直线电机滑台的空间位置精度研究

陈浩;安琦

【摘 要】直线电机滑台作为直线电机的支撑机构,常被应用在高精度的直线运动场合.直线电机滑台机构在运动过程中会受到磁推力、重力等多种外力作用,使滑台机构发生弹性变形,产生空间位置误差.通过力学建模,分析了直线电机滑台机构在外载荷作用下的位移同滚珠变形的关系,并基于赫兹接触公式,得到了滑台空间位置精度的计算模型.通过该计算模型分析了滑台的质量和质心位置、工件的质量和安装位置、电枢的安装高度、滑台的加速度以及滚珠的预压变形对滑台的空间位置精度的影响.研究发现:当工件质量不大时,工件质量和安装位置对滑台空间位置精度的影响规律与滑台质量和质心位置对其的影响规律相同,即滑台随着工件安装位置或滑台质心位置的偏移在偏移方向上线性移动,随着工件或滑台质量的增加在空间3个方向上线性移动;当工件质量较大时,滑台空间位置的变化随着工件质量的增加呈现出非线性特点;当电枢安装高度与滑台质心高度不一致且滑台加速移动时,滑台在加速的反方向上发生与加速度成比例的线性移动,且两者相距越远比例系数越大;增大滚珠预压变形可提高滑台的空间位置精度,但也会增大滚珠的最大接触应力. 【期刊名称】《华东理工大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2018(044)005 【总页数】10页(P765-774)

【关键词】直线电机滑台;空间位置精度;滑台质心位置;工件安装位置;电枢安装高度;加速度

【作 者】陈浩;安琦

【作者单位】华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237 【正文语种】中 文 【中图分类】TH115

直线电机是近年来新兴的一种动力机构，具有很多优点，目前在工业界得到广泛应用[1]。直线电机滑台机构常采用4个滑块进行导向和支撑，每个滑块都是滚珠直线导轨副。滑台质量和质心位置、工件的质量和安装位置、电枢安装高度以及滑台的加速度等因素会影响作用在滑台上的载荷的大小、方向和作用点，使直线电机滑台在这些载荷的作用下偏离原来的理想空间位置，出现空间位置误差。鉴于直线电机滑台对空间位置的精度要求较高，研究直线电机滑台空间位置精度的影响因素及影响规律十分必要。

对直线电机驱动滑台的空间位置精度进行研究，关键是进行力学分析。周传宏等[2]对四滑块支撑的工作台进行了分析，根据变形协调关系推导出对角线上滑块间的荷载关系，求解出各滑块的受力，并假设滑块定刚度，从而得到工作台的位移计算公式。徐起贺等[3]根据位移叠加原理对六滑块支撑的精密工作台在水平载荷作用下加工点的位移进行了计算，得到了加工点位移的计算公式，但在分析中同样将每个滑块假想成具有一定刚度的线性弹簧，这与实际不符。周传宏等[4]对一个双圆弧导轨滑块进行了分析，在考虑滚珠变形的基础上推导出了单个滑块在5个自由度上的位移与载荷的关系。李和明[5]借助AYSYS软件对某铣床直线导轨工作台进行了有限元分析，通过工作台的有限元模型分析其在受到切削工况下的形变量，验证工作台变形量能否保证加工精度，但此分析并未将直线导轨副中滚动体的变形计算在内。Fung等[6]开发了一种新的试验方法，可从分布在直线导轨工作台上的8个

传感器采集到的位移信号中分离出直线位移、偏航角位移和侧翻角位移，但得到的各种位移仍局限在一定精度之下。Pawel[7]基于赫兹接触理论将滑块内的滚珠等效成非线性弹簧单元，使用有限元技术研究了导轨的几何误差对工作台的空间位置的影响，结果表明多滑块工作台的空间位置精度比单个滑块要低。王民等[8]在研究滚珠直线导轨副刚度的过程中，对滚珠和滚道的接触面进行了力学分析，考察了承载前后滚珠接触角的变化，建立了整个滑块上下垂直位移与垂直载荷的关系。Mahdi等[9]对直线导轨间的安装误差对直线滑台的位置精度的影响进行了试验和有限元研究，发现导轨间竖直方向的安装误差使滑台产生以竖直方向和俯仰方向为主的位置误差，导轨间水平方向的安装误差使滑台产生水平方向、偏航和侧翻为主的位置误差，但是没有建立滑台空间位置的理论计算模型。

通过以上分析可以看出，目前对直线导轨滑台的空间位置精度多采用试验和有限元方法进行研究，还没有建立考虑滚珠实际变形和接触角变化的直线导轨滑台空间位置精度的理论计算模型。本文以4个单圆弧导轨滑块支撑的直线电机滑台为研究对象，分析了在外载荷作用下的位移与滚珠变形的关系，建立了直线电机滑台空间位置精度的计算模型。通过此模型研究了滑台的质量和质心位置、工件的质量和安装位置以及不同电枢的安装高度下滑台的加速度对滑台空间位置精度的影响规律。 1 力学建模

1.1 直线电机滑台机构空间结构

图1为直线电机滑台机构示意图。如图1所示，本文所研究的直线电机滑台由两根直线导轨上的4个滑块进行运动支撑，滑台下方安装有直线电机的电枢，与固定不动的永磁体相互作用，使滑台能够沿着导轨产生反复直线运动。同根导轨上两滑块相距l0，不同导轨间两滑块相距l1。滑块由4列滚珠、滑块滚道、导轨滚道和反向器构成，正常工作时，每一列滚珠从非承载区、过渡区到承载区，再到过渡区、非承载区形成循环运动，承载区有Nb个滚珠，它们承担了滑块上的主要载荷。

滑块为单圆弧沟槽接触，导轨滚道为曲面，滑块滚道为平面，其滚珠列编号如图1中滑块的局部放大图所示，初始接触角α为45°。

本文以滑块4列滚珠的水平对称平面作为x-z平面，以滑台的两对称平面作为y-z平面和x-y平面，建立起如图1所示的总坐标系，本文下面的分析都基于此总坐标系。

当直线电机滑台不受任何外力的作用(包括自身的重力)时，滑台在空间上有一个确定的空间位置，称之为滑台的理想空间位置，本文以滑台上表面中心O1代表滑台的理想空间位置。实际上，滑台会受到自身的重力作用、工件的重力作用、直线电机驱动力F以及惯性力等各种外载荷，导致滚动体产生不均匀的弹性变形，滑台产生x轴向位移U、y轴向位移V、绕x轴角位移θx、绕y轴角位移θy、绕z轴角位移θz，从而滑台的理想空间位置O1变成向量即为滑台的空间位置精度。 如图1所示，在总坐标系中，滑台质量为m，其质心坐标为Om(xmymzm)，工件质量为M，其质心坐标为OM(xMyMzM)。由于直线电机按对称结构安装，驱动力F可以视为一个平行于z轴的集中力，作用在电枢安装位置的中心OF(0yF0)。 图1 直线电机滑台机构示意图及滑块局部放大图Fig.1 Linear-motor rolling-guide stage and local enlarged drawing of slider 1.2 受力分析

本文对直线电机滑台机构的受力分析基于以下假设： (1) 滑块滚道和导轨滚道为刚体，不发生整体变形； (2) 滚珠与滚道间的接触变形视为弹性变形； (3) 忽略滚珠与球保持器、滚道之间的摩擦与润滑；

由于滑台在z轴方向上受到的摩擦阻力较小，驱动力可近似等于滑台机构整体的惯性力。直线电机滑台以加速度a朝着z轴正向移动，则此时滑台机构在y轴正向上受到滑台和工件的重力作用为

Fy=(M+m)g (1)

在绕x轴正向转动方向上受到的力矩为 Ix= Mg·zM+mg·zm-(M+m)a·yF+ Ma·yM+ma·ym (2)

在绕y轴正向转动方向上受到的力矩为 Iy=-Ma·xM-ma·xm (3)

在绕z轴正向转动方向上受到的力矩为 Iz=-Mg·xM-mg·xm (4)

在这些力和力矩的作用下，滑台会发生沿x、y轴和绕x、y、z轴5个自由度上的位移U、V、θx、θy和θz(U、V分别以x轴正向移动、y轴正向移动为正，θx、θy和θz按右手定则确定正方向)。4个滑块共16列滚珠中的每一个滚珠也因此发生变形，产生接触力和接触力矩，使得整个滑台达到平衡。滑台整体静力平衡方程组见式(5)。 (5)

式中：i代表滑块的编号；j代表每个滑块中循环球滚珠列的编号；k代表每列循环球中承载区滚珠的编号；Fxi,j,k、Fyi,j,k和Ixi,j,k、Iyi,j,k、Izi,j,k分别为第i号滑台第j列循环球承载区中编号为k的滚珠在各个方向上的接触力和接触力矩。 图3 滑块滚道的整体法向线位移和整体法向角位移Fig.3 Overall normal line and angular displacement of the slider groove

1.3 滚珠受力分析

1.3.1 滚珠接触变形分析 由于直线电机滑台与滑块滚道刚性连接在一起，所以当直线电机滑台发生U、V、θx、θy和θz这5种位移时，第i号滑块中第j列滚珠所对应的滑块滚道相对于对应的导轨轨道同样会产生沿x轴位移ui,j、沿y轴位移vi,j和绕滑块滚道自身中点Ai,j的角位移θx、θy和θz，由于滑块滚道与滑台的角位移大小相同，使用相同符号。这是由于这5种位移的存在，造成同一滑块的不同滚珠列，以及同一列滚珠里不同位置的滚珠都发生不同的接触变形。由于滑块滚道是平面的缘故，在这5种位移中，只有θz会影响滑块在x-y平面上的接触角(由于滑台在z轴方向上是无约束的，所以只考虑x-y平面上的接触角变化)，如图2所示。此时第i号滑块的第j列滚珠在x-y平面内的接触角为αi,j+θz(见表1)。 图3所示为滑块滚道的整体法向线位移和整体法向角位移。如图3所示，滑块滚道的5种位移在滚珠法向上可看成是滑块滚道中点Ai,j的平动和绕Ai,j的转动，即滑块滚道的整体法向线位移δni,j和整体法向角位移θni,j。如图3(a)所示，第i号滑块中第j列滚珠所对应的滑块滚道沿y轴方向存在位移vi,j时，vi,j在滚珠法向方向上分量为vi,jsin(αi,j+θz)。如图3(b)所示，滑块滚道沿x轴方向存在位移ui,j时，ui,j在滚珠法向方向上分量为ui,jcos(αi,j+θz)，这两个分量共同构成了滑块滚道的整体法向线位移δni,j。如图3(c)所示，滑块滚道存在角位移 θx、θy和θz时，θx在滚珠的法平面上角位移分量为θxsin(αi,j+θz)，θy在滚珠的法平面上角位移分量为θycos(αi,j+θz)，这两个分量共同构成了滑块滚道的整体法向角位移θni,j。所以滑块滚道的整体法向线位移δni,j和整体法向角位移θni,j可根据式(6)进行计算。

图2 滑块接触角变化示意图Fig.2 Change of the contact angle

表1 滑块中各列滚珠在受载前后的接触角Table 1 Contact angle of each row in the slider before and after the

loadjαi,j(i=1,2,3,4)αi,j+θz(i=1,2,3,4)1αα+θz2π-απ-α+θz3π+απ+α+θz4-α-α+θz (6)

图4所示为第i号滑块中的第j列滚珠在滚珠法向的示意图，图中虚线表示滑块滚道发生整体法向线位移δni,j和整体法向角位移θni,j后的位置。假设沿着z轴负方向依次给承载区内的滚珠编号为1，2，…，Nb，当已知δni,j和θni,j以及相邻滚珠间距lb，即可求出每个滚珠处的滑块滚道的法向线位移。

图4 每个滚珠处的滑块滚道法向线位移Fig.4 Normal line displacement at each ball’s contact position of the slider groove

当承载区的滚珠数Nb为奇数时，每个滚珠处的滑块滚道的法向线位移为 (7)

当承载区的滚珠数Nb为偶数时，每个滚珠处的滑块滚道的法向线位移为 (8)

1.3.2 滚珠接触变形量计算 在第i号滑块中间对称位置建立如图2所示的局部坐标系。已知第i号滑块第j列滚珠对应的滑块滚道中点为Ai,j，导轨滚道曲率中心为Bi,j，曲率半径为rc，左右导轨滚道曲率中心距离为sx，上下导轨滚道曲率中心距离为sy。Bi,j在局部坐标系的坐标值以及局部坐标系原点Ci在总坐标系上的坐标值可查看表2、表3。

此时Bi,j在总坐标系下的坐标向量OBi,j为

(9)

表2 Bi,j在局部坐标系的坐标值Table 2 Coordinates of Bi,j in local framejx′Bi,jy′Bi,j1sx2sy22-sx2sy23-sx2-sy24sx2-sy2

表3 Ci在总坐标系上的坐标值Table 3 Coordinates of Ci in global frameixCiyCizCi1-l120l022l120l023-l120-l024l120-l02

滑块中滚珠的预紧是通过增大滚珠直径实现的，假设滚珠直径为Db，滚珠预压变形量为δ0。当滑块没有受到外载荷时，此时向量Bi,jAi,j在总坐标系中为 (10)

式中，曲率半径rc=fDb，f为导轨滚道的适应度。 滑块滚道中点Ai,j在总坐标系下的坐标向量OAi,j为 OAi,j=OBi,j+Bi,jAi,j= (11)

当滑台受到外载荷的作用，向量OAi,j发生5种位移，变成向量即 (12)

式中，T为空间旋转变换矩阵[10]: (13)

由于滑台的刚度较大，受载变形量都很小，可做如下近似等价： sin θx=θx， sin θy=θy， sin θz=θz， cos θx=1， cos θy=1， cos θz=1。 此时，式(12)可以简化为

(14) (15)

则Ai,j沿x轴位移ui,j、沿y轴位移vi,j为 (16)

将ui,j、vi,j代入式(6)就可得到滑块滚道的整体法向线位移δni,j，再将滑块滚道的整体法向线位移δni,j和整体法向角位移θni,j代入式(7)或式(8)，就可求出每个滚珠处滑块滚道的法向线位移δni,j,k。

每个滚珠的接触变形量Δi,j,k由该滚珠处的滑块滚道的法向线位移δni,j,k和滚珠的预压变形量δ0两部分组成，则每个滚珠的接触变形量为Δi,j,k=δni,j,k +δ0。以Nb为偶数为例，当已知Δi,j,k则可根据式(17)算出每个滚珠与滑块滚道的接触点在总坐标系下的各坐标值。 (17)

1.3.3 接触力和接触力矩计算 通常滚道和滚珠的材料相同，滚珠的变形量δ由滚珠与滑块滚道之间的接触变形和滚珠与导轨滚道之间的接触变形这两部分组成。由赫兹接触理论可知，滚珠的接触力Q与弹性变形δ之间的关系为 (18)

其中： 为与滑块滚道上的弹性变形区椭圆偏心率有关的系数，可查表确 为与导轨滚道上的弹性变形区椭圆偏心率有关的系数；v1为滚珠和滑块滚道的泊松比，v2为滚珠和导轨滚道的泊松比；E1为滚珠和滑块滚道的综合弹性模量；E2为滚珠和

导轨滚道的综合弹性模量；∑ρ1为滚珠和导轨滚道的接触表面在接触点处的综合曲率；∑ρ2为滚珠和滑块滚道的接触表面在接触点处的综合曲率。 滚珠的最大接触应力计算公式为 (19)

其中：a、b分别为椭圆接触区域的长半轴与短半轴。

基于赫兹接触公式和每个滚珠的接触变形量Δi,j,k就可得出第i号滑块中第j列滚珠中编号为k的滚珠在各个方向上的接触力和接触力矩，如式(20)所示。 (20)

1.4 滑台空间位置精度的计算模型

由式(5)和式(20)可得到直线电机滑台机构的整体静力平衡方程组： (21)

从方程组中可以看出，此方程组的解由多个物理量决定，除了滑台和滑块的结构参数以外，还受到其他参数的影响，如滑台的质量m和质心位置xm、zm，工件的质量M和安装位置xM、zM，电枢的安装高度yF、滑台加速度a及滚珠预压变形量δ0的影响。

通过求解该方程组就可得到在外载荷作用下直线电机滑台机构在5个自由度上的位移U、V、θx、θy和θz。本文以滑台上表面的中点位置O1代表滑台的空间位置，将O1的坐标代入式(22)就可得到直线电机滑台的空间位置在x,y,z这3个方向上的位移。

(22) 2 算例研究

本文所使用的直线电机滑台是日本THK公司生产的型号为SHS15R的单圆弧导轨滑块，其参数及滑台结构参数见表4。滑台的理想空间位置O1在总坐标系下的坐标为

表4 SHS15R滑块参数及直线电机滑台结构参数Table 4 Parameters of slider of SHS15R and linear-motor rolling-guide

stageδ0/μmDb/mmfNblb/mmα/(°)sx/mmsy/mmm/kgl0/mml1/mm22.30.6261144512.52.721.1160235

2.1 滑台的质量和质心位置对滑台的空间位置精度的影响

由于滑台结构比较扁平，本文认为滑台的质心高度ym不变，滑台的质心位置只在质心高度所在的水平面上发生偏移。通过改变滑台质心位置xm、zm研究其对滑台的空间位置的影响。通过改变滑台的质量m研究其对滑台的空间位置的影响。 具体工况如下：当滑台的质量m为时，xm沿x轴正向从0增大到得到滑台空间位置在x,y,z这3个方向上的位移随xm的变化曲线，如图5(a)所示；当滑台的质量m为时， zm沿z轴正向从0增大到得到滑台空间位置在x,y,z这3个方向上的位移随zm的变化曲线，如图5(b)所示; 当滑台质心坐标时，滑台的质量从0增加到60 kg，得到滑台的空间位置在x,y,z这3个方向上的位移随m的变化曲线，如图6所示。

由图5(a)可以发现，当zm一定时，随着xm的增大，滑台的空间位置主要向x轴正向移动且移动量与xm成线性比例关系；滑台由于自身的重力，y轴上一开始就出现正向移动量，并且随xm的增大y轴正向移动量略有增大；z轴方向移动量不随xm的增大而变化。由图5(b)可以发现，当xm一定时，随着zm的增大，滑台的空间位置主要向z轴正向移动且移动量与zm成比例；滑台由于自身的重力，y

轴上一开始就出现正向移动量，并随着zm的增大，y轴正向移动量略有增大；x轴方向移动量不随zm的增大而变化。

由图6可以看出，当滑台质量偏心位置一定时，随着滑台质量的增大，滑台在空间x,y,z这3个方向上都发生线性移动。

2.2 工件的质量和安装位置对滑台空间位置精度 的影响

假设滑台本身质量不偏心，滑台加速度a=0，此时将一个质量M为60 kg的工件置于滑台上表面并且工件的质心高度yM一定，通过改变工件安装的位置即工件的质心坐标xM、zM研究其对滑台空间位置的影响。当工件质心坐标时，xM沿x轴正向从0增大到 得到滑台位置随xM的变化曲线，如图7(a)所示；当工件质心坐标时，zM沿z轴正向从0增大到得到滑台位置随zM的变化曲线，如图7(b)所示。固定工件安装位置为此时工件质量M从0增加到400 kg，得到滑台的空间位置在x,y,z这3个方向上的位移随M的变化曲线，见图8。

图5 滑台质心位置对滑台的空间位置精度的影响Fig.5 Effects of barycenter position of stage on space position accuracy of stage

图7 工件安装位置对滑台空间位置精度的影响Fig.7 Effects of installation position of workpiece on space position accuracy of stage

图6 滑台质量对滑台的空间位置精度的影响Fig.6 Effects of mass of stage on space position accuracy of stage

从图7可以看出，其反映的工件安装位置对滑台的空间位置的影响规律与图5类似，即工件安装位置xM、zM越大，滑台也随之在x轴方向和z轴方向上发生线性移动。从图8可以看出，当工件安装位置一定时，滑台在x,y,z这3个方向上的位移与滑台质量的关系在工件质量不大时可看成是呈线性比例关系，但随着工件质量的增加到较大值时，两者呈现出非线性特点，这与直线滑台刚度的非线性特点相符合。

图8 工件质量对滑台的空间位置精度的影响Fig.8 Effects of mass of workpiece on space position accuracy of stage

图9 不同电枢安装高度下滑台加速度对滑台空间位置精度的影响图9 Effects of acceleration on the space position accuracy of stage with different installation heights of armature

2.3 不同的电枢安装高度下，滑台加速度对滑台空间位置精度的影响

电枢的安装高度yF决定了驱动力施加的位置，造成驱动力除了产生一个z轴上的力，还会产生一个使得滑台俯仰的力矩。驱动力可近似等于滑台的惯性力。令电枢安装高度yF分别为yF=ym，yF=0，yF=-ym，滑台的加速度a从0增加到30 m/s2，得到滑台位置随加速度的变化曲线1、曲线2、曲线3。滑台空间位置随加速度变化如图9(a)所示(此时滑台只在y-z平面内运动)，图9(b)、9(c)分别示出了其y轴、z轴方向上的位移与加速度的关系曲线。

由图9(a)可以看出，当电枢安装高度与滑台质心一致时，此时不管加速度如何变化，滑台位置保持不变，两者相距越远时，则在相同加速度下，滑台向y轴正向、z轴负向移动越多，且z轴上的移动量要远远大于y轴上的移动量。从图9(b)可以看出，滑台的y轴方向位移随加速度的增大而略有增大。从图9(c)可以看出，滑台z方向位移与加速度成正比例线性关系，且电枢安装高度与滑台质心相距越远，比例系数越大。

2.4 滚珠的预压变形对滑台的空间位置精度的 影响

当滚珠的预压变形量δ0分别为-2、0、2、4、6、8 μm时，在滑台工作平面的中心O1处沿y轴正向作用一个大小为600 N的载荷，此时滑台也随之沿y轴方向移动。滑台位移量与δ0的关系和滚珠的最大接触应力δmax与δ0的关系分别如图10、图11所示。

图10 δ0对滑台空间位置精度的影响图10 Effects of δ0 on the space position

accuracy of stage

图11 δ0对滚珠最大接触应力σmax的影响Fig.11 Effects of δ0 on maximum contact stress δmax

从图10和图11可以看出，当滑块中滚珠的δ0为负即存在径向游隙时，滑台位移量增大，其空间位置精度降低。当δ0为正且越来越大时，滑台的位移量越小，空间位置精度越高，但滚珠的最大接触应力也随之增加，寿命降低。 3 结 论

(1) 通过分析直线电机滑台机构在外载荷作用下除了运动方向外其他5个自由度上的位移同滚珠的变形关系，基于赫兹接触公式，得到每个滚珠的接触力和接触力矩，从而建立了滑台的整体静力平衡方程组，得到了滑台的空间位置精度的计算模型。 (2) 通过滑台空间位置精度的计算模型分析了滑台质量和质心位置，工件质量和安装位置、电枢安装高度、滑台加速度以及滚珠预压变形对滑台空间位置精度的影响规律：①当工件质量不大时，工件质量和安装位置对滑台空间位置的影响规律与滑台质量和质心位置对其的影响规律相同，即滑台随着工件安装位置或滑台质心位置的偏移在偏移的方向上线性移动，随着工件或滑台质量的增大在空间3个方向上线性移动；②当工件质量较大时，滑台的空间位置变化随着工件质量的增加呈现出非线性特点；③当电枢安装高度与滑台质心高度不一致且滑台加速时，滑台在加速的反方向上发生与加速度成比例的线性移动，且两者相距越远比例系数越大；④增大滚珠的预压变形可提高滑台的空间位置精度，但也会增大滚珠的最大接触应力。这些影响规律可以为今后直线电机滑台电枢的布置、滚珠的预紧、工件的安装等提供一定的依据。 参考文献：

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