哈工大机械原理凸轮大作业

如图1所示直动从动件盘形凸轮机构。其原始参数见表1。

图一 凸轮运动简图

表一 凸轮原始参数

行程 （mm） 升程运动角（°） 升程运动规律 升程许用压力角（°） 65 90 余弦加速度 35 50 改进正弦 回程运动角（°） 回程运动规律 回程许用压力角（°） 70 100 120 远休止角 近休止角 （°） （°）

二、 计算流程框图

凸轮机构分析建立数学模型速度方程位移方程加速度方程速度线图位移线图加速线图升程压力角ds/dΨ-s曲线确定轴向及基圆半径回程压力角压力角图理论轮廓确定滚子半径实际轮廓轮廓图结束

三、 建立数学模型

1. 从动件运动规律方程

首先，由于设计凸轮轮廓与凸轮角速度无关，所以不妨设凸轮运动角速度为w = 1rad/s。

（1）推程运动规律 (0 < φ < 90°)

s=×[1−cos⁡( v=

2

πhw2φ0

hπφ0

×φ）]

×sin⁡(

πφ0

×φ）

πφ0

a=⁡

𝜋2ℎ𝑤22φ02

×cos⁡(×φ）

式中：h=65mm，Φ0=π/2

（2）远休程运动规律 (90°< φ < 190°)

s = 65mm v = 0 a = 0

（3）回程运动规律 (190°< φ < 240°)

h(φ−⁡φ0⁡−⁡φs)

s1⁡=⁡h⁡−∗(π∗−

4+πφ0′

sin(4∗π∗

φ−⁡φ0⁡−⁡φs

φ0′

)

4)⁡⁡⁡⁡

(190°< φ < 196.25°)

(φ−⁡φ0⁡−⁡φs)h

s2⁡=⁡h⁡−∗(2+π∗−

4+πφ0′

9∗sin(3+4∗π∗

4π

φ−⁡φ0⁡−⁡φs3∗φ0′

)

)⁡⁡⁡

(196.25°< φ < 233.75°)

h(φ−⁡φ0⁡−⁡φs)

s3⁡=⁡h⁡−∗(4+π∗−

4+πφ0′

sin(4∗π∗

φ−⁡φ0⁡−⁡φs

φ0′

)4)⁡⁡⁡

(233.75°< φ < 240°)

回程运动中的速度与加速度为位移对时间t的倒数：

dsv= dtdva=

dt（4）近休程运动规律 (240°< φ < 360°)

s = 0 v = 0 a = 0

2. 从动件位移、速度、加速度线图

（1）位移线图

（2）速度线图

（3）加速度线图

（4）位移、速度、加速度线图MATLAB源程序 %% 已知条件 h = 65; %mm

phi_0 = 90./180*pi; %rad

alpha_up_al = 35./180*pi; %升程许用压力角 phi_00 = 50./180*pi;

alpha_down_al = 70./180*pi; %回程许用压力角

phi_s = 100./180*pi; phi_ss = 120./180*pi; w = 1;

%% 绘制从动件位移、速度、加速度线图 % 推程阶段 t_up = 0 : 0.5 : 90; t_up1 = t_up./180*pi;

syms t_up1 phi_up s_up v_up a_up phi_up = w.*t_up1;

s_up = h./2.*(1 - cos(pi.*phi_up./phi_0)); v_up = diff(s_up,t_up1); a_up = diff(v_up,t_up1);

s_up1 = double(subs(s_up,t_up./180*pi)); v_up1 = double(subs(v_up,t_up./180*pi)); a_up1 = double(subs(a_up,t_up./180*pi)); % 远休程

t_s = 90 : 0.5 : (90+100); t_s1 = t_up./180*pi; s_s(1:201) = h; v_s(1:201) = 0; a_s(1:201) = 0; % 回程阶段1

t_down1 = (90+100) : 0.5 : (90+100+50/8); t_down11 = t_down1./180*pi;

syms t_down11 phi_down1 s_down1 v_down1 a_down1 phi_down1 = w.*t_down11;

s_down1 = h - h./(4+pi).*(pi.*(phi_down1 - phi_0 - phi_s)./phi_00 - ...

sin(4.*pi.*(phi_down1 - phi_0 - phi_s)./phi_00)./4);

v_down1 = diff(s_down1,t_down11); a_down1 = diff(v_down1,t_down11);

s_down11 = double(subs(s_down1,t_down1./180*pi)); v_down11 = double(subs(v_down1,t_down1./180*pi)); a_down11 = double(subs(a_down1,t_down1./180*pi)); % 回程阶段2

t_down2 = (90+100+50/8) : 0.5 : (90+100+7*50/8);

t_down22 = t_down2./180*pi;

syms t_down22 phi_down2 s_down2 v_down2 a_down2 phi_down2 = w.*t_down22;

s_down2 = h - h./(4+pi).*(2+pi.*(phi_down2 - phi_0 - phi_s)./phi_00 - 9.*sin(pi./3 + 4.*pi.*(phi_down2 - phi_0 - phi_s)./(3.*phi_00))./4); v_down2 = diff(s_down2,t_down22); a_down2 = diff(v_down2,t_down22);

s_down22 = double(subs(s_down2,t_down2./180*pi)); v_down22 = double(subs(v_down2,t_down2./180*pi)); a_down22 = double(subs(a_down2,t_down2./180*pi)); % 回程阶段3

t_down3 = (90+100+7*50/8) : 0.5 : (90+100+50); t_down33 = t_down3./180*pi;

syms t_down33 phi_down3 s_down3 v_down3 a_down3 phi_down3 = w.*t_down33;

s_down3 = h - h./(4+pi).*(4+pi.*(phi_down3 - phi_0 - phi_s)./phi_00 - …

sin(4.*pi.*(phi_down3 - phi_0 - phi_s)./phi_00)./4);

v_down3 = diff(s_down3,t_down33); a_down3 = diff(v_down3,t_down33);

s_down33 = double(subs(s_down3,t_down3./180*pi)); v_down33 = double(subs(v_down3,t_down3./180*pi)); a_down33 = double(subs(a_down3,t_down3./180*pi)); % 近休程

t_ss = (90+100+50) : 0.5 : 360; s_ss(1:241) = 0; v_ss(1:241) = 0; a_ss(1:241) = 0; % 绘图位移

t = [t_up t_s t_down1 t_down2 t_down3 t_ss]; phi = w .* t ./ 180 .*pi;

s = [s_up1 s_s s_down11 s_down22 s_down33 s_ss]; v = [v_up1 v_s v_down11 v_down22 v_down33 v_ss]; a = [a_up1 a_s a_down11 a_down22 a_down33 a_ss]; figure('Name','从动件位移-时间线图'); plot(t,s,'k','linewidth',1.0);

grid on;

title('从动件位移-时间线图'); xlabel('转角\\phi / 度'); ylabel('位移h/mm'); % 绘图速度

figure('Name','从动件速度-时间线图'); plot(t,v,'k','linewidth',1.0); grid on;

title('从动件速度-时间线图'); xlabel('转角\\phi / 度'); ylabel('速度v/mm*s^{-1}'); % 绘图加速度

figure('Name','从动件加速度-时间线图'); plot(t,a,'k','linewidth',1.0); grid on;

title('从动件加速度-时间线图'); xlabel('转角\\phi / 度'); ylabel('加速度a/mm*s^{-2}');

3. 绘制ds/dΦ线图并确定基圆半径与偏距

（1） 绘制ds/dΦ线图及源程序 ① MATLAB源程序：

%% 绘制ds/dphi-s线图，确定基圆半径与偏距 ds_dphi = v ./ w;

figure('Name','凸轮ds/dphi - s线图'); plot(ds_dphi,s,'k','linewidth',1.5); hold on;

axis([-150 150 -70 70]); grid on;

title('凸轮ds/dphi - s线图'); xlabel('ds/dphi / (mm*s^{-2})'); ylabel('s/mm');

% 三条临界线

x = linspace(-150,150,301); k_up = tan(pi/2 - alpha_up_al); y_up = k_up.*x - 66; plot(x,y_up,'linewidth',1.5);

k_down = - tan(pi/2 - alpha_down_al); y_down = k_down.*x - 24.7; plot(x,y_down,'linewidth',1.5); x0 = linspace(0,150,151); k0 = - tan(alpha_up_al); y0 = k0.*x0; plot(x0,y0,'--');

% 由图像选取凸轮基圆半径为r0 = sqrt(23^2 + 34^2) = 41 mm,偏距e = 23mm plot(23,-34,'or'); r0 = 41; e = 23;

plot(linspace(0,23,10),linspace(0,-34,10),'r',linspace(0,23,10),linspace(-34,-34,10),'r',linspace(23,23,10),linspace(0,-34,10),'r','linewidth',1.0);

（2） 确定基圆半径与偏距

在凸轮机构的ds/dφ-s线图里再作斜直线Dt-dt与升程的[ds/dφ-s]曲线相切并使与纵坐标夹角为升程许用压力角[α]，则Dt-dt线的右下方为选择凸轮轴心的许用区。作斜直线Dt'-dt'与回程的[ds/dφ-s]曲线相切，并使与纵坐标夹角为回程的许用压力角[α]，则Dt'-dt'线的左下方为选择凸轮轴心的许用区。考虑到升程开始瞬时机构压力角也不超过许用值，自B0点作限制线B0-d0''与纵坐标夹角为升程[α]，则这三条直线的围成的下方区域为为选取凸轮中心的许用区。

由图可取基圆半径r0=√𝑥02+𝑦02=41mm，偏距e=23mm，s0=34mm。

4. 绘制凸轮理论轮廓压力角、曲率半径线图

（1） 压力角、曲率半径数学模型

压力角计算公式：

ds

α=atan⁡(|−e|/(s0+s))⁡

dφ曲率半径计算公式：

[(dx/d)2(dy/d)2]3/2 2222(dx/d)(dy/d)(dy/d)(dx/d)其中：

dx/d[(ds/d)e]sin(s0s)cos dy/d[(ds/d)e]cos(s0s)sin d2x/d2[2(ds/d)e]cos[(d2s/d2)s0s]sin d2y/d2[2(ds/d)e]sin[(d2s/d2)s0s]cos

（2） MATLAB程序

%% 凸轮理论轮廓压力角与曲率半径线图 r0 = 41; e = 23; s0 = 34; % 压力角

t = [t_up t_s t_down1 t_down2 t_down3 t_ss]; alpha = atan(abs(ds_dphi - e)./(s0 + s)) ./ pi.*180; % 曲率半径

p = ((r0 + s).^2 + (w.*v).^2).^(3./2) ./ ((r0 + s).^2 + 2.*(w.*v).^2 - w.*w.*a.*(r0 + s)); % 画图

figure('Name','凸轮理论轮廓压力角与曲率半径线图'); [hAx,hLine1,hLine2] = plotyy(t,p./2,t,alpha); title('凸轮理论轮廓压力角与曲率半径线图'); xlabel('转角\\phi / 度');

ylabel(hAx(1),'曲率半径*2 / mm'); % left y-axis ylabel(hAx(2),'压力角 / 度'); % right y-axis grid on;

axis(hAx(1),[0,360,-20,100]); axis(hAx(2),[0,360,-20,100]); hLine1.LineWidth = 1; hLine2.LineWidth = 1; hLine1.Color = 'k'; hLine2.Color = 'b';

（3） 理论轮廓压力角、曲率半径线图

5. 确定滚子半径，绘制凸轮理论轮廓与实际轮廓

（1）建立数学模型

根据曲率半径线图可知，最小曲率半径在30mm附近，防止凸轮工作轮廓出现尖点或出现相交包络线，选取滚子半径为rr = 10mm。

凸轮理论轮廓曲线方程为：

x=(s0+s)cos𝜑−𝑒𝑠𝑖𝑛𝜑 y=(s0+s)sin𝜑+𝑒𝑐𝑜𝑠𝜑

（其中0≤𝜑≤2𝜋） 凸轮实际轮廓曲线方程为：

X=x+rr

dy/d𝜑

√(dx/d𝜑)2+(dy/d𝜑)2 Y=y−rr

（其中0≤𝜑≤2𝜋） （2） MATLAB程序

dx/d𝜑

√(dx/d𝜑)2+(dy/d𝜑)2 %% 确定滚子半径，绘制凸轮理论轮廓与实际轮廓 rr = 10; %滚子半径 % 理论轮廓

x = (s0 + s).*sin(phi) + e.*cos(phi); y = (s0 + s).*cos(phi) - e.*sin(phi); % 实际轮廓

X = x + rr.*(gradient(y)./0.5)./sqrt((gradient(x)./0.5).^2 + (gradient(y)./0.5).^2); Y = y - rr.*(gradient(x)./0.5)./sqrt((gradient(x)./0.5).^2 + (gradient(y)./0.5).^2); % 绘图

figure('Name','凸轮轮廓');

plot(x,y,'k',X,Y,'k','linewidth',1.0); %轮廓 hold on; grid on;

theta = 0:pi/100:2*pi;

plot(r0.*cos(theta),r0.*sin(theta),'k','linewidth',1.0); % 基圆 plot((r0-rr).*cos(theta),(r0-rr).*sin(theta),'k','linewidth',1.0); plot(e.*cos(theta),e.*sin(theta),'k');

plot(rr*cos(theta)+e,rr*sin(theta)+s0,'k','linewidth',1.0); % 滚子

plot(e,s0,'Marker','o','MarkerSize',5,'MarkerFaceColor','k'); plot([e,e],[s0,s0+100],'k','linewidth',1.0); % 从动件 plot([e-3,e-3],[100,110],'k','linewidth',1.0); plot([e+3,e+3],[100,110],'k','linewidth',1.0); axis equal; title('凸轮轮廓'); xlabel('x/mm'); ylabel('y/mm');

（3） 凸轮轮廓图

四、 计算结果分析

根据位移、速度、加速度线图可知：凸轮运动一个周期中，从动件的速度没有突变，但是加速度在推程阶段是有突变的，所以在推程阶段是柔性冲击的，该机构适用于低速与中速情况。而且从动件回程阶段的速度要要达到了升程阶段的2倍，回程的时间也远小于升程的时间，这样大大提高了工作的效率。

根据曲率半径线图可知：曲率半径的最小值为30mm，而滚子半径为10mm，所以曲率半径最小值要大于滚子半径，不会出现尖点。

根据压力角线图可知：推程压力角的最大值为35度，等于许用推程压力角。回程压力角的最大值为70度，也等于回程许用压力角。所以该凸轮设计符合要求。