多边形与平行四边形

多边形与平行四边形、菱形

基础知识回顾： 一、 多边形 1定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段＿＿＿相连组成的＿＿＿图形叫多边形。各边相等且＿＿

＿也相等的多边形叫正多边形。 2.多边形的内角和、外角和

N边形的内角和是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，外角和是＿＿＿；正n边形的每个内角为＿＿＿＿＿＿，每个外角为＿＿＿＿＿＿。

3.多边形的对角线是连接多边形的＿＿＿顶点的线段。从n边形的一个顶点出发有＿＿＿条对角线，将多边形分割为＿＿＿个三角形，n边形共有＿＿＿条对角线 4. ＿＿＿是边数最少的多边形，所有的正n边形都是＿＿＿对称图形，共有＿＿＿对称轴，边数为＿＿＿的正n边形也是中心对称图形。 二、平行四边形

1．定义：两组对边分别＿＿＿的四边形叫平行四边形。平行四边形ABCD可写成＿＿＿＿＿＿＿＿。 2.平行四边形的性质

（1）平行四边形的两组对边分别＿＿＿＿＿＿＿。如图： 用数学语言表示为 ∵＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（2）平行四边形的两组对角分别＿＿＿＿＿＿，如图; 数学语言表示为：

∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（3）平行四边形两条对角线＿＿＿＿＿＿如图： 数学语言表示为： ∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（4）平行四边形是＿＿对称图形，对称中心是＿＿＿＿＿＿＿＿，过对角线交点的任一直线被一组对边的线段＿＿＿＿，该直线将平行四边形分成两个全等的两个部分。

3．平行四边形的判定

（1）用定义判定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿用数学语言表示为： ∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 -＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）定理： 两组对边分别＿＿＿的四边形是平行四边形。 用数学语言表示为：

∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

1

（3）定理：一组对边＿＿＿＿＿＿＿的四边形是平行四边形。数学语言表示为： ∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（4）定理：＿＿＿＿＿＿的四边形是平行四边形。数学语言表示为： ∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（5）定理：两条对角线＿＿＿＿＿＿＿的四边形是平行四

边形。数学语言表示为：

∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4.平行四边形的面积=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，周长=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5.夹在平行线间的平行线段＿＿＿＿＿，平行线间的距离处处＿＿＿＿＿。

二、菱形

1. 定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿四边形是菱形。 数学语言：∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2. 性质：

（1）菱形是特殊的＿＿＿＿＿＿＿，它具有＿＿＿＿＿＿＿的所有性质。 （2）特殊性质：菱形的＿＿＿＿＿相等。

菱形的对角线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 数学符号语言：∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（3）菱形既是＿＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿＿＿＿＿图形，它有＿条对称轴，分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

菱形的对角线把它分成四个全等的＿＿＿＿＿＿＿三角形，和两个全等的＿＿＿＿＿＿＿＿＿三角形。

3. 菱形的周长=＿＿＿＿＿＿＿，面积=＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿ 4. 菱形的判定：

（1） 用定义＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

用符号语言表示为：∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 B（2）定理：-------------的平行四边形是菱形；

A用符号语言表示为：∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 D（3）定理＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿四边形是菱形。 用符号语言表示为：∵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 巩固练习 一、多边形

1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.

2

C

2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条.

4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是__

7. 一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是________.

8. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是________. 9. 若正n边形的一个外角为60°,则n的值是________.

10. 若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是________. 11.用下列两种正多边形能拼地板的是( )

A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形

12.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.

13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.

14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.

15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.

16.1个多边形除了一个内角等于α,其余角的和等于2750°,求这个多边形的边数及α.

二、平行四边形、菱形

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1.图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．

2.图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

3在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

.

4如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

5已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四

4

边形ABCD的面积．

6图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD． （1）求证：△ADE≌△CBF．

（2）若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

F D C

A B E

7.已知如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F. （1）求证：AM=DM；

（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

8.如图四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分BAD，CE∥AD交AB于E．

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A M E

B

F

D

C

第7题图

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

9．如图△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

（1）求证：AD＝CE； （2）填空：四边形ADCE的形状是 ．

ADMOENB

C

10.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

11.如图在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB ；

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（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

13、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H不在同一直线上求求证EF与GH互相平分。

14. 如图，平行四边形ABCD中，ABAC，AB1，BC5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

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A D

M B C

N

（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

A F O E

D C

B

15如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE． 探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明； （注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

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