2018-2019学年河南省平顶山市高二下学期期末数学(理)试题 解析版

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河南省平顶山市2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试

题

评卷人 得分 一、单选题

1．设z1i2i，则z|z|（ ） 1iB．1i

C．1i

D．1i

A．1i 【答案】C 【解析】 【分析】

先利用复数的四则运算律求出复数z，再利用共轭复数、复数求模公式结合复数的加法法则可得出结果。 【详解】

1i1i2iQz2i2i2ii，zzi11i，故选：C.

1i1i1i2【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的模，考查计算能力，着重考查对复数基础知识的理解和应用能力，属于基础题。 2．双曲线A．【答案】A 【解析】

分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：

因为渐近线方程为点睛：已知双曲线方程

22的离心率为

B．

，则其渐近线方程为 C．

D．

，所以渐近线方程为

，选A.

.

求渐近线方程：

3．(x)的展开式中x4的系数是（ ）

2x8 1

A．16 【答案】D 【解析】 【详解】

B．70 C．560 D．1120

设含x4的为第r1,Tr1C6(x)r28r2rr163r()rC62x，163r4 x44所以r4，故系数为：C821120，选D。

4．曲线y4xx3在点1,3处的切线方程是（ ） A．y7x4 【答案】B 【解析】 【分析】

利用导数求出曲线y4xx在切点处的切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程。 【详解】

3B． yx2 C．yx4 D．y7x2

Qy4xx3，y43x2，yx14311，

23因此，曲线y4xx在点1,3处的切线方程为y3x1，即yx2，故选：

B. 【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在其上一点的切线方程，熟悉利用导数求切线方程的基本步骤是解题的关键，属于基础题。

x2y505．若x,y满足约束条件x2y30，则zxy的最大值为（ ）

x50A．9 【答案】A 【解析】 【分析】

先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线zxy，观察直线zxy在x轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。

2

B．5 C．11 D．3

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

x5x5联立，得，点A的坐标为5,4，

x2y30y4平移直线zxy，当该直线经过点A，它在x轴上的截距取最大值，此时，z取最大值，即zmax549，故选：A. 【点睛】

本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。

6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互，设

X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，PX4PX6，

则p A．0.7 【答案】B 【解析】

分析：判断出为二项分布，利用公式DXnp1p进行计算即可。

B．0.6

C．0.4

D．0.3

DXnp1p

p0.4或p0.6

4466PX4C10p1pPX6C10p1p，

1pp2,可知p0.5

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。

2 3

7．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若的离心率为 A．

B．

C．

D．

，且，则

【答案】D 【解析】分析：设离心率. 详解：在

设

中，，则

，

，

，则根据平面几何知识可求

，再结合椭圆定义可求

又由椭圆定义可知则离心率故选D.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.

a(aR)，则下列结论正确的是( ) xA．aR，f(x)在(0,)上是增函数 B．aR，f(x)在(0,)上是减函数

8．若函数f(x)x2C．aR，f(x)是偶函数 【答案】C 【解析】

D．aR，f(x)是奇函数

a2x3a试题分析：因为fx2x2，且函数定义域为,00, 2xx32x1x2x12x2 令a2，则fx22xx显然，当0x1时，fx0；当x1时，fx0

所以当a2时，fx在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以选项A,B均

()2不正确；

因为当a0时，fxx是偶函数，所以选项C正确．

4

要使函数fx为奇函数，必有fxfx0恒成立，即x20恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．

9．等差数列A．【答案】A 【解析】

试题分析：由已知得，

，，故

，又因为

是公差为2的等差数列，故

，解得．

，所以

的公差是2，若

B．

成等比数列，则

C．

的前项和

D．

（ ）

【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．

10．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A．3 【答案】B 【解析】 【详解】

B．4

C．

9 2D．

11 2x2y，整理得

解析：考察均值不等式x2y8x(2y)822(x2y)24(x2y)320即(x2y4)(x2y8)0，又x+2 y>0，

x2y4

11．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”.则PB|A（ ）

A．

3 4B．

1 3C．

2 3D．

1 2【答案】C 【解析】

5

【分析】

利用古典概型概率公式计算出PAB和PA，然后利用条件概率公式可计算出结果。 【详解】

A321事件AB:前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得PAB2，

A42由古典概型的概率公式得PA3，由条件概率公式得4PBA故选：C. 【点睛】

PAB142，

PA233本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题。 12．设函数

在R上可导，其导函数为

，且函数

的图像如题（8）

图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数B．函数C．函数D．函数【答案】D 【解析】 【详解】

有极大值有极大值有极大值有极大值

和极小值和极小值和极小值和极小值

则

则则

函数增； 函数

减； 减；

函数

6

则

【考点定位】

函数增；选D.

判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减

7

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．已知圆【答案】2 【解析】 试题分析：线为

与抛物线的准线相切，则__________．

，圆心为

，半径为4，抛物线准

，由圆与直线相切可知

考点：直线和抛物线的性质

14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【解析】

分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为C5C3A4,若取零，则排列数为C5C3A3A3,

2242113因此一共有C5C3A4C5C3A3A31260个没有重复数字的四位数.

2242113点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

15．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也.”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世.按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的13%，只有5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料，可以推断美国学者认为“一代”应为__________年． 【答案】20

8

【解析】 【分析】

设美国学者认为的一代为x年，然后可得出寿命在0,x、x,2x、2x,3x、3x,4x的家族企业的频率分别为0.52、0.3、0.13、0.05，然后利用平均数公式列方程解出x的值，即可得出所求结果。 【详解】

设美国学者认为的一代为x年，然后可得出寿命在0,x、x,2x、2x,3x、3x,4x的家族企业的频率分别为0.52、0.3、0.13、0.05， 则家族企业的平均寿命为

0.5x(10.30.130.05)1.5x0.32.5x0.133.5x0.0512.1x24，

解得x20，因此，美国学者认为“一代”应为20年，故答案为：20. 【点睛】

本题考查平均数公式的应用，解题的关键要审清题意，将题中一些关键信息和数据收集起来，结合相应的条件或公式列等式或代数式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题。

1116．设n2，nN*，2x3xa0a1xa2x223nnanxn，将

ak(0kn)的最小值记为Tn.则当n是偶数时，Tn__________；当n是奇数时，

Tn__________．

【答案】0 【解析】 【分析】

11 2n3n111111根据已知中T333，T40，T555及2x3x

232323a0a1xa2x2anxn，将ak0kn的最小值记为Tn，我们易得，当n的取值

nn为偶数时的规律，再进一步分析，n为奇数时，Tn的表达式与n之间的关系，综合便可得出Tn的表达式。 【详解】

9

根据Tn的定义，列出Tn的前几项：

T00，T11111111，T20，T333，T40，T555，T60，， 623232311. 2n3n由此规律，我们可以推断：

当n为偶数时，Tn0；当n为奇数时，Tn故答案为：0；【点睛】

本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查归纳推理，归纳推理的一般步骤是： （1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；

（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（或猜想）。 评卷人 11n。 n23得分 和

三、解答题

17．已知数列

满足，

（1）求与； （2）记数列【答案】（1）【解析】

（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和. 试题解析：（1）由当当所以

时，时，.

所以

的前项和为，求.

；（2）

，得

，故

. ，整理得

.

，

（2）由（1）知，所以

10

所以.

考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.

18．某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：

（1）设改造前、后手机产量相互，记A表示事件：“改造前手机产量低于5000部，改造后手机产量不低于5000部”，视频率为概率，求事件A的概率；

（2）填写下面22列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关： 改造前 改造后

（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.

2n(adbc)参考公式：随机变量K2的观测值计算公式：K，其中

(ab)(cd)(ac)(bd)2手机产量5000部 手机产量5000部 nabcd.临界值表：

P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 11

【答案】（1）0.4092（2）有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）52.35（百部） 【解析】 【分析】

（1）计算出事件“改造前手机产量低于5000部”的频率，以及事件“改造后手机产量不低于5000部”的频率，再利用事件的概率公式可计算出事件A的概率； （2）补充22列联表，计算K2的观测值，再根据临界值表找出犯错误的概率，即可对问题下结论；

（3）利用频率分布直方图左右两边面积均为0.5计算出中位数的值。 【详解】

（1）记B表示事件“改造前手机产量低于5000部” ，

由题意知PAPBCPBPC．C表示事件“改造后手机产量不低于5000部”，改造前手机产量低于5000部的频率

(0.0400.0340.0240.0140.012)50.62，

故PB的估计值为0.62．

改造后手机产量不低于5000部的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66， 故PC的估计值为0.66， 因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092． （2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表： 改造前 改造后

手机产量5000部 62 34 手机产量5000部 38 66 K22006266343810010096104215.705

由于15.7056.635，故有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关； （3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，

12

手机产量低于5000部的直方图面积为0.0040.0200.04450.340.5， 手机产量低于5500部的直方图面积为0.0040.0200.044+0.06850.680.5， 故改造后手机产量的中位数的估计值为50+【点睛】

本题考查事件概率的计算、性检验以及频率分布直方图中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平和分析推理能力，属于中等题。

0.50.34≈52.35（百部）．

0.068x2y219．设相互垂直的直线AB，CD分别过椭圆E:1的左、右焦点F1，F2，

43且与椭圆E的交点分别为A、B和C、D.

（1）当AB的倾斜角为45时，求以AB为直径的圆的标准方程；

（2）问是否存在常数，使得|AB||CD||AB||CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

743144【答案】（Ⅰ）xy（Ⅱ）存在，使得12774922|AB||CD||AB||CD|恒成立，详见解析

【解析】 【分析】

（1）将直线AB的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出线段AB的中点坐标，利用弦长公式计算出AB，于此得出圆心坐标和半径长，再写出圆的标准式方程； （2）对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论，在直线AB的斜率不存在时，分别计算出AB和CD，可计算出的值，在直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为

ykx1，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及韦达定理计算出AB，

同理计算出CD，代入题中等式计算出的值，从而说明实数存在。 【详解】

（1）由题意可设AB的方程为yx1，代入E可得7x28x80． 所以，AB的中点坐标为43,． 77 13

8824，

又|AB|2477743144所以，以AB为直径的圆的方程为xy．

7749（2）假设存在常数，使得|AB||CD||AB||CD|恒成立． ①当AB与x轴垂直或CD与x轴垂直时，

2221111117ABCD23223412；

2②设直线AB的方程为yk(x1)，则直线CD的方程为y将AB的方程代入E得：34k1(x1)． k2x28k2x4k2120．

8k24k212xx由韦达定理得：x1x2，122， 234k34k所以|AB|1k2x1x224x1x212k2134k2．

同理可得|CD|12k2143k2．

1134k243k27所以．

|AB||CD|12k2112k2112因此，存在【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合问题，考查弦长公式、圆的标准方程，计算量大，解题的易错点就是计算，计算时可充分利用因式分解等一些常规步骤来操作，另外在设直线方程时也可以掌握一些技巧，降低运算量。

7，使得|AB||CD||AB||CD|恒成立． 12ex2 20．设函数f(x)2k(lnx)（k为常数，e＝2．718 28…是自然对数的底数）．

xx（1）当k0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f(x)在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

e2【答案】（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)；（2）(e,)．

2

14

【解析】 【详解】

试题分析：（I）函数yf(x)的定义域为(0,)，

f(x)(x2)(exkx)x3 由k0可得exkx0，

得到f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,). （II）分k0，k0，0k1，k1时，

讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少. 试题解析：（I）函数yf(x)的定义域为(0,)，

f(x)x2ex2xex21x4k(x2x) xex2exk(x2)x3x2 (x2)(exkx)x3 由k0可得exkx0，

所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减， 当x(2,)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增. 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,). （II）由（I）知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减， 故f(x)在(0,2)内不存在极值点；

当k0时，设函数g(x)exkx,x[0,)， 因为g(x)exkexelnk，

当0k1时，

当x(0,2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增，

故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点； 当k1时，

得x(0,lnk)时，g(x)0，函数yg(x)单调递减，

15

x(lnk,)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增，

所以函数yg(x)的最小值为g(lnk)k(1lnk)， 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点；

g(0)0g(1nk)0当且仅当，

g(2)00lnk2e2解得ek，

2e2综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e,).

2考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.

21．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

2x2t2（1）将直线l：（t为参数）化为极坐标方程；

y2t2A2,（2）设P是（1）中的直线l上的动点，定点，B是曲线2sin上的

4动点，求|PA||PB|的最小值. 【答案】（1）cos【解析】 【分析】

（1）先将直线l的参数方程化为普通方程，再由为极坐标方程；

（2）将点A的极坐标化为直角坐标，点B所在曲线的方程化为普通方程，可知该曲线为圆，利用当B、P、A与圆心四点共线且点P为圆心与点A连线线段与圆的交点时，

（2）51. 1；

4xcos可将直线l的普通方程化

ysinPAPB取得最小值，可得出答案。

【详解】

16

（1）消去参数t得xy2， 即(cossin)2，

∴直线l的极坐标方程为cos1． 4（答案也可以化为sin1） 4（2）∵A2,的直角坐标为A(1,1)， 422曲线2sin是圆C：x(y1)1（C为圆心）．

∴|PA||PB||PA||PC|1|AC|151．

∴|PA||PB|的最小值为51（这时P是直线l与直线AC的交点）． 【点睛】

本题第（1）问考查的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，第（2）问考查圆的几何性质，考查折线段长度的最小值问题，做题时充分利用数形结合思想来求解，属于中等题。

22．选修4-5：不等式选讲 已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）若【答案】（Ⅰ）【解析】

试题分析：（I）当=-2时，不等式

＜

化为

，

时，解不等式：，且当

时，（Ⅱ）

，

；

，求的取值范围。 ，

设函数=，=，

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当

.

时，＜0，∴原不等式解集是

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（Ⅱ）当∈[∴

，)时，=，不等式≤化为，

对∈[，)都成立，故，即≤，

∴的取值范围为（-1，].

考点：绝对值不等式解法，不等式恒成立问题。

点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围。

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