基本不等式1

A、B 都必须是正数． 二定：

1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值； 2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值． 三相等：

当且仅当A、B相等时，等式成立；即 ① A=B ↔ A+B=2√AB； ② A≠B ↔ A+B>2√AB． 常用的不等式的基本性质： a>b,b>c→a>c; a>b →a+c>b+c; a>b,c>0 → ac>bc; a>b,c<0→acb>0,c>d>0 → ac>bd; a>b,ab>0 → 1/a<1/b; a>b>0 → a^n>b^n; 基本不等式：√(ab)≤(a+b)/2 那么可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0 a^2+b^2 ≥ 2ab

1．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )

A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A

2．已知m、n∈R，mn＝100，则m^2＋n^2的最小值是( ) A．200 B．100 C．50 D．20

解析：选A.m^2＋n^2≥2*mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立． 3．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有( ) A．最大值 B．最大值1 C．最小值 D．最小值1 解析：选C.∵x、y均为正数， ∴xy＝8x＋2y≥28x•2y＝8xy， 当且仅当8x＝2y时等号成立． ∴xy≥.

19x0,y0,且1,则xyxy4.已知的最小值为 。 分析:有些不等式问题中在求最值和范围时要利用常数“1”的代换技巧 19x0,y0,且1xy解：， 19y9xy9xxy()(xy)1010216xyxyxy, 练习

1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) 1A．y＝x＋ xπ100，y>0，且＋＝1，若xxy＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－20，y>0，且＋＝1， xy214yx∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2xyxy4yx·＝8，当且xy4yx21仅当＝，即x＝2y时取等号，又＋＝1，∴x＝4，y＝2，∴xyxy(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得－4D．既非充分也非必要条件 [答案] A 1a[解析] ∵a＝，x>0时，x＋≥24xa4成立，又a＝4时，x＋＝x＋ xx≥24ax·＝4也满足x＋≥1，故选A. xxa1x·＝1，等号在x＝时x24．(2010·广西柳州市模考)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A

[解析] a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2ab得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.

5．(文)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y11＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( ) abA．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D

[解析] 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1. 11ba11∴＋＝＋(a＋b)＝2＋＋≥4. ababab1当且仅当a＝b＝时取等号． 2