专题-数列(学生)

专题-数 列

抓住5个高考重点

重点1 数列的概念与通项公式 1.数列的定义

n1S1,,an1Sn1Sn 2.通项an与前n项和Sn的关系：Sna1a2...an,anSS,n2n1n3.数列的一般性质：（1）单调性；（2）周期性-若ankan(n,kN*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 4.数列通项公式的求法：观察、归纳与猜想

[高考常考角度]

角度1 已知数列{an}满足a4n31,a4n10,a2nan,nN*，则a2009____,a2014____,

角度2 已知数列{an}的前n项和为Snn29n,第k项满足5ak8,则k（ ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

重点2等差数列及其前n项和

1.等差数列的通项公式：ana1(n1)d,anam(nm)d,(mN*,mn) 2.等差数列的前n项和公式：Snn(a1an)1na1n(n1)dan2bn，a,b为常数 223.等差数列的性质与应用：pqstapaqasat,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n,...也成等差数列 4.等差数列前n项和的最值：（1）若d0，数列的前几项为负数，则所有负数项或零项之和为最小；

（2）若d0，数列的前几项为正数，则所有正数项或零项之和为最大；

（3）通过Snanbn用配方法或导数求解.

5等差数列的判定与证明：（1）利用定义an1and，（2）利用等差中项2an1anan2， （3）利用通项公式anpnq,p,q为常数，（4）利用前n项和Snanbn，a,b为常数

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[高考常考角度]

角度1在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8__________

角度2已知{an}为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN，则S10的

*值为（ ）

A．110 B．90 C．90 D．110

角度3设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时n等于（ ）

A．6

B．7 C．8 D．9 333*角度4已知数列an满足对任意的nN，都有an0，且a1a2ana1a2an．

2（1）求a1，a2的值；

（2）求数列an的通项公式an； （3）设数列{

11 }的前n项和为Sn，不等式Snloga1a对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

3anan2

角度5 （福建）已知等差数列{an}中，a11，a33．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk35，求k的值．

重点3 等比数列及其前n项和

1.等比数列的通项公式：ana1qn1,anamqnm,mN*,mn

q1na1,2.等比数列的前n项和公式：Sna1(1qn)

1q,q13.等比数列的性质与应用: pqstapaqasat,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n,...也成等比数列 4.等比数列的判定与证明：（1）利用定义

[高考常考角度]

角度1若等比数列{an}满足anan116n，则公比为（ ）

an12q,q为常数（2）利用等比中项an1anan2， anA. 2 B. 4 C. 8 D. 16

角度2在等比数列an中，若a1 .

角度3设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a11,Sn14an2

（Ⅰ）设bnan12an，证明数列{bn}是等比数列（Ⅱ）求数列{an}的通项公式。

1,a44,则公比q ； a1a2an . 2

角度4等比数列an中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一行 第二行 第三行

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前2n项和S2n.

重点4 数列的求和 1.数列求和的注意事项：（1）首项：从哪项开始相加；（2）有多少项求和；（3）通项的特征决定求和的方法 2.常见的求和技巧：（1）公式法，利用等差数列、等比数列的求和公式；

（2）倒序相加法； （3）错位相减法； （4）分组求和法； （5）裂项法； （6）并项法

[高考常考角度]

角度1若数列an的通项公式是an(1)n(3n2),则a1a2a10（ ）

第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 A. 15 B. 12 C.  D. 

角度2 已知数列1,12,122,...,122...2

22n1，求此数列的前n项和

角度3数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a13,b11， 数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264. （1）求an,bn； （2）求证

1113. S1S2Sn41220134x)f()...f()，则S________ ,若Sf(角度4 设f(x)x20142014201442

角度5 设数列{an}满足a13a23a33（1）求数列{an}的通项公式 （2）设bn

2n1ann,nN* 3n,求数列{bn}的前n项和Sn an

重点5 数列的综合应用

1.等差数列与等比数列的综合

2.数列的实际应用（贵州省所考的新课程全国Ⅱ卷基本上不考此类题，故未选入）

[高考常考角度]

角度1设1a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

角度2已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．

（Ⅰ）当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值；

（Ⅱ）当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk、ank、alk也成等差数列．

突破3个高考难点

难点1 数列的递推公式及应用

1.求an1panq（p,q为常数）型的通项公式 （1）当p1时，{an}为等差数列 （2）当p1时，{an}为等差数列

（3）当p0且p1,q0时，方法是累差法或待定系数法，具体做法是：

an1panqan1qqq}为等比数列 p(an)数列{anp1p1p12.求an1ban（ab0且a,b为常数）型的通项公式，具体做法是：“倒代换”

aanb

由an1aban1111a变形为，故{}是以为首项，为公差的等差数列，进而求解

ba1anaanban1anb3. 求an1panqn（p,q为常数）型的通项公式，具体做法是： 由an1panq

典例 根据下列条件，求数列{an}的通项公式an （1）a13,an12an1 （待定系数法）

（2）a11,an1

（3）a11,an1an2n （累差法、换元法、待定系数法）

（4）an1

（5）a13,an13an （换元法）

2nan1pan1anp1bbb，令，则，再行求解. nn1nqnqqqn1qqnq3an(nN*)（换元法）

2an3n1an,a14 （累积法） n

难点2 数列与不等式的交汇 典例设数列an满足a10且（Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）设bn111.

1an11an1an1n,记Snbk,证明：Sn1.

k1n

难点3 数列与函数、方程的交汇

典例1已知等比数列{an}的公比q3，前3项和S3（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x

规避4个易失分点

易失分点1 忽略anSnSn1成立的条件

典例 已知数列{an}满足a13，2anSnSn1(n2) （1）证明{

13。 36

处取得最大值，且最大值为a3，求f(x)的解析式。

1}是等差数列，并求出公差（2）求数列{an}的通项公式 Sn

易失分点2 数列求和中包含的项数不清

典例 设f(n)22427210...23n10,nN，则f(n)等于（ ）

A. (8n1) B. (8n11) C. (8n31) D. (8n41)

易失分点3 数列中的最值求解不当

典例 已知数列{an}满足a133,an1an2n,则

27272727an的最小值为___________ n

易失分点4 使用错位相减法求和时对项数处理不当

典例 数列{an}是等差数列，a1f(x1),a20,a3f(x1),其中f(x)x24x2，数列{an}前n项和存在最小值.

（1）求通项公式an;（2）若bn(2)n，求数列{anbn}的前n项和Sn

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