九年级(下)期中数学试卷含答案

九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．若x是2的相反数，|y|=3，则x﹣y的值是（ ） A．﹣5 B．1

C．﹣1或5 D．1或﹣5

2．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

3．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，用科学记数法可表示为（ ）m． A．0.7×10﹣6

B．0.7×10﹣7

C．7×10﹣6 D．7×10﹣7

4．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

5．x2﹣x+a2﹣2a﹣2=0，关于x的一元二次方程（a+1）有一个根是1，则a=（ ）

A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣2或1

6．已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为6，则底角的正切值为（ ） A．3

B．或 C．3或 D．3或

7．如图，点A是反比例函数y=（＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为（ ）

1

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=10，则EC的长度为（ ）

A．2

B．8 C．2 D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y= ．

10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的范围是 ． 11．反比例函数y=

的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的

积为负数，则t的取值范围是 ．

12．如图，已知圆锥的底面半径OB为1，高所在直线AO与母线AB的夹角为30°．圆锥的侧面积为 ．

13．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 ．

2

14．如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点

B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按照此做法进行下去，点A6的坐标为 ．

三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣16．先化简再求值：

÷（m+2﹣

），其中m是方程x2﹣3x+2=0的一个根．

|+（π﹣3.14）0．

17．如图，A，D，F，B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC． （1）求证：△AEF≌△BCD；

（2）连ED，CF，则四边形EDCF是 （从平行四边形，矩形，菱形，正方形中选填并证明）．

18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD为多少米？（结果保留根号）

3

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）

与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．

20．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．

21．“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制

了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

4

（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．

22．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E，F，连接EF． （1）求证：PF平分∠BFD； （2）若tan∠FBC=，DF=

，求EF的长．

23．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

AD之间的数量关系是 ．（1）填空：①∠AEB的度数为 ；②线段BE、

（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

5

24．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接PB，PC，求△PBC的面积；

（3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．若x是2的相反数，|y|=3，则x﹣y的值是（ ） A．﹣5 B．1

C．﹣1或5 D．1或﹣5

【考点】33：代数式求值；14：相反数；15：绝对值．

【分析】根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算． 【解答】解：根据题意，得 x=﹣2，y=±3．

当 x=﹣2，y=3 时，x﹣y=﹣2﹣3=﹣5； 当 x=﹣2，y=﹣3 时，x﹣y=﹣2﹣（﹣3）=1． 故选D．

2．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选A．

3．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，用科学记数法可表示为（ ）m． A．0.7×10﹣6

B．0.7×10﹣7

C．7×10﹣6 D．7×10﹣7

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，

7

与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0000007m，用科学记数法可表示为7×10﹣7m． 故选：D．

4．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【考点】JA：平行线的性质；K7：三角形内角和定理．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质得出结论即可． 【解答】解：∵△BCD中，∠1=50°，∠2=60°， ∴∠4=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣60°=70°， ∴∠5=∠4=70°， ∵a∥b， ∴∠3=∠5=70°． 故选：C．

5．x2﹣x+a2﹣2a﹣2=0，关于x的一元二次方程（a+1）有一个根是1，则a=（ ）

A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣2或1

【考点】A3：一元二次方程的解．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入（a+1）x2﹣x+a2﹣2a﹣2=0

8

得关于a的方程，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．

【解答】解：把x=1代入（a+1）x2﹣x+a2﹣2a﹣2=0得a+1﹣1+a2﹣2a﹣2=0， 整理得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1， 而a+1≠0， 所以a的值为2． 故选B．

6．已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为6，则底角的正切值为（ ） A．3

B．或 C．3或 D．3或

【考点】MA：三角形的外接圆与外心．

【分析】分两种情况进行讨论，即三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，再分别求解．

【解答】解：如图（1），可求得AD=OA+OD=9， tan∠ABD=

=3，

如图（2），可求得AD=OA﹣OD=1， tan∠ABD=

，

综上，tan∠ABD=3或． 故选：D．

7．如图，点A是反比例函数y=（＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，

9

则平行四边形ABCD的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质． 【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b． 把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是， 同理可得：B的横坐标是：﹣． 则AB=﹣（﹣）=． 则S□ABCD=×b=5． 故选D．

8．如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=10，则EC的长度为（ ）

A．2 B．8 C．2 D．2

【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．

【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE的长．

10

【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图， ∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣10， ∵OC2+AC2=OA2，

∴（R﹣10）2+42=R2，解得R=5， ∴OC=5﹣2=3， ∴BE=2OC=6， ∵AE为直径， ∴∠ABE=90°， 在Rt△BCE中，CE=故选D．

=2

．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y= ﹣2y（x﹣3）2 ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣6x+9） =﹣2y（x﹣3）2．

故答案为：﹣2y（x﹣3）2．

10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的范围是 a＜2且a≠1 ． 【考点】AA：根的判别式．

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣≠0且△=（﹣2）2

11

﹣4（a﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解答】解：根据题意得a﹣≠0且△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0， 解得a＜2且a≠1． 故答案为a＜2且a≠1．

11．反比例函数y=

的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的

积为负数，则t的取值范围是 t＞ ．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】联立方程，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：由

得：﹣x+2=

，

整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0． ∵反比例函数y=为负数， ∴

故答案为t＞．

12．如图，已知圆锥的底面半径OB为1，高所在直线AO与母线AB的夹角为30°．圆锥的侧面积为 2π ．

，解得：t＞．

的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积

【考点】MP：圆锥的计算．

【分析】先利用三角函数计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这

12

个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．

【解答】解：如图，∠BAO=30°，BO=1， ∴AB=2BO=2，即圆锥的母线长为2， ∴圆锥的侧面积=•2π•1•2=2π． 故答案为：2π．

13．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为

π ．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【分析】首先证明OC∥BD，得到S△BDC=S△BDO，所以S阴=S扇形OBD，由此即可计算．

【解答】解：如图连接OC、OD、BD．

∵点C、D是半圆O的三等分点， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OC=OD=OB，

∴△COD、△OBD是等边三角形， ∴∠COD=∠ODB=60°，OD=CD=2， ∴OC∥BD， ∴S△BDC=S△BDO， ∴S阴=S扇形OBD=

14．如图，直线y=

x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点=

．

B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂

13

线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按照此做法进行下去，点A6的坐标为 （32，0） ．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标． A1B1=【分析】在Rt△OA1B1中，由OA1=1、

OA1=

，利用勾股定理可得出OB1=2，

进而可得出点A2的坐标为（2，0），同理，即可求出点A3、A4、A5、A6的坐标，此题得解．

【解答】解：在Rt△OA1B1中，OA1=1，A1B1=∴OB1=

=2，

OA1=

，

∴点A2的坐标为（2，0）．

同理，可得出：点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（8，0），点A5的坐标为（16，0），点A6的坐标为（32，0）． 故答案为：（32，0）．

三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣

|+（π﹣3.14）0．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣1+3

16．先化简再求值：

÷（m+2﹣

），其中m是方程x2﹣3x+2=0的一个根．

+1=+3

．

【考点】6D：分式的化简求值；A3：一元二次方程的解．

14

【分析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式混合运算法则计算得出答案，再解方程得出m的值，进而得出答案． 【解答】解：====

÷[÷×，

÷（m+2﹣﹣

]

）

x2﹣3x+2=0， 解得：x1=1，x2=2，

当m=2时，不合题意舍去， 故m=1，则原式=

17．如图，A，D，F，B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC． （1）求证：△AEF≌△BCD；

（2）连ED，CF，则四边形EDCF是 平行四边形 （从平行四边形，矩形，菱形，正方形中选填并证明）．

=

．

【考点】LF：正方形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定． 【分析】（1）根据SAS即可证明△AEF≌△BCD；

（2）结论：平行四边形．只要证明EF=DC．EF∥CD即可； 【解答】（1）证明：∵AE∥BC， ∴∠A=∠B，

15

∵AD=BF， ∴AF=BD，

在△AEF和△BCD中，

，

∴△AEF≌△BCD．

（2）结论：四边形DEFC是平行四边形． 证明：连接DE、CF． ∵△AEF≌△BCD， ∴∠AFE=∠BDC，EF=DC， ∴EF∥CD，

∴四边形DEFC是平行四边形， 故答案为：平行四边形．

18．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD为多少米？（结果保留根号）

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【分析】根据题目中的数据和特殊角的三角函数可以表示出CM和DM的长，从

16

而可以得到CD的长，从而可以解答本题．

【解答】解：∵AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°， ∴∠MAD=∠MDA=45°，BM=AM+AB=12米， ∴AM=MD=5米，MC=BM•tan30°=12×∴CD=MC﹣MD=（答：警示牌的高CD为（

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）

与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．

=4米，

）米，

）米．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A

与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；

（3）由图象直接可得自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，1），

∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2， ∴反比例函数解析式为y=﹣； 将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，

17

∴B坐标（1，﹣2），

将A与B坐标代入一次函数解析式中，得解得a=﹣1，b=﹣1，

∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；

，

（2）设直线AB与y轴交于点C， 令x=0，得y=﹣1， ∴点C坐标（0，﹣1），

∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；

（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．

20．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率． 【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．

【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；

（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324

18

元”建立方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意得

=

，

解得x=400．

经检验，x=400是原方程的根． 答：每张门票的原定票价为400元；

（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 400（1﹣y）2=324，

解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价10%．

21．“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制

了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90° ； （2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女

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生的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．

【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%， ∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）； ∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：故答案为：60，90°；

×360°=90°；

（2）60﹣15﹣30﹣10=5； 补全条形统计图得：

（3）根据题意得：900×=300（人），

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；

（4）画树状图得：

20

∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， ∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：

22．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E，F，连接EF． （1）求证：PF平分∠BFD； （2）若tan∠FBC=，DF=

，求EF的长．

=．

【考点】MC：切线的性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）连接OP、BF、PF．由OP∥CD，推出∠PFD=∠OPF，由OP=OF，推出∠OPF=∠OFP，即可推出∠OFP=∠PFD．

（2）首先证明四边形BCFE是矩形，推出EF=BC，由tan∠FBC=，设FC=3x，则BC=4x，由BC=DC，可得方程4x=3x+

，解方程即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接OP、BF、PF． ∵⊙O与AD相切于点P， ∴PO⊥AD，

∵四边形ABCD是正方形， ∴CD⊥AD， ∴OP∥CD， ∴∠PFD=∠OPF， ∵OP=OF，

21

∴∠OPF=∠OFP， ∴∠OFP=∠PFD， ∴PF平分∠BFD．

（2）解：∵∠C=90°， ∴BF是⊙O的直径， ∴∠BEF=90°，

∴四边形BCFE是矩形， ∴EF=BC，

∵tan∠FBC=，设FC=3x，则BC=4x， ∵BC=DC， ∴4x=3x+∴x=

，

． ，

∴EF=BC=4

23．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

（1）填空：①∠AEB的度数为 60° ；②线段BE、AD之间的数量关系是 AD=BE ．

（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

22

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．

【分析】（1）根据已知条件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度关系求得∠AEB=60°；

（2）同（1）可证：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，

可得CM=DE，进而可求得线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．

【解答】解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=180°﹣∠CDE=60°， ∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60° ∴∠ACD=∠ECB， ∴在△ACD与△BCE中有

∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°， 故答案为：60°，AD=BE；

（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°， ∴∠ADC=180°﹣∠CDE=135°， ∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90° ∴∠ACD=∠ECB， ∴在△ACD与△BCE中有

23

∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°， 故∠AEB的度数为90°；

②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形， ∴DM=DE（三线合一） ∴CM=DE，

∴AE=AD+DE=BE+2CM，

即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．

24．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接PB，PC，求△PBC的面积；

（3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，利用抛物线的对称性可得出点A的坐标，再根据点A、B、C的坐标利用待定系数法，即可求出该抛物线的函数表达式；

（2）设直线PC与x轴交于点D，根据点P、C的坐标利用待定系数法，可求出直线PC的函数关系式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，

24

再三角形的面积公式即可求出△PBC的面积；

（3）连接PB，设抛物线对称轴与x轴的交点为点M，点Q的坐标为（t，0），由点A、B、C、P的坐标可得出AB、BC、PB的长度及∠PBQ=45°=∠ABC，分△PBQ∽△CBA和△QBP∽△CBA两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，从而得出点Q的坐标． 【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣x+3=3， ∴点C的坐标为（0，3）； 当y=﹣x+3=0时，x=3， ∴点B的坐标为（3，0）．

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，且对称轴是直线x=2， ∴点A的坐标为（1，0）．

将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，

，解得：

，

∴该抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．

（2）设直线PC与x轴交于点D，如图1所示． ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴点P的坐标为（2，﹣1）． 设直线PC的函数表达式为y=mx+n，

将C（0，3）、P（2，﹣1）代入y=mx+n中，

，解得：

，

∴直线PC的函数表达式为y=﹣2x+3． 当y=﹣2x+3=0时，x=， ∴点D的坐标为（，0）．

∴S△PBC=BD•（yC﹣yP）=×（3﹣）×[3﹣（﹣1）]=3．

（3）连接PB，设抛物线对称轴与x轴的交点为点M，如图2所示．

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∵点B（3，0），点C（0，3），点A（1，0）， ∴∠ABC=45°，AB=2，BC=3∵P（2，﹣1）、B（3，0）， ∴PM=MB=1，

∴∠PBQ=45°=∠ABC，PB=

． ．

∴以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似存在两种情况． 设点Q的坐标为（t，0）（t＜3），则OB=3﹣t． ①当△PBQ∽△CBA时，∴

=

，

=

，

解得：t=，

此时点Q的坐标为（，0）； ②当△QBP∽△CBA时，∴

=

，

=

，

解得：t=0，

此时点Q的坐标为（0，0）．

综上所述：在x轴上存在点Q（，0）或（0，0），使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

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