一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A={x|y=
}，集合B={x|2x﹣x2＞0}，则（∁RA）∩B等于（
A．（0，2） B．[1，2） C．（0，1） D．∅ 2．复数z=
A．﹣1 B．﹣3 C．1
的虚部为（ ） D．2
）到其焦点的距离是A到y轴距
3．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，离的3倍，则p等于（ ） A． B．1
C． D．2
4．已知向量，满足||=1，||=2•（2﹣）等于（ ） A．2
B．﹣1 C．﹣6 D．﹣18
，与的夹角的余弦值为sin，则
5．已知x∈（0，π），且cos（2x﹣A． B．﹣ C．3
D．﹣3
）=sin2x，则tan（x﹣）等于（ ）
6．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（ ）
A．18 B．20 C．87 D．90
1
7．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
使用时间（单位：天） 10：20 21：30 31：40 41：50 51：60
个数
10
40
80
50
20
若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18 是函数f（x）=
sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一
个单位后得到函数g（x）的图象，
9．已知x=
条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移则函数g（x）在[﹣A．﹣2 B．﹣1 C．﹣10．已知函数的解集为（ ） A．（，1）
B．[1，4] C．（，4）
，
]上的最小值为（ ） D．﹣
则不等式
D．[1，+∞
11．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），
F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2
D．3
2
12．已知函数f（x）=ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣，） D．（，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13．（﹣
）6的展开式中常数项为 ．
14．如果实数x，y满足条则z=的最大值为 ．
15．B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC三个内角A，若a2sinC=4sinA，（ca+cb）（sinA﹣sinB）=sinC（2
﹣c2），则△ABC的面积为 ．
16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+a（n∈N+） （1）求a的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn=（1﹣an）log3（an2•an+1），求
的前n项和为Tn．
18．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，点N是CD的中点． （1）求证：平面PMN⊥平面PAB； （2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
3
20．已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），
且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点． （1）求椭圆C的方程；
（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围． 21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣
，其中a∈R
（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间； （2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是
（t为参数）．
（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）若直线l被圆C截得的弦长为
[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数f（x）=|x+1|
（1）求不等式f（x）＜2x的解集；
，求a的值．
（2）若2f（x）+|x﹣a|＞8对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
2017年广西桂林市、百色市、崇左市高考数学一模试卷
4
（理科）
参与试题解+析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A={x|y=
}，集合B={x|2x﹣x2＞0}，则（∁RA）∩B等于（
A．（0，2） B．[1，2） C．（0，1） D．∅ 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】化简集合A和B，根据补集与交集的定义写出（∁RA）∩B即可． 【解答】解：集合A={x|y=
}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
集合B={x|2x﹣x2＞0}={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}， 则∁RA={x|x＜1}，
∴（∁RA）∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）． 故选：C． 2．复数z=
A．﹣1 B．﹣3 C．1
的虚部为（ ） D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z=∴复数z=故选：B．
3．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，离的3倍，则p等于（ ） A． B．1
C． D．2
）到其焦点的距离是A到y轴距
=
的虚部为﹣3．
，
【考点】抛物线的简单性质．
5
【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+，得出x0求得p，可得答案． 【解答】解：由题意，3x0=x0+，∴x0=， ∴
=2，
∵p＞0， ∴p=2， 故选D．
4．已知向量，满足||=1，||=2•（2﹣）等于（ ） A．2
B．﹣1 C．﹣6 D．﹣18
，与的夹角的余弦值为sin
，则
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得 的值．
【解答】解：∵向量，满足||=1，||=2=sin（﹣∴
）=﹣
，
）=﹣3，∴•（2﹣）=2
﹣
=2•（﹣3）﹣12=
，与的夹角的余弦值为sin
的值，可得（2﹣）
=1×2×（﹣
﹣18， 故选：D．
5．已知x∈（0，π），且cos（2x﹣A． B．﹣ C．3
D．﹣3
）=sin2x，则tan（x﹣
）等于（ ）
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanx的值，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵cos（2x﹣∴2sinxcosx=sin2x，
6
）=sin2x，可得：sin2x=sin2x，
∵x∈（0，π），sinx＞0， ∴2cosx=sinx，可得tanx=2，
∴tan（x﹣）===．
故选：A．
6．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（ ）
A．18 B．20 C．87 D．90 【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，n=2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，S=5，n=3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，S=18，n=4，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后，S=87，n=5，满足退出循环的条件； 故输出的S值为87， 故选：C
7．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200
7
个机械元件情况如下：
使用时间（单位：天） 10：20 21：30 31：40 41：50 51：60
个数
10
40
80
50
20
若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】基本事件总数n=
，由题意得：使用寿命在30天以上共150个，由
此求出至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m=
，从而能求出至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率．
【解答】解：随机抽查的200个机械元件，从该批次机械元件随机抽取3个， 基本事件总数n=
，
由题意得：使用寿命在30天以上共150个，
至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m=故至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率是：
，
P=故选：D．
=．
8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
8
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体， 下部的三棱柱，底面面积为：×4×3=6，高为1，体积为：6； 上部的三棱柱，底面面积为：×2×3=3，高为1，体积为：3； 故组合体的体积V=6+3=9， 故选：B
9．已知x=
是函数f（x）=
sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一
个单位后得到函数g（x）的图象，
条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移则函数g（x）在[﹣A．﹣2 B．﹣1 C．﹣
，
]上的最小值为（ ） D．﹣
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解+析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解+析式．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解+析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在[﹣上的最小值． 【解答】解：已知x=
=是函数f（x）
sin=2sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（2x+φ+
），
]
（0＜φ＜π）图象的一条对称轴， ∴2×
+φ+
=kπ+
，k∈Z，∴φ=
，即f（x）=2sin（2x+
个单位后，
）=2sin（2x﹣
）=
）．
将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移
）+
得到函数g（x）=2sin[2（x﹣﹣2sin（2x﹣在[﹣
，
）的图象， ]上，2x﹣
∈[﹣
]=2sin（2x﹣
，]，故当2x﹣=时，g（x）取得
最小值为﹣1，
9
故选：B．
10．已知函数的解集为（ ） A．（，1）
B．[1，4] C．（，4）
D．[1，+∞
则不等式
【考点】对数值大小的比较． 【
分
析
】
不
等
式
⇔
，或，解出即可得出．
【解答】解：不等式⇔
，或，
解得1≤x≤4，或∴原不等式的解集为故选：C．
11．已知双曲线C：
， ．
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），
F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2
D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值． 【解答】解：解：设PF1与圆相切于点M，
10
因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点， 所以|F1M|=|PF1|，
又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2﹣a2=c2﹣a2，所以|F1M|=b=|PF1|① 又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②， c2=a2+b2③
由①②③可得c2﹣a2=（
）2，
即为4（c﹣a）=c+a，即3c=5a， 解得e==． 故选：B．
12．已知函数f（x）=ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣，） D．（，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出f′（x），问题转化为b＜x∈[，2]，求出b的范围即可． 【解答】解：∵f（x）=ex（x﹣b）， ∴f′（x）=ex（x﹣b+1），
若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则若存在x∈[，2]，使得ex（x﹣b）+xex（x﹣b+1）＞0， 即b＜
在[，2]恒成立，
在[，2]恒成立，令g（x）=
，
11
令g（x）=则g′（x）=
，x∈[，2]， ＞0，
g（x）在[，2]递增， ∴g（x）最大值=g（2）=， 故b＜， 故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13．（﹣
）6的展开式中常数项为 60 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出． 【解答】解：（﹣
r26﹣r
）6的展开式中的通项公式：Tr+1==（﹣1）
，
﹣6=0，解得r=4．
）6的展开式中常数项=
=60．
令
∴（﹣
故答案为：60．
14．如果实数x，y满足条【考点】简单线性规划．
则z=的最大值为 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， z=
=2﹣，
12
设k=，则z=1﹣k，
k的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 要求z=1﹣k的最大值，则求k的最小值， 由图象知OC的斜率最小， 由
得
，即C（，1），
则k==，
则z=2﹣=， 故答案为：
15．B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC三个内角A，若a2sinC=4sinA，（ca+cb）（sinA﹣sinB）=sinC（2
﹣c2），则△ABC的面积为
．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知可得ac=4，a2+c2﹣b2=2
，继而利用余弦定理可
得cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：∵a2sinC=4sinA，
∴由正弦定理可得：a2c=4a，解得：ac=4， ∵（ca+cb）（sinA﹣sinB）=sinC（2∴c（a+b）（a﹣b）=c（2
﹣c2），
，
﹣c2），整理可得：a2+c2﹣b2=2
13
∴由余弦定理可得：cosB=∴S△ABC=acsinB=故答案为：．
=．
==，可得：sinB==，
16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为 16π ． 【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．
【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，
设AA1=2a，E为AA1的中点，
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a）， 则
=（﹣2，2，0），
=（﹣2，0，a），
=（1，1，a），
若OA⊥平面BDE，则
，即
即a2﹣2=0， 解得a=
，
=4，
，
∴球O的半径R满足：2R=故球O的表面积S=4πR2=16π， 故答案为：16π．
14
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+a（n∈N+） （1）求a的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn=（1﹣an）log3（an2•an+1），求【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2时，6an=6（Sn﹣Sn﹣1），可得an=3n﹣1，n=1时也成立，于是1×6=9+a，解得a． （2）由（1）代入可得bn=（1+3n）=
=（3n+1）（3n﹣2），因此的前n项和为Tn．
．利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：（1）∵等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a（n∈N+）， n=1时，6a1=9+a；
n≥2时，6an=6（Sn﹣Sn﹣1）=3n+1+a﹣（3n+a）=2×3n． ∴an=3n﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=﹣3． ∴an=3n﹣1．
（2）bn=（1﹣an）log3（an2•an+1）=（1+3n）∴
=
．
+…+
=（3n+1）（3n﹣2），
的前n项和为Tn=
15
=
=．
18．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
【分析】（Ⅰ）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；
（Ⅱ）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．
【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．… P（ξ=1）=
=
；P（ξ=2）=
=
；P（ξ=3）=
=； … 考生甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ P
1
2
3
Eξ=1×+2×+3×=2．…
设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．… P（η=0）=P（η=3）=
；P（η=1）==
．…
=
，P（η=2）=
=
，
考生乙正确完成题数η的分布列为： η P
0
1
2
3
16
Eη=0×+1×+2×+3×=2．…
=，…
（Ⅱ）因为Dξ=Dη=npq=．… 所以Dξ＜Dη．
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，点N是CD的中点． （1）求证：平面PMN⊥平面PAB； （2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理先证明MN⊥平面PAB即可证明平面PMN⊥平面PAB；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）∵△ABC是正三角形，AB=BC， 在△ACD中，AD=CD，则△ABD≌△CDB， ∴M为AC的中点，
∵点N是CD的中点，∴MN∥AD， 又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD． ∵∠CDA=120°，∴，∠DAC=30°，
∵∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD， 又PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAD．
17
∴MN⊥平面PAB． ∵MN⊂平面PMN， ∴平面PMN⊥平面PAB．
（2）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），C由（1）可知，
，
设平面PBC的一个法向量为则
，即
，，P（0，0，4）．
为平面PAC的法向量． ．
，
，
，则平面PBC的一个法向量为
．
，
令z=3，得x=3，
设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则由题意值二面角A﹣PC﹣B是锐二面角， 则二面角A﹣PC﹣B余弦值为
．
20．已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（1，），
且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点． （1）求椭圆C的方程；
（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点
18
A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直
线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；
（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围． 【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴
+
=1，①…
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，… ∴
，②…
，…
…
由①②得a=2，b=∴椭圆C的方程为
（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+… 联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0 设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则 ∴y1+y2=﹣∴y0=﹣∴k=
，
， ，x0=
，
①当m=0时，k=0； ②当m≠0时，k=∵|4m+|=4|m|+
，
≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…
21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣
，其中a∈R
19
（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间； （2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．
【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+h′（x）=1﹣﹣
=
，
的定义域为（0，+∞），
①当1+a≤0，即a≤﹣1时， h′（x）＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数； ②当1+a＞0，即a＞﹣1时，
x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0； 故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数； （2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]， ①当a≤﹣1时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0， 解得，a＜﹣2； ②当﹣1＜a≤0时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2； ③当0＜a≤e﹣1时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解； ④当e﹣1＜a时，
存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（e）=e﹣a+
＜0，
20
解得，a＞综上所述，
；
a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（
[选修4-4：坐标系与参数方程]
，+∞）．
22．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是
（t为参数）．
（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）若直线l被圆C截得的弦长为【考点】参数方程化成普通方程．
，求a的值．
【分析】（1）直线l的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x
﹣2）．可得M（2，0）．圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2
，可得|MN|的最大值为2
+r．
（2）圆C的方程为：x2+（y﹣a）2=a2，直线l的方程为：4x+3y﹣4a=0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．
【解答】解：（1）直线l的参数方程是，a=2时，化为普通方程：
0）（x﹣2）．令y=0，解得x=2，可得M（2，．圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4． |MC|=2
，∴|MN|的最大值为2
+2．
（2）圆C的方程为：x2+（y﹣a）2=a2，直线l的方程为：4x+3y﹣4a=0， 圆心C到直线l的距离d=∴
21
=．
．
=2，解得a=
[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数f（x）=|x+1|
（1）求不等式f（x）＜2x的解集；
（2）若2f（x）+|x﹣a|＞8对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为f（x）+|x﹣a|＞3对任意x∈R恒成立，即|a+1|＞3，解出即可． 【解答】解：（1）由f（x）＜2x，得：|x+1|＜2x， 则﹣2x＜x+1＜2x， 即
，解得：x＞1，
故不等式的解集是（1，+∞）；
（2）∵f（x）+|x﹣a|=|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣x+a|=|a+1|， 又2f（x）+|x﹣a|＞8=23对任意x∈R恒成立， 即f（x）+|x﹣a|＞3对任意x∈R恒成立， ∴|a+1|＞3，解得：a＞2或a＜﹣4， 故a的范围是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
2017年3月11日
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