ≤2.

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