(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(1-x)10展开式中x3项的系数为( ) A.-720 C.120
B.720 D.-120
rrrr33
解析:选D.由Tr+1=Cr10(-x)=(-1)C10x,因为r=3,所以系数为(-1)C10=-120.
2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有( )
A.8种 C.12种
B.10种 D.32种
解析:选B.此人从A到B,路程最短的走法应走2纵3横,将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列,只需从5个位置中选2个排0,其余位置排1即可,故共有C25=10种.
3.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台,其中甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法种数为( )
A.60 C.30
B.40 D.20
解析:选D.根据题意,分2步进行分析:①先在4台甲型电视机中取出1台,有4种取法;②再在5台乙型电视机中取出1台,有5种取法.则有4×5=20种不同的取法.故选D.
4.(2019·郑州高二检测)将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),则不同的排列方法有( )
A.12种 C.40种
B.20种 D.60种
解析:选C.五个元素没有,全排列数为A55,由于要求A,B,C的次序一定(按A,A55B,C或C,B,A),故所求排列数为3×2=40.
A3
5.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8等于( )
A.-5 C.90
B.5 D.180
解析:选D.因为(1+x)10=[2-(1-x)]10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,
2
所以a8=C810·2=180.
6.圆周上有8个等分圆周的点,以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( )
A.16 C.32
B.24 D.48
解析:选C.圆周上8个等分点共可构成4条直径,而直径所对的圆周角是直角,又每
1311条直径对应着6个直角三角形,共有C14C6=24个直角三角形.斜三角形的个数为C8-C4C6
=32个.
7.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 C.1
B.-1 D.2
解析:选A.令x=-1,即得a0+a1+a2+…+a11=-2.
2
x-的展开式中x4的系数为30,则m的值为( ) 8.若(x+m)x
2
6
5
A.-
215C.-
2
6
5B.
215D.
2
r
226-rrr6-2rx-展开式的通项公式为Tr+1=Cr-解析:选B.x=(-2)C6x,令6-2r6xx4
=2,得r=2,所以x4项的系数为(-2)2C26=60,令6-2r=4,得r=1,所以x项的系数为
(-2)B.
1
2
C1所以(x2+m)·x-x6=-12,
5的展开式中x4的系数为60-12m=30,解得m=.故选2
6
9.12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )
2
A.C28A3 2C.C28A5
6
B.C26A6 2D.C28A6
解析:选D.第一步可先从后排8人中选2人共有C28种;第二步可认为前排放6个座
位,先选出2个座位让后排的2人坐,由于其他人的顺序不变,所以有A26种坐法.综上知
2“不同”调整方法的种数为C28A6.
10.(2019·福州高二检测)为参加校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人.若每人只参加1个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同推荐方案的种数为( )
A.12 C.48
B.36 D.24
解析:选D.法一:(直接法)3名女生各参加1项,2名男生在舞蹈、演唱中各参加1
2212项,有A33A2=12种方案;有2名女生参加同一项,有C3A2A2=12种方案,所以共有12+
12=24种方案.
1
法二:(间接法)2名男生同时参加舞蹈或演唱,有C23A2=6种方案,而所有不同的推荐22
方案共有C15C4C2=30种,故满足条件的推荐方案种数为30-6=24.
11.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为( )
A.96 C.128
B.114 D.136
解析:选B.由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C2分配名17=136,额相等的有22种(可以逐个数),则满足题意的方法有136-22=114种.
12.已知(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32,则展开式中x5y2的系数为( ) A.120 C.240
B.30 D.60
解析:选A.由题意,(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32,即(2+1-1)n=32,
r25-r解得n=5.已知(2x2+x-y)5=[(2x2+x)-y]5的通项公式为Tr+1=Cr,由展开5·(-y)(2x+x)
式中含有x5y2,可知r=2,且(2x2+x)3的展开式中有含x5的项,由通项公式,可得Tt+1=
t522C3(2x2)3-txt=23-tCt3x6-t,令t=1得,含x5项的系数为22C13.所以展开式中,xy的系数为C52×C13×2=120.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.(2019·长沙高二检测)将5名志愿者分成4组,其中一组有2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方法有________种.(用数字作答)
111C25C3C2C1解析:分配方法数为·A434=240. A3
答案:240
14.(2019·青岛高二检测)设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________.
解析:因为(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0, 由二项式定理可知a0,a2,a4,a6均为正数, a1,a3,a5均为负数,
令x=-1可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-2-1)6=729. 答案:729
1
15.若二项式x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则展开式中常数项为
x________.
解析:第4项的二项式系数
3
6-k2
1)kCk,令6x
n
C3所以n最大,
n=6,展开式通项
6-k
Tk+1=Ck·6x
-1=(-
x
k
3
6-k=0,则k=4,所以常数项为(-1)4C46=15. 2
答案:15
16.将A,B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球且A,B不能放入同一个盒子中,则不同的放法有________种.
解析:先把A,B放入不同盒中,有3×2=6种放法,再放C,D, 若C,D在同一盒中,只能是第3个盒,1种放法;
若C,D在不同盒中,则必有一球在第3个盒中,另一球在A或B的盒中,有2×2=4种放法.
故共有6×(1+4)=30种放法. 答案:30
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
x+2的展开式中只有第6项二项式系数最大,求展开式中17.(本小题满分10分)x的常数项.
2
x+2的展开式中只有第6项二项式系数最大,所以n=10, 解:因为x
n
n
r5-r25r10-r2rr
2=2·C10x所以展开式的通项为Tr+1=C10(x),令5-r=0,得r=2. x2
5
所以展开式中的常数项为T3=4C210=180.
18.(本小题满分12分)如图有4个编号为A,B,C,D的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种,并且相邻的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂色方法?
解:分为两类:
第一类:若A,C同色,则A有5种涂法,B有4种涂法, C有1种涂法(与A相同),D有4种涂法. 故N1=5×4×1×4=80.
第二类:若A,C不同色,则A有5种涂法,B有4种涂法,C有3种涂法,D有3种涂法.
故N2=5×4×3×3=180种.
综上可知不同的涂法共有N=N1+N2=80+180=260种.
19.(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?
解:(1)将取出的4个球分成三类情况: ①取4个红球,没有白球,有C44种;
1
②取3个红球,1个白球,有C34C6种; 2③取2个红球,2个白球,有C24C6种, 3122故有C44+C4C6+C4C6=115种.
2x+y≥7,
(2)设取x个红球,y个白球,则
0≤x≤4,x∈N,0≤y≤6,y∈N,
**
x+y=5,
x=2,x=3,x=4,故或或 y=3y=2y=1.
33241因此,符合题意的取法种数有C24C6+C4C6+C4C6=186种.
20.(本小题满分12分)设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求下列各式的值. (1)a0+a1+a2+…+a10; (2)a6.
解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-1)10=1.
10-rr10-r10-r(2)a6即为含x6项的系数,Tr+1=Cr·(-1)r=Cr·x,所以当r=410(2x)10(-1)24666
时,T5=C410(-1)2x=13 440x,即a6=13 440.
21.(本小题满分12分)由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数. (1)共可以组成多少个五位数? (2)其中奇数有多少个?
(3)如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列,43 125是第几个数?说明理由. 解:(1)由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,共可以组成A55=120(个)五位数.
(2)由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数奇数中, 个位数字必须从1,3,5中选出,共有C13种结果.
其余四个位置可以用其他四个数字在四个位置进行全排列,共有A44种结果,
4
根据分步乘法计数原理得到共有奇数C13A4=72(个).
(3)考虑大于43 125的数,分四类讨论:
①5在首位,将其他4个数字全排列即可,有A44=24个.
②4在首位,5在千位,将其他3个数字全排列即可,有A33=6个.
③4在首位,3在千位,5在百位,将其他2个数字全排列即可,共有A22=2个. ④除上述情况,还有43 215,43 251,43 152共3个数.
由(1)知共可以组成120个五位数,则不大于43 125的五位数有120-(24+6+2+3)=85个.所以43 125是第85个数.
22.(本小题满分12分)设有编号为1,2,3,4,5的5个小球和编号为1,2,3,4,5的5个盒子,现将这5个小球放入5个盒子中.
(1)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子的编号不全相同,有多少种投放方法? (2)每个盒子内投入1个球,并且至少有2个球的编号与盒子的编号是相同的,有多少种投放方法?
解:(1)先把5个小球放到5个盒子中,没有空盒,有A55种投放方法,球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种,故满足题意的投放方法有A55-1=119(种).
(2)可分为三类.
第一类:5个球的编号与盒子的编号完全相同,有1种投放方法.
3第二类:3个球的编号与盒子的编号相同,有C5种投放方法.剩下的2个球的投放方法
只有1种,所以投放方法有C35×1=10(种).
2第三类:2个球的编号与盒子的编号相同,有C5种投放方法,剩下的3个球的投放方法
有2种,所以投放方法有C25×2=20(种).
根据分类加法计数原理得,满足题意的投放方法有1+10+20=31(种).
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