t81

第五章 向量分析

习题讨论: 曲线、曲面积分的计算 习题讨论题

x2y2z211. 计算积分：xdl, C:.

Cxyz02y2yyyy1cosdxsincos2, 计算积分：ydx, 2xxxxx1,2,沿任一条不与轴相交的曲线。 3, 计算I12CXaxbyXdYYdX,其中 , 22XYYcxdy adbc0, C为包围原点的闭曲线。 4, 计算IzdS, Jzdxdy,

SS其中S:x2y2z2a2, 外法线为曲面正向。. 5, 设函数满足条件：

xfffyznfx,y,z, n为正整数, xyz曲面S1:fx,y,x0, 与平面 S2:axbyczd, 所围区域为, 取外法线作正向,计算：

I1xdydzydzdxzdxdy. 3x2y2z2a26, 计算ydxzdyxdz, C:.

xyz0C 从正z轴方向看, C的正向为反时钟方向。

7, 设uux,y,z是闭域上的调和函数，即满足方程：

2u2u2u uu0。

x2y2z22(1) 若:x2y2z2R2, 求

第五章 向量分析

第五章 向量分析

cosr,n1u IudS, 2rnr其中，r是矢径，即rxiyjzk, rr,

 n是dS的法线方向。

(2) 若是任一不包含原点作为内点的闭域, 求

cosr,n1uIudS. 2rnr(3) 若是任一包含原点作为内点的闭域, 求cosr,n1uIudS 2rnr(4) 若是任一包含P0a,b,c0点作为内点的闭域, 求:

cosr,n1uIudS, 2rnr其中，r是以P0为起点的矢径，即 rxaiybjzck, rr,  n是dS的法线方向。

第五章 向量分析

第五章 向量分析

参考解答

x2y2z211. 计算积分：xdl, C:.

Cxyz02解1: 作坐标变换，将z轴变成平面xyz0的单位法向量, 再在平面上取两个正交的向量:

11 1和1,

02再单位化，以构成新坐标系:

 e1e2ue3v, w 过渡矩阵 T由 新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形成如下：

10 0111e1e212016313, 012,116

000326ue3viw12jk1201611612613x3y 3z12uv12w01611612613xx3yTy z3z 因为是正交阵，T1TT, 因此，

1xy1z1263111263u26v

13w0u2v21u2v2w21, 即  C:w0w0第五章 向量分析

第五章 向量分析

12x y12z0126u16v=12026126Cost16Sint

261uv1121dldludluvdl x2dl63263CCCCC112 =Cos2tdt

3303解二：由对称性可知： x2dly2dlz2dl

CCC2 x2dlC12222. xyzdl1dl3C3C

第五章 向量分析

第五章 向量分析

y2yyyydxsincos2, 计算积分：12cosydx, xxxxx1,2,沿任一条不与轴相交的曲线。

X2yyy2yY解：由于, 2cos3sinyxxxxxy2yyyy 1cosdxsincosdy= x2xxxxyy1y =dxycos2dxdysindy

xxxxyyy =dxycosdsindy

xxx =dxydsin2,yysindydxysinxxy, xy2yyyy1cosdxsincosydx 2xxxxx1,2,2,yy =dxysinxysinxx1,1

1,

第五章 向量分析

第五章 向量分析

13, 计算I2CXaxbyXdYYdX,其中 ,

YcxdyX2Y2 adbc0, C为包围原点的闭曲线。

解：由adbc0可知，仅有原点使X2Y20. XdYYdXadbcxdyydx I12CXdYYdXadbcxdyydx= 22222XYXYC =

adbc2CPdxQdy,

易于验证：

PQ yxI= adbc2xdyydxadbcxdyydx= 22222XYCXYX2Y2r2 =

adbc2r2X2Y2r2xdyydx=

adbc2r2X2Y2r22dxdy

=

adbcr2X2Y2r2detx,ydXdY, X,Yx,y1dbX,Yab 因X,Yadbcca cdx,y detx,y1,

X,Yadbc Iadbcr2X2Y2r21dXdY

adbcadbcr2 =Sgnadbc.

adbcr2

第五章 向量分析

第五章 向量分析

4, 计算IzdS, Jzdxdy,

SS其中S:x2y2z2a2, 外法线为曲面正向。. 解：由对称性可知：IzdSzdSzdS,

SS1S2 且 zdSzdS

S1S2dxdyzzdS1dxdycosxySS1S2S122adxdyaxy222,

IzdSzdSzdS2zdS=

aa2x2=2dxaaa2x2a2x2y2aaxy222dxdy

=8aa2x2dx2a3

0 Jzdxdyzdxdyzdxdy

SS1S2aa2x2 zdxdydxS1aaa2x2a2x2a2x2y2dxdy

zdxdydxS2aa2x2a2x2y2dxdy,

Jzdxdyzdxdyzdxdy0.

SS1S2

第五章 向量分析

第五章 向量分析

5, 设函数满足：xfffyznfx,y,z, n为正整数, xyz曲面S1:fx,y,x0, 与平面 S2:axbyczd, 所围区域为, 取外法线作正向,计算：

I1xdydzydzdxzdxdy. 3解： 设Fxiyjzkr

11 IFn0dSFn0dSFn0dS 33S2S1在曲面S1上:

Fn0rfxifyjfzkfx2fyfz22=

xfxyfyzfzfx2fyfz220

在平面S2上: =

axbyczdaibjczk= Fn0r222222222abcabcabc11IFn0dSFn0dSFn0dS=

33S2S1 =01HS =dS22233abcS2d这里，H是原点到平面S2的距离，是曲面S1在平面S2上切下图形的面积. 另一方面，由Gauss 公式有：

I1xdydzydzdxzdxdy= 3

1xyzdxdydzdxdydz, 3xyz1HS. 3即所围体积: 第五章 向量分析

第五章 向量分析

x2y2z2a26, 计算ydxzdyxdz, C:.

xyz0C 从正z轴方向看, C的正向为反时钟方向。

解1：直接计算：做的参数方程：

x2y2z2a2 C:

xyz0xuv2222xyxya2yuv2 

xyz0zu22223uvax C:yzCacostsint23acostsint,0t2 23a2cost23 ydxzdyxdz=

a222122. dt3a330

解2：利用Stokes 公式计算：

cos ydxzdyxdz=xCSyScosyzcosdS zx =coscoscosdS

=coscoscosdS3a2

S

第五章 向量分析

第五章 向量分析

7, 设uux,y,z是闭域上的调和函数，即满足方程：

u2u2ux22uy22uz20。 (1)若:x2y2z2R2, 求

Iucosr,n1u2rrndS, 其中，r是矢径，即rxiyjzk, rr,

n是dS的法线方向。

(2)若是任一不包含原点作为内点的闭域, 求

Iucosr,n1u2rrndS. (3)若是任一包含原点作为内点的闭域, 求Iucosr,n12urrndS (4)若是任一包含P0a,b,c0点作为内点的闭域, Iucosr,n1u2rrndS, 其中，r是以P0为起点的矢径，即 rxaiybjzck, rr, n是dS的法线方向。

第五章 向量分析

求:

第五章 向量分析

11 解： 设 r0r, n0n, 则有：

rn1cosr,ndSr0n0dSr0n0dSr0dSrdS;

rudSgradun0dSun0dSudS, n(1)若:x2y2z2R2, 则此时

r rR, dSn0dSr0dSdS.

r11 在Iu3rdSudS. 中

rr111 首先，u3rdSu3rr0dSu3rdS

rrr =

1R2udS

111 再者，udSudSudv

rRR =

12udv0. R1cosr,n1u 最后：Iu=dS2rnR2rudS

(2)若是任一不包含原点作为内点的闭域, 则对

11 Iu3rdSudS

rr可利用Gauss公式。

rrrrjkr0 注意: rixyzr

1111rrr, 3202rrrr第五章 向量分析

第五章 向量分析

11r 230

rrr11首先，u3rdSudS

rr1 =urdv

121 =uudv rr1 =udv

r11再者，udSudv

rr11 =u2udv

rr1 =udv.

rcosr,n1u 最后：IudS 2rnr11 =udvudv

rr = 00 = 0

(3)若是任一包含原点作为内点的闭域,

在内作以原点为球心半径为0的球

cosr,n1u IudS= 2rnrcosr,n1ucosr,n1u =udSudS 22rnrnrr1cosr,n1u =0u=dS22rnr第五章 向量分析

udS4P

第五章 向量分析

其中，P, Ilim012udSP0,0,0.

(4)若是任一包含P0a,b,c0点作为内点的闭域,

r是以P0为起点的矢径，即

rxaiybjzck, rr,  n是dS的法线方向。则

cosr,n1u IudSP0a,b,c, 2rnr第五章 向量分析