2020-2021学年广西南宁市中考数学第一次模拟试题及答案解析

广西南宁市最新中考数学一模试卷（含解析）

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．﹣3的倒数是（ ） A．﹣3

B．3

C．

D．﹣

【分析】根据乘积为的1两个数互为倒数，可得到一个数的倒数． 【解答】解：﹣3的倒数是﹣，

故选：D． 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．

2．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．从几何体上面看，是左边2个，右边1个正方形． 【解答】解：从几何体上面看，是左边2个，右边1个正方形． 故选：D．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 3．下列运算正确的是（ ） A．xx=x

2

2

B．=x

36

D．x+x=x

224

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，同底数幂的乘法，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、xx=x同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；

2

22

2

3

B、（xy）=xy，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误； C、（x）=x，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确；

2

3

6

&知识就是力量&

D、x+x=2x，故本选项错误．

222

故选C．

【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题，难度适中．

4．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：19，20，25，22，25，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（ ） A．25，25 B．25，22 C．20，22 D．22，24 【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数，即可得出答案． 【解答】解：25出现了2次，出现的次数最多， 则众数是25；

把这组数据从小到大排列19，20，22，25，25，26，27，最中间的数是25， 则中位数是25． 故选：A．

【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 5．如图所示，△ABC中，DE∥BC，若

=，则下列结论中错误的是（ ）

A． = B． =

C． = D． =

【分析】根据平行线的性质以及相似三角形的性质即可作出判断． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴∵

=

=

，

=

=，故A正确，

=，

&知识就是力量&

∴===，

=， =，故B、D正确．

故选C．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，属于中考常考题型． 6．已知一元二次方程x﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（ ） A．2 B．3 C．4 【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4． 故选C．

2

D．8

【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

7．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式列方程即可求解． 【解答】解：多边形的内角和是：2×360°=720°． 设多边形的边数是n，则（n﹣2）180°=720°， 解得：n=6． 故选：A． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．

8．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=72°，则∠B的度数为（ ）

2

&知识就是力量&

A．36° B．68° C．22° D．16°

【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【解答】解：∵CD=CE， ∴∠D=∠DEC， ∵∠D=72°， ∴∠C=180°﹣72°×2=36°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠C=36°． 故选：A．

【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 9．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ） A．6π B．8π C．12π D．16π

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【解答】解：此圆锥的侧面积=42π2=8π．

故选：B．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10．已知⊙O的面积为3π，则其内接正三角形的面积为（ ） A．9 B． C． D．

【分析】如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，作AD⊥BC于D，则BD=CD，根据垂径定理的推论可得圆心O在AD上，连接OB，如图，利用圆的面积公式计算出圆的半径为

，根

据等边三角形的性质可判断点O为等边△ABC的外心和内心，则∠OBD=∠ABD=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OD=OB=面积公式求解．

【解答】解：如图，△ABC为⊙O的内接正三角形， 作AD⊥BC于D，则BD=CD， ∴圆心O在AD上， 连接OB，如图，设⊙O的半径为r， ∵⊙O的面积为3π， ∴πr=3π，解得r=

2

，BD=

OD=，然后根据三角形

，

∵点O为等边△ABC的外心， ∴点O为等边△ABC的内心，

&知识就是力量&

∴∠OBD=∠ABD=30°， 在Rt△OBD中，OD=OB=BD=

OD=，

，

∴BC=2BD=3，

∴S△ABC=ADBC=×（故选B．

+）×3=．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是等边三角形性质的灵活应用． 11．如图所示的抛物线是二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法错误的是（ ）

2

A．abc＞0 B．当x＜1时，y随x的增大而减小 C．a﹣b+c＞0 D．当y＞0时，x＜﹣2或x＞4

【分析】A、由抛物线的开口方向向上可以得到a＞0，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以推出c＜0，而对称轴为x=﹣

＞0可以推出b＜0，由此可以确定abc的符号，

B、根据二次函数的增减性，可得答案； C、根据自变量为（﹣1）时的函数值，可得答案； D、根据函数图象与x轴交点的横坐标，可得答案． 【解答】解：A、解：∵抛物线的开口方向向上， ∴a＞0， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0，

&知识就是力量&

∵对称轴为x=﹣＞0，

∴a、b异号，即b＜0， ∴abc＞0，故A正确； B、a＞0时，x＜1时，y随x的增大而减小，故B正确； C、由图象，得x=﹣1时，a﹣b+c＜0，故C错误； D、由对称性，得 图象与x轴的交点是x=﹣2，x=4， 当y＞0时，x＜﹣2或x＞4，故D正确； 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象，利用抛物线的开口方向向上可以得到a＞0，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以推出c＜0，而对称轴为x=﹣关键．

＞0可以推出b＜0是解题

12．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A．

B．

C．3

D．4

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD=BE，设A（x，），则B（2x，

），故CD=

，AD=﹣

，

，再由△ADO的面积为1求出y的值

即可得出结论．

【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点，

∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE． 设A（x，），则B（2x，∵△ADO的面积为1， ∴ADOC=1，（﹣故选：B．

），CD=

，AD=﹣

）x=1，解得k=，

&知识就是力量&

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y=图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解答此题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10 ．

﹣6

﹣n

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000025=2.5×10， 故答案为：2.5×10．

﹣6

﹣6

﹣n

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

14．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为 130° ．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【解答】解：∵∠1=40°， ∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°， ∴∠4=180°﹣50°=130°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠4=130°． 故答案为：130°．

&知识就是力量&

【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． 15．因式分解：ax﹣ay= a（x+y）（x﹣y） ．

2

2

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：ax﹣ay=a（x﹣y）=a（x+y）（x﹣y）．

2

2

2

2

故答案为：a（x+y）（x﹣y）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 16．要使式子有意义，则a的取值范围为 a≥﹣2且a≠0 ．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥﹣2且a≠0． 故答案为：a≥﹣2且a≠0．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

17．如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为6m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距离地面的高度），那么这棵树的高度为 2m．（结果保留根式）

【分析】构造直角△ACD，利用三角函数根据已知特殊角和已知长度来求解． 【解答】解：在直角△ACD中，∠CAD=30°，AD=6m， ∴CD=ADtan30°=6×∴CE=CD+DE=2

=2

，

+1.5（m）．

【点评】本题重在考查三角函数的应用．

&知识就是力量&

18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为

．

【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=4，CD=1，根据垂径定理可求得AC=BC=2，然后设OA=x，利用勾股定理可得方程：2+（x﹣1）=x，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案． 【解答】解：连接BE， ∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=2， ∴AC=BC=2， 设OA=x， ∵CD=1， ∴OC=x﹣1， 在Rt△AOC中，AC+OC=OA， ∴2+（x﹣1）=x， 解得：x=，

2

2

22

2

2

2

2

2

∴OA=OE=，OC=， ∴BE=2OC=3， ∵AE是直径， ∴∠B=90°， ∴CE=故答案为：

=．

=

．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

&知识就是力量&

三、解答题（共8小题，满分66分） 19．计算：2sin60°+2﹣2016﹣|﹣

﹣1

0

|

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=2×=﹣．

+﹣1﹣

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=+1．

【分析】先对括号里的减法运算进行通分，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为最简形式，再把a的值代入求解．

【解答】解：原式=

=

==a﹣1， 把a=

+1代入a﹣1=

．

【点评】此题考查分式的计算，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

&知识就是力量&

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；

（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示；

（3）△PAB如图所示，P（2，0）．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 22．为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～100；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图1和如图2所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：

&知识就是力量&

（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；

（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1600名学生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？

（3）如果第一组有两名女生和两名男生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．

【分析】（1）首先根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；则可求得第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；即可补全统计图； （2）由题意可求得130～145分所占比例，进而求出答案；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）； 则第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）； 如图：

（2）根据题意得：考试成绩评为“B”的学生大约有答：考试成绩评为“B”的学生大约有448名； （3）画树状图得：

×1600=448（名），

&知识就是力量&

∵共有16种等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的有8种情况， ∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为：

=．

【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识以及直方图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证： （1）△ADE≌△CDF； （2）四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定得出即可； （2）根据菱形的判定得出即可． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C， ∵在△AED和△CFD中

∴△AED≌△CFD（AAS）； （2）∵△AED≌△CFD， ∴AD=CD，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形．

&知识就是力量&

【点评】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A=∠C是解题关键．

24．在南宁市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和1台电子白板共需要2万元，购买2台电脑和1台电子白板共需要2.5万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过32万元，但不低于30万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低． 【分析】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和1台电子白板需要2万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；

（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过32万元，但不低于30万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案． 【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：

，

解得，

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据题意得：

，

解得：13≤a≤15， ∵a只能取整数， ∴a=13，14，15， ∴有三种购买方案，

方案1：需购进电脑13台，则购进电子白板17台， 方案2：需购进电脑14台，则购进电子白板16台， 方案3：需购进电脑15台，则购进电子白板15台， 方案1：13×0.5+1.5×17=32（万元）， 方案2：14×0.5+1.5×16=31（万元），

&知识就是力量&

方案3：15×0.5+1.5×15=30（万元）， ∵30＜31＜32， ∴选择方案3最省钱，即购买电脑15台，电子白板15台最省钱．

【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数．

25．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于M，弦MN∥AC且MN交BC于点E，ME=1，BM=2，BE=

．

（1）求证AC是⊙O的切线； （2）求弧NC的长度．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明∠BEM=90°，根据平行线的性质得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理证明； （2）根据正弦的定义和垂径定理求出∠CON=60°，利用弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵ME=1，BM=2，BE=∴ME+BE=1+3=4，BM=4， ∴ME+BE=BM，

2

2

2

2

2

2

，

∴∠BEM=90°，又MN∥AC， ∴∠ACB=∠BEM=90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）连接ON，

∵∠BEM=90°，ME=1，BM=2， ∴∠B=30°，

=

，NE=ME=1，

，

∴∠CON=60°， ON=

=

故弧NC的长度为： =．

&知识就是力量&

【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理、弧长的计算、勾股定理的逆定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、弧长公式：l=数为n，圆的半径为R）是解题的关键．

2

（弧长为l，圆心角度

26．如图，已知抛物线y=ax﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线BC的解析式；

（3）若点N是抛物线上的动点，且点N在第四象限内，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件点N的坐标；若不能，请说明理由．

2

【分析】（1）把点A（1，0）在抛物线y=ax﹣5ax+2上，解方程即可得到结论；

2

（2）把x=0代入y=x﹣5ax+2，求得C（0，2），根据抛物线的对称轴为直线x=，得到B（4，0），求出直线BC的解析式y=﹣x+2；

（3）设N（x， x﹣x+2），根据相似三角形的性质得到

2

2

，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax﹣5ax+2上， ∴a﹣5a+2=0，∴a=，

∴抛物线的解析式为：y=x﹣5ax+2；

2

&知识就是力量&

（2）把x=0代入y=x﹣5ax+2， 解得：y=2， ∴C（0，2），

2

∵抛物线的对称轴为直线x=， ∴B（4，0），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

∴，

解得：k=﹣，b=2，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；

2

（3）设N（x， x﹣x+2）， 当△OBC∽△HBN时，如图， ∴

，

即=，

解得：x1=2，x2=4（不合题意舍去）