2020年安徽省合肥市新渡中学高一数学理月考试题含解析

解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于5km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A.

km

B.

km

C. 5 km D. 10 km

参：

B 【分析】

根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算。 【详解】

如图所示，

,

选B.

【点睛】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题。

2. 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数

，

为（ ）

A．11 B．11.5 C．12 D．12.5

参：

C

【考点】BB：众数、中位数、平均数．

【分析】由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．

【解答】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12． 故选：C．

【点评】本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．

3. 当x1≠x2时，有f（），则称函数f（x）是“严格下凸

函数”，下列函数是严格下凸函数的是( ) A．y=x B．y=|x|

C．y=x2 D．y=log2x

参：

C

【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质． 【专题】计算题；新定义．

【分析】先求出f（）的解析式以及的解析式，利用函数的单

调性、基本不等式判断f（下凸函数”的定义域， 得出结论．

）和 的大小关系，再根据“严格

【解答】解：A、对于函数y=f（x）=x，当x1≠x2时，有f（）=，

=，

f（）=，故不是严格下凸函数．

B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1≠x2 ＞0时，f（）=||=，

==，

f（）=，故不是严格下凸函数．

C、对于函数 y=f（x）=x，当x1≠x2时，有f（

2

）

==，

=

严格下凸函数．

，显然满足f（），故是

D、对于函数y=f（x）=log2x，f（）=，

==，

f（故选C．

）＞，故不是严格下凸函数．

【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，“严格下凸函数”的定义，属于中档题．

4. 一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A． B． D．

C．

参：

C

略

5. 在等比数列

中，

，则

（ ）．

A. 4 B. 16 C. 8 D. 32

参：

B 6. 设A、C、

（a＞0，a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（ ） B、 D、

参：

B

7. 定义运算，则函数

的图象是（ ）

参：

A

8. 设 l、m、n 为不同的直线，、A．若 ⊥B．若 ⊥

，l⊥，则 l ∥，

，则 l⊥

为不同的平面，则正确的命题是( )

C．若 l⊥m，m⊥n，则 l ∥n D．若m⊥，n∥参： D

且∥

，则 m⊥n

9. 点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆坐标为（ ）

顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点

A. （，） B. （，）

C. （，） D. （，）

参：

A 【分析】

求出Q点所在终边上的最小正角，然后利用任意角的三角函数的定义求出Q点坐标．

【详解】解：点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆点，

顺时针方向运动弧长到达Q

所以Q点所在终边上的最小正角是：，

由任意角的三角函数的定义可知Q点坐标为：（cos故选：A．

，），即（，）．

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，象限角的求法，是基础题． 10. 已知

，则a，b，c的大小关系是

A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a

参：

B

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,

9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随

机数： 7527 0371 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．

0293 6233 7140 2616 9857 8045 0347 6011 4373 3661 8636 9597 6947 7424 1417 7610 4698 4281 参：

0.75 【分析】

根据随机模拟的方法，先找到20组数据中至少含有2,3,4,5,6,7,8,9中的3个数字的组数，然后根据古典概型求出概率．

【详解】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次击中3次的有：

7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281，共15组随机数，

所以所求概率为.

【点睛】本题考查随机模拟的应用，考查理解能力和运用能力，解题时读懂题意是解题的关键，然后在此基础上确定基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解．

12. 已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）= ．

参：

x2﹣1

【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用． 【分析】利用换元法求解即可． 【解答】解：函数f（x﹣1）=x2﹣2x， 令x﹣1=t，则x=t+1

那么f（x﹣1）=x2﹣2x转化为f（t）=（t+1）2﹣2（t+1）=t2﹣1．

所以得f（x）=x﹣1 故答案为：x﹣1．

【点评】本题考查了解析式的求法，利用了换元法．属于基础题． 13. 已知下列关系式；①④

；⑤

：②

；③（?）=（?）；

2

2

．其中正确关系式的序号是 ．

参：

①②④

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据向量的基本公式和基本运算律判断即可． 【解答】解：①②

，正确

，正确，

③（?）=（?），向量不满足结合律，故不正确 ④

；正确

|=|||?||?cosθ|，

=|||?||?cosθ，故不正

⑤设与的夹角为θ，则|确，

故答案为：①②④

14. 方程|x2﹣2x|=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．

参：

{m|m＞1或m=0}．

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【专题】作图题；转化思想．

【分析】结合方程的结构特征设出函数f（x），根据二次函数的性质画出函数的图象，进而解决问题得到答案．

【解答】解：由题意得设函数f（x）=|x﹣2x|，则其图象如图所示：

2

由图象可得当m=0或m＞1时方程|x﹣2x|=m有两个不相等的实数根． 故答案为：{m|m＞1或m=0}．

【点评】解决此类问题的关键是熟悉方程与函数之间的相互转化，即转化为两个函数有几个交点问题，体现了高中一个很重要的数学思想即转化与化归和数形结合的思想． 15.

（

）的定义域为_______________

2

参：

略

16. 已知参： 1或3

17. 已知函数

，，（）,则 。

，则f（x）的最大值为 ．

参：

2

【考点】两角和与差的正弦函数．

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．

【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值． 【解答】解：∵函数∴f（x）的最大值为2，

=2sin（x+

），

故答案为：2．

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. （12分）（1）求函数的定义域；

（2）求函数在[2，6]上的值域．

参：

考点： 函数的定义域及其求法；函数的值域． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： （1）由分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案；

（2）利用函数的单调性，结合函数的定义域求得值域．

解答： （1）由，解得：x≤1且x≠﹣1．

∴函数的定义域是{x|x≤1且x≠﹣1}；

（2）函数在[2，6]上为单调减函数，

∴当x=2时，．

当x=6时，．

∴函数在[2，6]上的值域为：．

点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了利用函数的单调性求解函数的值域，是基础的计算题．

19. 求证：函数参： 证明：任取

且

在（0，1）上是减函数．

，则

=

，因为，所以，所以

所以，所以上是减函数

20. 已知⊙点；

：(x-3)2+(y+1)2=5，⊙：(x+3)2+(y-1)2=25，（1）求⊙与⊙的交

（2）若经过点P（0，-1）的直线l与这两个圆的公共弦总有公共点，求直线l斜率的取值范围.

参：

略

21. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求{an}的通项公式； （2）若

，且

，

，

成等比数列，求k的值．

，

．

参：

（1）（2）4. 【分析】 （1）设等差数列

的公差为d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解．

；

（2）由（1），求得程，即可求解．

【详解】（1）设等差数列

，再根据，，成等比数列，得到关于的方

的公差为d，

由题意可得：所以数列

的通项公式为

，解得

．

．

（2）由（1）知因为解得

，

，．

，

成等比数列，所以

，即

，

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22. 已知向量

满足

，

.

（1）若（2）若

的夹角为，求； 的夹角.

，求与

参：

（1）（2）.

【分析】 （1）将（2）利用

平方后利用数量积的定义可求其值，从而得到

得到

，再利用夹角公式可求的大小.

.

【详解】（1）由已知，得所以（2）因为

，所以

.所以

， ，所以

，即

. ，

所以.

又，所以，即与的夹角为.

；（2）计

【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用

算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.