用拉格朗日多项式内插计算GPS卫星位置

用拉格朗日多项式内插计算GPS卫星位置

陈兆林;张书毕;佟瑞菊

【摘 要】介绍了用精密星历通过拉格朗日多项式内插计算GPS卫星轨道位置的方法,并利用IGS跟踪站给出精密星历作为实例进行编程计算,给出了拉格朗日内插法得到的卫星位置误差与多项式阶数的关系,结果表明,用拉格朗日多项式内插法得到的卫星位置精度能够满足精密定位的要求. 【期刊名称】《全球定位系统》 【年(卷),期】2007(032)002 【总页数】3页(P33-35)

【关键词】精密星历;拉格朗日多项式插值;卫星轨道 【作 者】陈兆林;张书毕;佟瑞菊

【作者单位】中国矿业大学环境与测绘学院,江苏,徐州,221008;中国矿业大学环境与测绘学院,江苏,徐州,221008;中国矿业大学环境与测绘学院,江苏,徐州,221008 【正文语种】中 文 【中图分类】工业技术

用 拉 格 朗 日多 项 式 内插 计 算 GPS 卫 星 位 置陈兆 林 ， 张 书毕 ，佟瑞 菊 (中国矿业大学环境与测绘学 院． 江苏 徐州 221008)摘 要 ：介绍 了 用 精 密星 历 通过拉格 朗 日 多项 式 内插 计 算 GPS 卫 星 轨道位 置 的 方 法 ，并利 用 IGS 跟踪站 给 出精 密星历 作 为 实例 进行 编 程计 算 ，给 出 了拉格 朗 日 内插 法 得 到 的 卫 星 位置误 差 与 多项 式 阶数 的 关 系，结 果表 明 ，用 拉格 朗 日

多项 式 内插 法得到 的 卫 星 位置 精度 能 够满足精 密定位 的要求 。关键词 ：精 密星历 ；拉格 朗 日 多项 式插值 ；卫 星轨道中图分类号 ：P207文献标识码 ：A文章编 号 ：1008-9268(2007)02-0033-03 1 引 言 在 GPS 定位 中 ，轨道信息是定位 的基本要素 ，而卫星的轨道信息是通过星历给出的 ，因此星历误 差将成为一种起算数据误差 ，在正确的施加 了对流 层延迟 、 电离层延迟 等误差 改正 的前 提下 ，卫 星单 点定位误差 的量级 大体上 与卫星 星历误差 的量级 相 当[ 妇，因而 在 利 用 广 播 星 历 进 行 卫 星 单 点 定 位时，精度一 般 只 能 达 到 数米 至 数 十 米 。 而 IGS 最 终星历的精度优于 5cm ，在施加 同样 的误差改正 的 前提下 ，采用 IGS 精密星 历进行 单点定 位 的精 度 将 比利用 广播星历高 1 ～ 2 个数量级 ，可 以 达 到分 米级甚至是厘米级 。 但是精密星历是按 照 一定 的 时间间隔 （ 通 常为 15min ） 给 出的 ，在实 际定位 中 ， 接收机的采样 率 一 般 为 30s 、 15s ， 因此 ， 如 何 利 用 精密星历快速的确 定观测 瞬 间卫星 的位 置成 为实 际应用 中一项重要 的工作 。目前 ，国内外较常用 的方法是对精密星历进行 插值或者拟合来获得高精度的卫星坐标 ，其 中主要 的插值方法有 多项式 内插法 和 三 角 内插法 。 根 据Schenewerk等人的分析 ，采 用 多项 式 内插 法 和 三角 内插法得到的精度基本相 当 ，并且 内插造成 的卫 星坐标精度 损失 要 远 远 小 于 星 历本 身 的误 差‘ 2] 。在多项式插值法 中拉格 朗 日( Lagrange) 法 因其插 值速度快且易于编程被广泛 的采用 ，在用拉格 朗 日 法对精密星历进行插值计算 时涉及 到插值 的 阶数 选择问题 ，如果选 用 的阶数 太低 ，精度将 达不到 要 求 ，如果 阶数过高 ，将会 白白浪费计算机的资源 ，同收弼 日期 ：2006-12-042007.2 ／ 全球定位 系统时高阶的拉格 朗 日插值在 区 间边界可能 出现摆动 ，内插效果并不一定好 。 2拉格 朗 日插值多 项 式 2.1拉格 朗 日多项式及 内插方法设 y 一 厂 (z) 是 区 间 [口 ，6]上 的一个 实 函 数 ，xi (i=0 ， 1-- ，7z) 是[口 ，6]上 n+l 个互异 实数 ，且 y-厂 (x) 在 xi 的值为 3， i 一 厂

(zi) ，则 区 间 [口 ，6]上 任意一点 z 的 n 阶拉格 朗 日插值多项式 的代数表达式为‘ 3] 厂 Q 卜 ∑M Ⅱ （ 摹专 ）( i-0点 z ；(i =i0，1-- ，， z)称为插值节点 ，包含插值节点 的 区 间[口 ，6]称为插值区 间 。利用 (1) 式 内插观测 瞬 间卫星 的位 置 ，z 即 为 观测时刻 ，弘 为精密 星历 给 出 的 zi 时刻 卫星 的三 维位置 。因此 ，要想获得任意时刻卫星位置的 n 阶拉格 朗 日内插值 ，必须至少 有 n+l 个 时刻 的卫星 位置 ，并且 内插时刻要在 已 知时刻 的 区 间内。 如果 待求点位于 已 知数据点 的 中央 ，则 可 以保证最佳的 内插效果 ，即对称 内插 的方法 ，例 如 7 阶拉格 朗 日 插值多项式其最佳插值时 刻为第 四 和第 五个插值 节点 中间的时刻 ，对 于 8 阶拉格 朗 日插值 多项式 ， 其最佳插值时刻则 有两个 ，分别 为 第 四 、 第五插值 节点 的 中间 时 刻 和 第 五 、 第 六 插 值 节 点 的 中间 时 刻 。如果插值时刻位 于插值 区 间 以 外则称为轨道的外推 ‘ 4]。 2.2 程序 设计 33摘要：介绍 了 用 精 密星 历 通过拉格 朗 日 多项 式 内插 计 算 GPS 卫 星 轨道位 置 的 方 法 ，并利用IGS跟踪站 给 出精 密星历 作 为 实例 进行 编 程计 算 ，给 出 了拉格 朗 日 内插 法 得 到 的 卫 星 位 1引言在GPS定位 中 ，轨道信息是定位 的基本要素 ，而卫星的轨道信息是通过星历给出的 ，因此星历误差将成为一种起算数据误差 ，在正确的施加 了对流层延迟 、 电离层延迟 等误差 改正 的前 提下 ，卫 星单点定位误差 的量级 大体上 与卫星 星历误差 的量级相 当[ 妇，精度一 般 只 能 达 到 数米 至 数 十 米 。 而 IGS 最终星历的精度优于 5cm ，在施加 同样 的误差改正 的前提下 ，采用 IGS 精密星 历进行 单点定 位 的精 度将 比利用 广播星历高 1 ～ 2 个数量级 ，可 以 达 到分米级甚至是厘米级 。 但是精密星历是按 照 一定 的时间间隔 （ 通 常为 15min ） 给 出的 ，在实 际定位 中 ，接收机的采样 率 一 般 为 30s 、 15s ， 因此 ， 如 何 利 用精密星历快速的确 定观测 瞬 间卫星 的位 置成 为实际应用 中一项重要 的工作 。目前 ，国内外较常用 的方法是对精密星历进行插值或者拟合来获得高精度的卫星坐标 ，其 中主要的插值方

法有 多项式 内插法 和 三 角 内插法 。 根 据 Schenewerk角 内插法得到的精度基本相 当 ，并且 内插造成 的卫星坐标精度 损失 要 远 远 小 于 星 历本 身 的误 差‘ 2]在多项式插值法 中拉格 朗 日( Lagrange) 法 因其插值速度快且易于编程被广泛 的采用 ，在用拉格 朗 日法对精密星历进行插值计算 时涉及 到插值 的 阶数选择问题 ，如果选 用 的阶数 太低 ，精度将 达不到 要求 ，如果 阶数过高 ，将会 白白浪费计算机的资源 ，同收弼 日期 ：2006-12-04 2007.2 ／ 全球定位 系统设y一 厂 (z) 是 区 间 [口 ，6]上 的一个 实 函 数 ，xi (i=01--，7z) 是[口 ，6]上 n+l 个互异 实数 ，且 y-厂(x)xi的值为 3， i 一 厂 (zi) ，则 区 间 [口 ，6]上 任意一点 z的n阶拉格 朗 日插值多项式 的代数表达式为‘ 3]Q卜∑MⅡ （摹专 ）点z；(i =i0，1-- ，， z)称为插值节点 ，包含插值节利用 (1) 式 内插观测 瞬 间卫星 的位 置 ，z 即 为观测时刻 ，弘 为精密 星历 给 出 的 zi 时刻 卫星 的三维位置 。拉格 朗 日内插值 ，必须至少 有 n+l 个 时刻 的卫星位置 ，并且 内插时刻要在 已 知时刻 的 区 间内。 如果待求点位于 已 知数据点 的 中央 ，则 可 以保证最佳的内插效果 ，即对称 内插 的方法 ，例 如 7 阶拉格 朗 日插值多项式其最佳插值时 刻为第 四 和第 五个插值节点 中间的时刻 ，对 于 8 阶拉格 朗 日插值 多项式 ，其最佳插值时刻则 有两个 ，分别 为 第 四 、 第五插值节点 的 中间 时 刻 和 第 五 、 第 六 插 值 节 点 的 中间 时刻 。 2.2程序 设计用精密星历进行卫星 轨道位 置 的 内插计算时 将涉及到大量 的计算 ，例 如 ， IGS 提供 的精 密 星 历 历元间隔为 15min，一天将给出 29 颗卫星 的 96 个 时刻的位置信息 ，要想 内插计算一天 的数据要涉及 到 的数据约 为 8000 个 ，因此 ，必须编程实现卫星轨 道位置的 内插计算 。作者在 MATLAB7.O环境下编写 了 拉格 朗 日多项式 的算法程序 ，代码如下‘ 5]： % …一 Lagrange 插值多项式一一 %X为插值节点 ，y 为相应 的函数值 %z 为插值时刻functiony — interp_lag(X,Y,x)咒 -length(X) ；y — zeros(size(x 》 ； for i一 l:nt=l;for歹一 l:nifj — =it=t ． * （ z — X

（ 歹 ） ） ／ (X(i) 一X(j)) ； endend y-3 ，+t*Y(i) ；end 3计算 实例及精度分析作者选取 了 Gl 号 、Gll 号和 G16 号三颗卫星 2006 年 9 月 1 日 0 时 至 2006 年 9 月 2 日23h45min(GPS时)共两天 的 IGS 精密 星历作 为算例进行卫星位置的 内插计算来研究 不 同阶数拉格 朗 日多项式 内插所 能达 到 的精度 。 精 密星 历 给 出 的卫星位置时间间隔 为 15min ，计算时取 30min 间 隔 的星历作为 内插 点 内插计算各个 内插 时 间段 中 间时刻 的卫星位置 ，这样可 以对 内插得 到 的卫星位 置同精密星历给出的卫星位置进行 比较 。 为了能够达到最佳 内插效果 ，算例采用对称 内 插的方法 ， 由于星历 的边缘时刻必须用其前一天 和 后 一天 的星历数据才能进行 内插计算 ，所 以 略去边 缘时刻 ， 这样 共得 到 76 个 内插 节 点 和 76 个 插 值 点 。对每个插值点进行 1 到 20 阶的拉格 朗 日插值 计算 ，得 到的结果 与精密星历给出的结果 比较 。 对 于每阶插值多项式 ，都会得到 76 个插值 中误差 ，取Gl号卫星 5-20阶的 内插结果列 于表 1 。表 1Gl 号卫星 30min 时间 间隔轨道 内插结果┏ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃多项式┃ ┃误差最大值┃ ┃ ┃平均误差阶数┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃ U(m)┃ y。 (m) V-(m)V 。 (m) y： (m) V (m)┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ 5 110.1783 112.0800 41.9570 72.8104． 77.1863 24.0852 108.8080 6 21.6969 23.2974 5.7655 14.7577 14.6032 3.5267 21.0590 7 4.0910 4.0619 0.9403 2.4501 2.6061 0.4345 3.6033 8 0.8458 0.9153 0.1701 0.5068 0.5006 0.0882 0.7178 9 0.17 81 0.1719 0.0350 O ． 0908 0.0966． 0.0178 0.1337 10 O ． 0411 0.0448 0.0088 0.0209 0.0207 0.0048 0.0298 11 0.0134 0.0117 0.0092 0.0049 0.0051

O ． 0018 0.0073 12 0.0079 0.0061 0.0083 0.0018 0.0017 0.0014 0.0029 13． 0.0076 0.0012 0.0022 14 0.0072 0.0075 0.0082 0.0011 0.0021 15 0.0068 0.0074 0.0078． o． 0012 0 ． 0014 16 0.0070 O ． 0076 0.0081 O ． 0011 17 18 0.0069 O ． O011 O ． 0012 19 20 O ． 0069 0.0080┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛由上 表 可 以 看 出 ， 随 着 插 值 多 项 式 的 次数增果精度趋于稳定 。 图 1 给 出 了 三 颗卫星 1-20 阶高 ，结果精度也逐渐提高 ， 当插值次数在 11 阶以 上插值 的点位 中误差变化 曲线 ，第一 幅图为 1-20 阶时可 以达到毫米级 的精度 ，当次数高于 13 阶时 ，结插值误差 的整体变化趋势 ，后面三 幅 图为局部放大 34 GNSS World of China/2007.2用精密星历进行卫星 轨道位 置 的 内插计算时将涉及到大量 的计算 ，例 如 ， IGS 提供 的精 密 星 历历元间隔为 15min，一天将给出 29 颗卫星 的 96 个时刻的位置信息 ，要想 内插计算一天 的数据要涉及到 的数据约 为 8000 个 ，因此 ，必须编程实现卫星轨道位置的 内插计算 。 %…一Lagrange插值多项式一一 %z为插值时刻 functiony — interp_lag(X,Y,x)咒- length(X) ； y—zeros(size(x 》 ； for i一 l:n t=l; for歹一 l:n if j=i t=t*（— X歹）／(X(i)一X(j))； end -3，+ t* Y(i) ； 2006年9月1日0至20062 23h45min(GPS例进行卫星位置的 内插计算来研究 不 同阶数拉格朗 日多项式 内插所 能达 到 的精度 。 精 密星 历 给 出的卫星位置时间间隔 为 15min ，计算时取 30min 间隔 的星历作为 内插 点 内插计算各个 内插 时 间段 中间时刻 的卫星位置 ，这样可 以对 内插得 到 的卫星位置同精密星历给出的卫星位置进行 比较 。为了能够达到最佳 内插效果 ，算例采用对称 内插的方法 ， 由于星历 的边缘时刻必须用其前一天 和后 一天 的星历数据才能进行 内插计算 ，所 以 略去边缘时刻 ， 这样 共得 到 76 个 内插 节 点 和 76 个 插 值点 。对每个插值点进行 1 到 20 阶的拉格 朗 日插值计算 ，得 到的结果

与精密星历给出的结果 比较 。 对于每阶插值多项式 ，都会得到 76 个插值 中误差 ，取 Gl表号卫星 30min 时间 间隔轨道 内插结果┏━┳┓┣╋┫V(m) 0. 7178 17 81 O09080. 017804110018o．0012 0 01400760011O0110069┗┻┛果精度趋于稳定 。 图 1 给 出 了 三 颗卫星 1-20 阶插值 的点位 中误差变化 曲线 ，第一 幅图为 1-20 阶图 。由图 1 ，用 30min 历元 内插计算 的三颗卫星轨 道精度其变化趋势是一致 的 ，都随着多项式阶数的 4 结 论增 加而逐渐提高 ，当阶数高于 13 时 ，内插计算 的卫星位置误差稳定在 2mm 左右 。图 1 内插精度变化 曲线参考文献用精 密 星 历 通 过 拉 格 朗 日 多 项 式 内插 计 算 GPS卫 星 的位 置 ，其精度 随着 多 项式 的 阶数增 加 逐渐提高 。 用 30min 的历元间隔 以及 10 阶多项式 内插计算就能获得厘米级 的轨道精度 ，当阶数增加 到12阶以上 时 ，精度可 以达到毫米级 ，能够满足精 密定位 的要求 。 并且拉格 朗 日多项式形式简单 ， 内 插速度快并且有利于用计算机编程实现 ，是一种可 以推广的计算卫星位置的 内插方法 。 [1]李征航 ，黄劲松． GPS 测量 与数据处理[M] ． 武汉 ：武汉大学 出版社 ．2005 [2]SchenewerkM.A brief reviewof basic GPSorbit in- terpolationstrategies[J]. Solutions2003,6(4): 265-267[3]曹德欣 ，曹璎珞， 计算方法 （ 第二版 ） [M] ． 徐 州 ：中国矿业大学 出版社 ，2001 [4]陈正 阳 ，易重海． 用切 比雪夫 多项 式进 行 GPS 卫 星 轨道标准化[J]． 矿 山测量 ，2002 ，30(2) ：5 —7[5]尹泽 明， 丁春利． 精通 MATLAB6[M]． 北京 ：清华大学 出版社． 2001 Computing theLocationofGPS

SatellitesbyLagrangePolynomial CHENZhao-Iin,ZHANGShu-bi,TONG Rui-ju (Schoolo厂EnvironmentandSpatiatj 靠， ormatics,ChinaUniversityo,Mining andTechnology,Xuzhou． ， iangsu21008).Abstract:Themethodof computingGPSsatellitelocationusingpreciseephemerisbyLagrangePol- ynomialinterpolatingis introducedin this paper. The

relationbetweensatellite pointerrorandpolyno- mialorderis

presentedbyanexamplewiththepreciseephemerisfromIGStrackstation. Theresultshows thattheprecisionforsatellite

locationbyLagrangePolynomialinterpolatingcanbemeetthe needsof precisepositioning. Keywords:Preciseephemeris;Lagrange-Polynomialinterpolating;satellite orbit作者简介 ：陈兆林（ 1981- ） ， 男 ， 满 族 ，辽 宁庄 河人 ，在 读 硕 士研 究 生 ，主要从 事 GPS 及现代 数据 处理 方 面 的研 究 。2007.2 ／ 全球定位 系统35由图 1 ，用 30min 历元 内插计算 的三颗卫星轨道精度其变化趋势是一致 的 ，都随着多项式阶数的 4结论图内插精度变化 曲线卫 星 的位 置 ，其精度 随着 多 项式 的 阶数增 加逐渐提高 。 用 30min 的历元间隔 以及 10 阶多项式内插计算就能获得厘米级 的轨道精度 ，当阶数增加到阶以上 时 ，精度可 以达到毫米级 ，能够满足精密定位 的要求 。 并且拉格 朗 日多项式形式简单 ， 内插速度快并且有利于用计算机编程实现 ，是一种可以推广的计算卫星位置的 内插方法 。 [2] M.A brief reviewof basic GPSorbit in- terpolationstrategies[J]. Solutions2003,6(4): 265 - 267 [3]陈正 阳 ，易重海． 用切 比雪夫 多项 式进 行 GPS 卫 星轨道标准化[J]． 矿 山测量 ，2002 ，30(2) ：5 —7 [5]尹泽 明， 丁春利． 精通 MATLAB6[M]． 北京 ：清华 the Location ofGPS SatellitesbyLagrangePolynomial CHEN Zhao-Iin,ZHANG Shu-bi,TONG (Schoolo厂EnvironmentandSpatiatj 靠，

ormatics,ChinaUniversityo,Mining and Technology, Xuzhouiangsu 21008). Abstract:Themethodof

computingGPSsatellitelocationusingpreciseephemerisbyLagrangePol- ynomialinterpolatingis introducedin this paper. relationbetweensatellite pointerrorandpolyno- mialorderis

presentedbyanexamplewiththepreciseephemerisfromIGStrackstation. result shows thattheprecisionforsatellite

locationbyLagrangePolynomialinterpolatingcanbemeetthe needsof precisepositioning. Key words: Preciseephemeris;Lagrange-Polynomialinterpolating;satellite orbit1981-男满 族 ，辽 宁庄 河人 ，在 读 硕 士研 究 生 ，主要从 事 GPS 及现代 数据 处理 方 面 的研 究 。 35

【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_gnss-world-china_thesis/0201236540483.html

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