2006高考理科数学试卷及答案全国1

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互，那么

P（A·B）=P（A）· P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn(k)CnP(1P)nk

球的表面积公式

2

P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR

其中R表示球的半径 球的体积公式

V43

R3其中R表示球的半径

一．选择题

（1）设集合M{x|x2x0},N{x||x|2}，则

（A）MN （C）MNM

（B）MNM （D）MNR

（2）已知函数yex的图像与函数yf(x)的图像关于直线yx对称，则

（A）f(2x)e2x(xR） （C）f(2x)2e(xR）

22x（B）f(2x)ln2·lnx（x0） （D）f(2x)lnxln2（x0）

（3）双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=

（A）1 42（B）－4 （C）4 （D）

1 4（4）如果复数(mi)(1mi)是实数，则实数m=

（A）1

（B）－1

（C）2

（D）－2

（5）函数f(x)tan(x

（A）(k4)的单调增区间为 ),kZ

（B）(k,(k1)),kZ （D）(k223,k),kZ （C）(k44,k4,k3),kZ 4（6）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若a、b、c成等比数列，且c2a,则cosB

1

（A）

1 4（B）

3 4（C）

2 4（D）

2 3（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A）16 （B）20 （C）24 （D）32 （8）抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是

（A）

4 3（B）

7 5（C）

8 5（D）3

（9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0. 如果平面向量b1、b2、b3满足

|bi|2|ai|,且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则

（A）b1b2b30 （C）b1b2b30

（B）b1b2b30 （D）b1b2b30

（10）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1a2a315,a1a2a3=80，则

a11a12a13=

（A）120 （B）105 （C）90 （D）75

（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但 不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

（A）85cm2 （C）355cm2

（B）610cm2 （D）20cm2

（12）设集合I{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中

最大的数，则不同的选择方法共有 （A）50种 （B）49种

（C）48种 （D）47种

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在横线上.

2

（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 .

（14）设z2yx，式中变量x、y满足下列条件

2xy1,3x2y23, y1,

则z的最大值为 .

（15）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）

（16）设函数f(x)cos(3x)(0). 若f(x)f(x)是奇函数，则

= .

三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,cosA2cosBC取得最大值,并2求出这个最大值.

（18）（本小题满分12） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为

21，服用B有效的概率为. 32 （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数. 求的分布列和数学期望.

3

（19）如图，l1、l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段. 点A、B在l1上，C在

l2上，AM = MB = MN.

（Ⅰ）证明ACNB；

（Ⅱ）若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值.

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,3)和F2(0,3)为焦点、离心率为3的椭

2圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB. 求： （Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）|OM|的最小值.

（21）（本小题满分14分）已知函数f(x)1xeax.

1x（Ⅰ）设a0，讨论yf(x)的单调性；

（Ⅱ）若对任意x(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范围.

（22）（本小题满分12分）设数列{an}的前n项的和Sn （Ⅰ）求首项a1与通项an；

n2n3（Ⅱ）设Tn,n1,2,3,,证明：Ti.

2Sni1

412an2n1,n1,2,3, 333

4

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参

一．选择题 （1）B （7）C 二．填空题 （13）

（2）D （8）A

（3）A （9）D

（4）B （10）B

（5）C （11）B

（6）B （12）B

3 （14）11 （15）2400 （16）

 6三．解答题

（17）解：由ABC,得

所以有 cosBCA, 222BCAsin. 22 cosA2cosBCAcosA2sin 22 12sin2A2sinA

22 2(sin

当sinA123). 222A1BC3,即A时,cosA2cos取得最大值. 22322（18分）解：

（Ⅰ）设A1表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2， B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2，

依题意有 P(A1)2124224,P(A2). 339339111111 P(B0).P(B1)2.

224222 所求的概率为

P = P（B0·A1）+ P（B0·A2）+ P（B1·A2）

141414 4949294 .

9 =

（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B（3， P(0)()4） 9125, 729451001P(1)C3()2,

99243359 5

4580P(2)C32()2,

992434P(3)()3.

9729ξ的分布列为 ξ p

数学期望E30 1 2 3 125 72944. 93100 24380 243 729（19）解法： （Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MNl1 = M，

可得l2⊥平面ABN.

由已知MN⊥l1，AM = MB = MN， 可知AN = NB 且AN⊥NB又AN为 AC在平面ABN内的射影， ∴ AC⊥NB （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB，

∴ AC = BC，又已知∠ACB = 60°，

因此△ABC为正三角形。 ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。

∴ NC = NA = NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠

NBH为NB与平面ABC所成的角。

HB在Rt △NHB中，cosNBHNB3322ABAB6. 3 解法二： 如图，建立空间直角坐标系M－xyz， 令 MN = 1， 则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。 （Ⅰ）∵MN是l1、l2的公垂线，l2⊥l1， ∴l2⊥ 平面ABN， ∴l2平行于z轴， 故可设C（0，1，m） 于是AC(1,1,m),NB(1,1,0),

ACNB1(1)00,

∴AC⊥NB.

（Ⅱ）AC(1,1,m),BC(1,1,m).|AC||BC|.

又已知∠ABC = 60°，∴△ABC为正三角形，AC = BC = AB = 2. 在Rt △CNB中，NB =2，可得NC =2，故C(0,1,2).

6

连结MC，作NH⊥MC于H，设H（0，λ，2）（λ> 0）. HN(0,1,2),MC(0,1,2).

1HNMC120,.

3 H(0,,122212),可得HN(0,,),连结BH,则BH(1,,). 333333 HNBH0220,HNBH,又MCBHH, 99 ∴HN ⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角. 又BN(1,1,0). cosNBH（20）解：

BHBN|BH||BN|432326. 3y2x2（Ⅰ）椭圆的方程可写为 221，

aba2b23式中ab0, 且33

2a得a4,b1，所以曲线C的方程为

22y2x1 (x0,y0)

42y21x2 (0x1),y2x1x22

设P(x0,y0)，因P在C上，有0x01,y021x0,y|xx04x0，得切线ABy0的方程为 y4x0(xx0)y0. y0设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得

x14,y. x0y0 7

由 OMOAOB的M的坐标为（x，y），由x0,y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为

141(x1,y2). x2y2（Ⅱ）∵|OM|2x2y2

y2411x2244 2x145459 x21∴|OM|x1且当x1224,即x31时，上式取等号， 2x1故OM的最小值为3。 （21）解：

（Ⅰ）f(x)的定义域为(,1)(1,). 对f(x)求导数得

ax22aaxf(x)e 2(1x)（i）当a=2时，f(x)2xe2x,f(x)在(,0),（0，1）和（1，+∞）均大于0，2(1x)所以f(x)在(,1), (1,)为增函数。

（ii）当0a2时,f(x)0,f(x)在（－∞，1），（1，+∞）为增函数。 （iii）当a2时,0a21. a令f(x)0, 解得x1a2a2 ,x2aa当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：

x f(x) f(x) (,a2a2a2) (,) aaa+ － ↘ (a2,1) a+ ↗ （1，+∞） + ↗ ↗ 8

f(x)在(,a2a2), (,1),（1，+∞）为增函数， aaf(x)在(a2a2,)为减函数。 aa（Ⅱ）（i）当0a2时，由（Ⅰ）知：对任意x(0,1)恒有 f(x)f(0)1.

（ii）当a2时，取x01a2(0,1)，则由（Ⅰ）知 f(x)f(0)1.

2a1x1且eax1，得 1x（iii）当a0时，对任意x(0,1)，恒有

f(x)1xax1xe1. 1x1x 综上当且仅当a(,2]时，对任意 x(0,1)恒有f(x)1. （22）解：

412an2n1, n1,2,3, ① 333412得 a1S1a14

333（Ⅰ）由Sn所以 a1=2

412an12n, n2,3, ② 33341n1n将①和②相减得 anSnSn1(anan1)(22), n2,3,

33再由①有 Sn1整理得 an2n4(an12n1), n2,3,，

因而数列{an2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即 an2n44n14n，n=1，2，3，„， 因而 an4n2n, n=1，2，3，„， （Ⅱ）将an42代入①得

nn 9

Sn4(4n2n)132n123313(2n11)(2n12)2

3(2n11)(2n11)T2nnSn32n2(2n11)(2n1)32(11

2n12n11)n所以，T3n11ii12(i12i12i11)

3 2(112i12n11)3

2.

10