三阶幻方的讲解

三阶幻方的讲解

在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！

雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间

先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和

幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3

=45÷3

=15

（3）选择解题突破口

突破口显然是e，在图2中，

因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，

所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）

=15+15＋15＋15=60，

也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

因为a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，

所以45+3×e=60

所以3×e=60-45

e=5

也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

（4）四个角上的数a，c，g，i的特点

先从a开始讨论：a是奇数还是偶数。

如果a为奇数，因为a＋i=10，所以i也是奇数。因为a＋d＋g=15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况：

①当d、g都是奇数时，因为d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中e，i都是奇数，所以f，h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a，d，e，f，g，h，i这七个奇数，而1～9这九个数中只有五个奇数，矛盾。说明d，g不可能为奇数。

②当d，g为偶数时，因为d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因为i为奇数，所以f，h，c只能是偶数，这样就有c，d，f，g，h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d，g都是偶数也不行。

所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a+i=10知，i也是偶数。

用同样的方法可以得到c，g也只能是偶数。也就是说，图1中四个角上的数都应填偶数。

（5）试验填数排出幻方

因为e=5，a，c，g，i是偶数，所以a的范围有2，4，6，8四个数，根据幻和等于15进行试验：

当a=2时，i=8，c可填4，6。若c=4，则有g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若c=6，则有g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，这样填出两个三阶幻方。

当a=4，6，8时，请同学们自己用上面的方法进行试验填数，作为练习。

用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个，如图3所示。

说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而得到其余七个图形。因此，我们把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。

例2 如下图的3×3的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。现在另有一个3×3的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

分析与解 所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而9＋11=20，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。

例3 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

分析与解 根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为24÷3=8。那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。

1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16

按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24（如图7）。

例4 在图8中的A，B，C，D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。

分析与解 从第一行和对角线可得，

A＋7＋D=A＋10＋6

7＋D=16

D=9

这样幻和=9＋15＋6=30

从第一行中可求出

A=30-（7＋9）=14；

从第二行中可求出B=30-（10＋15）=5；

从第三行中可求出C=30-（11+6）=13。

例5 在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。

分析与解 为了叙述方便，我们将其余格内的数用字母表示，如图10。

因为幻和为36，所以可求出中心数为：

36÷3=12，即C=12。

从第二行中可求出D=36-（6＋12）＝18；

从对角线中可求出E＝36-（5＋12）=19；

从第一列中可求出A=36-（6＋19）=11；

从第一行中可求出B=36-（11＋5）=20；

从第二列中可求出F=36-（20+12）＝4；

从第三列中可求出G=36-（5＋18）=13。

得到的三阶幻方如图11。

从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。

三阶幻方， 幻和为15

是最简单的幻方 由1,2,3,4,5,6,7,8,9

九个数字组成的一个 三行三列的 矩阵

其对角线 横行 纵向 的数字 的和都为为15

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。

解：

上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。

南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”

公式

S=n(n ^2+1) /2

其中n为幻方的阶数，所求的数为S