立体几何翻折问题探究

S2(24)424224244482832．4242

3、现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，已知DAB

,BAC，64)三棱锥的外接球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为(BA．33B．36C．324D．348【解析】设三棱锥ABCD的外接球的半径为r，因为4r24r1，因为ADBACB90，所以AB为外接球的直径，所以AB2，且AD3,BD1,ACBC2.当点C到平面ABD距离最大时，三枝锥ABCD的体积最大，此时平面ABC平面ABD，且点C到平面ABD的距离d1，所以VABCDVCABD

1113.S△ABDd311

3326

4、如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段A1B上的动点，①异面直线AD与CB1所成的角为45；②DC1D1M；③三棱锥MDCC1的体积为定值；④AMMD1的最小值为2．则经上结论正确的是(A)A．①②③C．②③④B．①②④D．③④【解析】①∵AD//BC，∴异面直线AD与CB1所成的角即为BC与CB1所成的角，可得夹角为45，②连接CD1，∵DC1平面A1BCD1，D1M平面A1BCD1，∴DC1D1M，③∵A1B//平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,又DCC1的面积为定值锥MDCC1的体积V

111

1为定值；326

1

,因此三棱2④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为APPD1的最小值，在D1A1A中,D1A1A1350,利用余弦定理解三角形得AD111211cos135

222，故④不正确.5、在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，直角ABC中，AD为斜边BC上的高，AB3，AC4，现将ABD沿AD翻折ABD，使得四面体ABCD为一个鳖臑，则直线BD与平面ADC所成角的余弦值是(A．1

B．3

C．D)64

214

D．9

16

【解析】作B'MCD于交CD于M，因为ADCD,ADDD'且CDDD'D所以AD平面DB'C，而AD平面ACD，平面ACD平面DB'C又因为平面ACD平面DB'CDC,且B'MCD所以B'M平面ACD

则B'DM即为BD与平面ADC的夹角，因为直角ABC中,AB3,AC4所以BC

AB2AC29165，AD

2222ABAC3412

BC55则DCACAD16，所以DB'BCDC516912455559

DB'59

在直角三角形B'DC中,cosB'DMcosB'DC

DC161656、如图，在Rt△AOB中，∠OAB=,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB6

以AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上，则CD与平面AOB所成角正切的最大值(B)A．33

B．233

C．34

D．3

【解析】依题意OCOAOC平面AOBOAOBO

所以CDO为直线CD与平面AOB所成的角，tanCDO=OCOB

OC2

=.ODOD当OD最小时，CDO最大，此时ODAB，垂足为D，OD=OAOB233,tanCDO=AB3

7、如图，四边形ABCD为矩形，沿AC将△ADC翻折成AD'C.设二面角D'ABC的平面角为，直线AD'与直线BC所成角为1，直线AD'与平面ABC所成角为2，当为锐角时，有(BA．21B．21)D．21C．12【解析】设三棱锥DABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E,DC中点M,AC中点M，连结DE,CE,MN,EN，过D作DOCE，交CE于O，连结AO，则DEC，DAO1，MNE2，DECE 413，DC2，∴cos

334233

12223，AOCOCE 41，3333

23AO3，取BC中点E，连结DE,AE，则DEBC,AEBC，3∴cos2

AD23190．∴21．又DEAEE，∴BC⊥平面AED，∴BCAD，

8、三棱锥P-ABC（如图1）的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，若M，N分别是AP，BC的中点，则三棱锥M-BCP和三棱锥N-APC体积的大小关系(CA．VC．V

MBCP)VNAPCVNAPCB．V

MBCPVNAPCMBCPD．大小不一定9、△ABC中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，△ABC绕BC旋转一周，记以AB为母线的圆锥为M1，记以AC为母线的圆锥为M2，m是圆锥M1任一母线，则圆锥M2的母线中与m垂直的直线共有2条.【解析】作AO⊥BC于O，设不妨设m＝AB，以O为原点，建立如图空间直角坐标系．设AB＝1，∠ABC＝45°，则AO＝BO

262，又∠ACB＝60°∴OC，∴A（，0，0），262B（0，0，26226）C（0，0，）P（x，y，0），AB（，0，），CP（x，y，）26226

2626，x0，解得x

262613，解得y，23若母线AB⊥CP，则ABCP0∴

又P在以O为圆心的圆周上，∴x2+y2

∴P（63，，0）∴P有两个位置使母线AB⊥CP63

10、如图，在矩形ABCD中，AB4,BC3,E为DC边的中点，沿AE将ADE折起，使二面角DAEB为60，则直线AD与面ABCE所成角的余弦值为___130______13【解析】作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF,OA，则DF垂直AE,OFD为二面角DAEB的平面角，OFD600,OAD为直线AD与面ABCD所成角，AEAD2DE213，DFAEADDE，DF

故ADDE6DO363339sinOFDsin6003，DODF，，AE13DF221313213013cosOAD