上海市2020年初中毕业统一学业考试数学试题(含解析)

一．选择题（共6小题） 1．下列二次根式中，与A．

+

是同类二次根式的是（ ） B．

＝2时，若设B．y2+2y+1＝0

C．

D．

2．用换元法解方程A．y2﹣2y+1＝0

＝y，则原方程可化为关于y的方程是（ ） C．y2+y+2＝0

D．y2+y﹣2＝0

3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ） A．条形图 C．折线图

B．扇形图 D．频数分布直方图

4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A．y＝

B．y＝﹣

C．y＝

D．y＝﹣

5．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ） A．平行四边形

B．等腰梯形

C．正六边形

D．圆

二．填空题（共12小题） 7．计算：2a•3ab＝ ． 8．已知f（x）＝

，那么f（3）的值是 ．

9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）

10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ． 11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数

恰好是5的倍数的概率是 ．

12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为 米．

15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设量、表示为 ．

＝，

＝，那么向量

用向

16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．

17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为 ．

18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ． 三．解答题（共7小题） 19．计算：27+

﹣（）2+|3﹣

﹣

|．

20．解不等式组：

．

21．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3（1）求梯形ABCD的面积； （2）联结BD，求∠DBC的正切值．

22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH；

（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A． （1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝表达式；

（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

，求这条抛物线的

25．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

2020年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题） 1．下列二次根式中，与A．

是同类二次根式的是（ ） B．

C．

D．

【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【解答】解：A.B.C.D.故选：C． 2．用换元法解方程A．y2﹣2y+1＝0

+

＝2时，若设B．y2+2y+1＝0

＝y，则原方程可化为关于y的方程是（ ） C．y2+y+2＝0

D．y2+y﹣2＝0

，与

与

的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

不是同类二次根式； ，与，与

被开方数相同，故是同类二次根式； 被开方数不同，故不是同类二次根式．

【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解． 【解答】解：把故选：A．

＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为

＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．

3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ） A．条形图 C．折线图

【分析】根据统计图的特点判定即可．

【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B．

4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A．y＝

B．y＝﹣

C．y＝

D．y＝﹣

B．扇形图 D．频数分布直方图

【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为y＝， 将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝， 解得k＝﹣8，

所以这个反比例函数解析式为y＝﹣， 故选：D．

5．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误； B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误； C、正确；

D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误； 故选：C．

6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ） A．平行四边形

B．等腰梯形

C．正六边形

D．圆

【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．

【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，

∴平行四边形ABCD是平移重合图形， 故选：A．

二．填空题（共12小题） 7．计算：2a•3ab＝ 6a2b ．

【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【解答】解：2a•3ab＝6a2b． 故答案为：6a2b． 8．已知f（x）＝

，那么f（3）的值是 1 ．

，可以求得f（3）的值，本题得以解决． ，

【分析】根据f（x）＝【解答】解：∵f（x）＝∴f（3）＝故答案为：1．

＝1，

9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”） 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．

【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，

故答案为：减小．

10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 4 ．

【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值． 【解答】解：依题意，

∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4， 故答案为：4．

11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是

．

【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是

5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，

∴取到的数恰好是5的倍数的概率是故答案为：．

12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 y＝x2+3 ． 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．

【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3． 故答案为：y＝x2+3．

13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【解答】解：8400×

＝3150（名）．

＝．

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名． 故答案为：3150名．

14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为 7 米．

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BD∥AC， ∴△ACE∽△DBE， ∴

，

∴＝，

∴AC＝7（米）， 答：井深AC为7米．

15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设量、表示为 2+ ．

＝，

＝，那么向量

用向

【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∴∵∴∵∴

＝＝＝＝

＝， +

＝+，

＝+， +

，

＝++＝2+，

故答案为：2+．

16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．

【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，

求出t＝15时s的值，从而得出答案． 【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b， 将（8，960）、（20，1800）代入，得：

，

解得：

，

∴s＝70t+400； 当t＝15时，s＝1450， 1800﹣1450＝350，

∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350．

17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为

．

【分析】如图，过点E作EH⊥BC于H．首先证明△ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．

【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．

∵BC＝7，CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝4， ∵AB＝4＝BD，∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴ADB＝60°，

∴∠ADC＝∠ADE＝120°， ∴∠EDH＝60°， ∵EH⊥BC， ∴∠EHD＝90°， ∵DE＝DC＝3， ∴EH＝DE•sin60°＝∴E到直线BD的距离为故答案为

．

， ，

18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是

＜AO＜

．

【分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，

如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD， ∴OE∥CD， ∴△AOE∽△ACD， ∴∴

， ＝，

，

∴AO＝

如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC， ∴OF∥AB， ∴△COF∽△CAB， ∴

＝

，

∴＝，

， ，

＜AO

∴OC＝∴AO＝

∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜

，

＜AO＜

．

故答案为：

三．解答题（共7小题） 19．计算：27+

﹣（）2+|3﹣

﹣

|．

【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．

【解答】解：原式＝（33）+＝3+＝

﹣﹣4+3﹣．

﹣4+3﹣

20．解不等式组：

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．

【解答】解：解不等式①得x＞2， 解不等式②得x＜5．

，

故原不等式组的解集是2＜x＜5．

21．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3（1）求梯形ABCD的面积； （2）联结BD，求∠DBC的正切值．

．

【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝×6＝39；

（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到BD＝论．

【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E， ∵AB∥DC，∠DAB＝90°， ∴∠D＝90°，

∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AD＝CE，AE＝CD＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝3， ∵BC＝3∴CE＝

，

＝6， ＝

＝10，BH＝

＝

，根据勾股定理得到

＝6，于是得到结

＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）

∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；

（2）过C作CH⊥BD于H， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵∠CHD＝∠A＝90°， ∴△CDH∽△DBA， ∴∵BD＝∴

＝

， ，

＝

＝10，

∴CH＝3， ∴BH＝

＝

＝＝．

＝6，

∴∠DBC的正切值＝

22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；

（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意，得：350（1+x）2＝504，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．

23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH；

（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

【分析】（1）想办法证明∠BCE＝∠H即可解决问题．

（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB， ∵DF＝BE，

∴△CDF≌CBE（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCE， ∵CD∥BH， ∴∠H＝∠DCF， ∴∠BCE＝∠H， ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH．

（2）证明：∵BE2＝AB•AE， ∴

＝

，

∵AG∥BC， ∴

＝

，

∴＝，

∵DF＝BE，BC＝AB， ∴BE＝AG＝DF， 即AG＝DF．

24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A． （1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝表达式；

（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

，求这条抛物线的

【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，﹣m+5），则BC＝入抛物线解析式中，即可得出结论；

（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论． 【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5， 令x＝0，y＝5， ∴B（0，5），

令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝10， ∴A（10，0）， ∴AB＝

＝5

；

|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代

（2）设点C（m，﹣m+5）， ∵B（0，5）， ∴BC＝∵BC＝∴

， ，

＝

|m|，

|m|＝

∴m＝±2，

∵点C在线段AB上， ∴m＝2， ∴C（2，4），

将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得

，

∴，

∴抛物线y＝﹣x2+x；

（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0， ∴b＝﹣10a，

∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），

将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝， ∵顶点D位于△AOB内， ∴0＜﹣25a＜， ∴﹣

＜a＜0；

25．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．

（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则

＝

＝，推出

＝

＝，

设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC， ∴

＝

，

∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAO， ∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DBC＝2∠ABD，

∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴8∠ABD＝180°， ∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．

②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD， ∴∠C＝4∠ABD，

∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°， ∴10∠ABD＝180°， ∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．

③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则∴

＝＝

＝，

＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，

∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2， ∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2， ∴a2＝∴BH＝

， ，

．

∴BC＝2BH＝