【奥赛】小学数学竞赛：完全平方数及应用(一).学生版解题技巧 培优 易错 难

5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标

1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。

知识点拨

一、完全平方数常用性质 1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因

数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n1|N，则

p2n|N．

性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个

位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，，84，25，09，29，49，69，，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：a2b2(ab)(ab)

例题精讲

模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：12345676321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

【例 2】 12345676321(1234567654321)是 的平方．

【例 3】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。

【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

【例 5】 A是由2002个“4”组成的多位数，即444142L434，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；

2002个4如果不是，请说明理由．

L34，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如【巩固】 A是由2008个“4”组成的多位数，即44122008个4果不是，请说明理由．

【例 6】 计算111A，求A． 12L31－222142L432=A×

2004个11002个2

2【例 7】 ①444142L434888142L43A，求A为多少?

2004个42003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征

【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456，这个算式的得数

能否是某个数的平方？

【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位

数共有________个．

【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方

数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．

【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全

平方数，N= 。

（2） 奇数个约数——指数是偶数

【例 12】 在224，339，4416，5525，6636，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……

叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【例 14】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【巩固】 已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。

【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【例 16】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。

【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最

小值为 ．

【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所

有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？

【例 20】 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一

个完全平方数，划去的那个数是 ．

【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

11【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的是一个立方数，它的是一个平方数，则这个数最小

23是 ．

（3） 平方数的整除特性

【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有

的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？

【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例 25】 记S(123Ln)(4k3)，这里n3．当k在1至100之间取正整数值时，有 个不

同的k，使得S是一个正整数的平方．

【例 26】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，

请举出一例；若不能够，请说明理由．

【例 27】 135L1991的末三位数是多少？

【例 28】 求所有的质数P，使得4p21与6p21也是质数．

【例 29】 古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他

们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____文钱。

【例 30】

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