初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题09 二次根式的概念与性质

阅读与思考

式子a(a0)叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1．a0．说明了a与a、a2一样都是非负数．

2．

a＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．

2aa02aa3． 揭示了与绝对值的内在一致性． aa0 4．abab （a≥0，b≥0） ．

5 ．aa（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． bb 6．若a＞b＞0，则a＞b＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．

运用二次根式性质解题应注意：

（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；

（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．

例题与求解

【例1】设x，y都是有理数，且满足方程11xy40，那么xy的值是2332____________． （“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．

【例2】 当1≤x≤2，经化简，x2x1x2x1＝___________．

解题思路：从化简被开方数入手，注意a中a≥0的隐含制约．

【例3】若a＞0，b＞0，且aab3ba5b，求2a3bab的值．

abab （天津市竞赛试题）

解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．

【例4】若实数x，y，m满足关系式：

3x5y2m2x3ymx199y199xy，试确定m的值．

（北京市竞赛试题）

解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．

【例5】已知ab2a14b23c31c5，求a＋b＋c的值． 2 （山东省竞赛试题）

解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.

【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

n＞0， （3）若△ABC三边的长分别为m16n，9m4n，2mn （m＞0，且m≠n）

试运用构图法求出这个三角形的面积．

（咸宁市中考试题）

222222 解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．

ABC图1

图2

能力训练

A级

1．要使代数式x32x24x3有意义．则x的取值范围是_____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答． 已知a为实数，化简aa解：原式＝aaa31． a1aa1a． a3．已知正数a，b，有下列命题： （1）若a＝1，b＝1，则ab1；

153，b＝，则ab； 2225（3）若a＝2，b＝3，则ab；

2（2）若a＝

（4）若a＝1，b＝5，则ab3．

根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab________．

（黄冈市竞赛试题）

4．已知实数a，b，c满足

11ab2bcc2c0，则a（b＋c）的值为_______． 24

5．代数式xx1x2的最小值是（ ）．

A．0 B．1＋2 C．1 D．不存在 6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ）． A．2.5和20.5 B．3aa和3bb

c3 C．ab和ab D．abc和

ab2273（“希望杯”邀请赛试题）

7．化简9x6x123x5的结果是（ ） ．

（江苏省竞赛试题）

2 A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4

8．设a是一个无理数，且a，b满足ab－a－b＋l＝0，则b是一个（ ）． A．小于0的有理数 B．大于0的有理数 C．小于0的无理数 D．大于0的无理数

（武汉市竞赛试题） 9．已知aa5bab2ab3ba4b，其中ab≠0，求的值．

3abab （山东省中考试颗）

10．已知611与611的小数部分分别是a，b，求ab的值．

（浙江省竞赛试题）

11．设a，b，c为两两不等的有理数． 求证：1ab21bc21ca2为有理数．

（北京市竞赛试题）

12．设x，y都是正整数，且使x116x100y，求y的最大值．

（上海市竞赛试题）

B级

x299x211．已知x，y为实数，y＝，则5x＋6y＝_________．

x32．已知实数a满足1999aa2000a，则a－19992＝___________． 3．正数m，n满足m＋4mn－2m－4n＋4n＝3，那么m2n8的值为_______．

m2n2002 （北京市竞赛试题）

4．若a，b满足3a5b＝7，则s=2a3b的取值范围是________．

（全国初中数学联赛试题）

5．已知整数x，y满足x＋2y＝50，那么整数对（x，y）的个数是（ ）

（江苏省竞赛试题）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知

11a＝1，那么代数式a的值为（ ） aa5 （重庆市中考试题）

A．55 B．－ C．－5 D． 227．设等式axaayaxaay在实数范围内成立，其中x，y，a是两两不同

3x2xyy2的实数．则代数式2的值为（ ） ．

xxyy2 A．3 B．

215 C．2 D． 332228．已知25x15x2，则25x15x的值为（ ） ． A．3 B．4 C．5 D．6

9．设a，b，c是实数，若a＋b＋c＝2a1＋4b1＋6c2－14，求 abcbcacab的值．

（北京市竞赛试题）

10．已知ax3＝by3＝cz3，

111＋＋＝1，求证：3ax2by2cz23a＋3b＋3c． yzxaxbs中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数．求：

cxd（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数， （2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．

11．已知在等式

（“希望杯”邀请赛试题）

12．设s＝111111111，求不超过s的最大整数[s]． 122222321999220002

13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；

（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x4212x29的最小值．

ADBCE（恩施自治州中考试题）