质量与能量

【引子】质能方程

我们对质量和能量等价性的探讨，从质能方程开始。我们都知道，质能方程是相对论的一个重要的，也许也是最有名的推论。它告诉我们，物质的惯性和其蕴含的能量成正比。这个方程可谓核物理学家的福音，爱因斯坦发表此公式不久，就有人利用其解释了核反应能量的来源。于是，现代潘多拉魔盒的封印也就此打开。

首先，让我们从形式上简短回忆下质能方程的内容。质能方程有如下形式E=mc^2，意义似乎很明显：物体所包含的能量与其质量成正比。我们知道，相对论中物体动质量m和静止质量m0有关系m=m0/sqrt(1-v^2/c^2)。于是这种质量增加也就被诠释为物体能量的增加。具体来说，物体处于静止状态时，公式中的质量为静质量m0，这对应于静能量E0。当物体速度增加时，能量增加，质量也随之相应增加。而这里所谓“质量增加”与其说成是某种抽象存在物“质量”在增加，不如简明地说成是物体惯性增大。换句话说，物体速度增加时物体的惯性会增大——不管物体内部结构由那种自然力支配。

质能方程直观上告诉我们，质量和能量作为描述物理系统的两面，实际上代表一个意思。而在现代物理的语境中，这两个概念也确实时常相互替代使用。那么多出来的质量从何而来，又存在在哪里？所谓质量和能量相互转化，又是什么意思？传说中摧枯拉朽的核能究竟从何而来？为了解答这些问题，让我们先从一个电子开始。

电磁场和电磁质量

现在我们考察一些具体的系统。最简单的情形引出这样的问题：如果电子不产生电场，其物理性质会有什么差别？从实证主义者看来，这种问法似乎既无法回答，又无甚价值，因为我们不可能找到不产生电场的电子，并测量其性质。但从理论的角度看，不管是站在经典还是量子的立场上，都可以对这个貌似经院哲学的问题有所说道。而在本文中，我们更关注的是：电磁场对于电子的质量有什么影响？

首先让我们明确一点：电磁场携带动量和能量。这是什么意思呢？我们不妨这样理解：电磁场施加在物质粒子上的作用力会改变其动量和能量。电磁波是一种特殊的电磁场存在形式，当电磁波脱离发射源较远之后，对发射源可以认为没有作用，而这时电磁波的接收方自然会受到电磁波的作用而出现动量和能量的改变。要是除此之外没有谁的动量、能量发生改变，动量和能量岂不是不守恒了吗？所以我们只能认为电磁场本身也携带有动量和能量，并在与接收方的作用过程中发生了改变，两者之间动量有所传递。类似的，当发射源发射电磁波时，也有类似的动量、能量传递。

当电子以速度v移动时，其电场发生变化，并产生磁场，这个电磁场在空间的分布也随着电子的运动而不断变化。当电子受到外力加速时速度改变，同时围绕电子的电磁场的分布随之改变，具体计算表明场的动量和能量也随之发生变化。现在我们对这个电子+电磁场的系统使用动量定理和动能定理，可以知道外力的冲量应等于电子自身的动量——“裸动量”增量与电磁场动量增加的综合，其做的功也将等于场能和电子“独自”的动能之和。换句话说，外力作用过程中，我们可以认为系统内的电磁场将和实物粒子一同“被加速”，并获得能量和动量。那么很明显，比起不产生电场的“理想电子”，受到同样作用力的真实电子加速度会相对小一些，加速过程会相对慢一些，这等价于电子质量增加了。更重要的是，这多出来的一部分质量（被称为电磁质量），会随着速度增大而不断增大，计算表明其增大的方式正好同相对论质量增大公式的预言相符。可见电磁质量的存在，必定和相对论质量增加公式乃至质能方程有着千丝万缕的联系。更有趣的是，这些关于电磁质量结论在相对论诞生前已经被物理学家通过麦克斯韦电磁理论定量预言。物理学家直接计算出了如电子质量增大量，

以及电子总能量和总质量的关系。正如爱因斯坦后来在《论动体的电动力学》中论述所言：相对论尽管与牛顿力学矛盾重重，却与麦克斯韦电磁理论相处融洽。

然而，天有不测风云。严格的电磁理论计算却得出了一个奇怪的结论：E=3/4mc^2，电子总能量小于mc^2，这与质能方程明确矛盾。经典电动力学于是陷入窘境，众多顶级物理学家百思不得其解。大家唯一能够明了的是：电子要作为负电荷的聚集体存在，就一定还有某种束缚性的力将本应相互排斥的电荷集中在一起，而这对应于弥补3/4mc^2与mc^2差别的束缚能。但电子的内部结构至今仍是晦暗不明，定量解释举步维艰。后来费曼和惠勒独辟蹊经，以优美的方式在经典范围内作出一个相对成功的尝试。关于这个理论的前前后后，可见《费曼物理学讲义》或《别逗了，费曼先生》。后来量子理论兴起，著名物理学家费曼（Feynman）、施温格（Schwinger）、朝永振一郎（Tomonaga）各自地采用了一种称为“重整化”（renormalization）的技术，绕过了这个恼人的问题，不过那是另一个故事了。

跳过这些微妙的烦扰，我们至少定性地了解了一种质量增加的起源。现在我们探讨一个稍微复杂的情形，当一个电子和一个正电子从相距无限远开始靠近，最后形成相互环绕做圆周运动的过程中，会有什么事情发生？我们知道，在靠近的过程中，电子和正电子由于加速运动而辐射电磁波，损失能量，按照质能方程我们看到体系同时也损失质量。损失的是谁的质量？按照上面的论述不难作出猜测，实际上是由于电场相互交叠，电场分布有所改变，因而在体系整体受力加速时，电磁场动量增加率降低，体现为体系质量减少。具体的计算印证了这种猜测。实际上，这种由于体系内相互作用产生的整体质量改变普遍存在，前面提到核反应中的质量亏损，其实也是由于相似的原因，只是那个过程中存在的场不仅是电磁场，还包括核力场。

至此我们可以总结如下，质能方程作为普适的原理，可以超越物理系统内部结构的细节，并一般地预言系统质量和能量的关系。反过来说，从具体的物理理论出发，原则上也应该可以得到质能方程的结论——同时我们也就找到了能量存储（或者说质量存储）的确切位置。

静质量可能改变吗？

现在我们考虑一个问题，静质量可以改变吗？从2的论述可见，静质量是可以改变，因为束缚系统的静质量不仅取决于每个组成粒子（或者说，“物质的”部分）决定，还由场的贡献决定，当体系处于不同内部状态时，静质量相应也是可以改变的。下面我们看一个简单的例子，这个例子来自于Einstein于1905年发表的一篇论文，也是第一次提出质能等价的论文。

先讲一个公式，在参考系S中一束光能量为L，如果参考系S相对S’速度为v(v与光线方向夹角为a)，则S’系中光的能量L’=L(1+v/c*cosa)*gamma,其中gamma为1/sqrt(1-v^2/c^2)。这个公式的根据是多普勒效应f’=f(1+v/c*cosa)*gamma,而光子能量与光子频率成正比。

现在我们假设S系中有一个静止的物体，静能为E0，它可能有着复杂的内部结构，但我们完全置之不理。如果有两束携带相同能量L的光从物体两侧分别射出，光束近似在同一直线、相反方向上。显然，物体在发射两束光后依旧保持静止状态。但是由于电磁波携带能量，所以物体能量必定减小，相应质量自然也减小了。这是静质量发生改变的简单例子，实际上太阳就是这样一个物体。太阳每天不断向四面八方辐射能量，但是由于辐射携带动量的各向同性，太阳本身的运动不受影响，只是质量不断减小。

现在我们在S’系中看这个过程。从S’系中看，物体速度明显也是不变的，为v。能量相应设为E。两束光能量分别为L(1+v/c*cosa)*gamma和L(1-v/c*cosa)*gamma，于是总能量deltaE为2E*gamma。设光束发射后物体动能（S’系中的能量）为E’，静能为E0’,于是有E-2L*gamma=E’，E0-2L=E0’。两式相减得(E-E0)-(E’-E0’)=2L(gamma-1),可见动能在这样一个过程中减少了，而物体速度却保持不变。通过取相对论的牛顿力学极限，Einstein用这种方法

推出了质能方程。

上面的讨论中，我们可以认为，静质量被转化为了能量（辐射）的形式。但反过来说，由于辐射也有质量，所以我们也可以说：物体的“一部分”（对应一定质量）转化为辐射并离开了物体本身。这启发我们，任何一个过程既可以用质量语言描述，又可以用能量语言描述，两种描述本质上等价。我们平时常说质量转化为能量，实际上是说实物转化为辐射。

【终章】原子核的束缚能

现在，我们已经仔细分析了质能方程对单个电子的物理含义，现在让我们回到最重要的问题：原子核。

核子相互之间既可能存在排斥的库伦力，又存在吸引的核力。如果我们把这两种力场相加得到总力场，则应在远处排斥、近处吸引、再靠近处又排斥。质子和中子结合成原子核的过程中，体系放出的能量称为原子核的结合能，实际上也就是总相互作用力场对应束缚状态的束缚能。根据质能方程，结合能的大小和质量亏损直接成正比。可见，在讨论核反应时，如果我们完全放弃质量亏损的概念，而仅仅使用结合能的概念，就可以将核反应能简单的解释为结合能。在这种理解下，核反应释放能量比起压紧的弹簧或是普通炸药释放能量并无不同，也毫不神秘。那么结合能对应的质量亏损从何而而来？这在第2部分中已经解释过了。现在我们看到，核能的来源可以说就是核的束缚能，而束缚能之所以巨大则是因为核力和电磁力都很强，核子之间距离又很近。这再一次印证了质量和能量的等价性。

【尾声】经过这么多讨论，读者也许会有所感慨：动质量的概念实际上很让人迷惑，因为它实际上就是能量的代名词。所以现在物理学家提到质量，一般都是指静质量。在探讨基本粒子的粒子物理学中，由于基本粒子的静质量始终不变，故而动质量尽管体现了粒子的真实惯性，实际上还是作为一种时空效应，而和表征基本粒子根本属性的静质量区分开来。而对更复杂的一些物体，如原子核，静质量不仅包含所有组成它的基本粒子质量，还包含相互作用能对应的质量，故而静质量依旧应该被理解为静能量的同义词。

那么如何理解惯性随速度增大的结论呢？有很多方式，这里给出一种富于启发性的做法。设物体速度为v，受力F。在随物体运动的参考系中有Fdt=m0dv，于是dt的无穷小加速过程后物体速度dv。忽略高阶小量，运用时间变换和速度变换公式，得到实验室参考系中dt’=dt/sqrt(1-v^2/c^2),dv’= dv(1-v^2/c^2)，于是在实验室参考系中可以有

Fdt’=m0dv’/(1-v^2/c^2)^(3/2)=m0*d(v/sqrt(1-v^2/c^2))=m0*(dv/sqrt(1-v^2/c^2)+v^2dv/c^2*1/(1-v^2/c^2)^(3/2))=m0。希望这个推理能让读者对质量增大现象的时空效应本质有所体悟。