高三数学压轴小题训练(十)

高三数学小题冲刺训练（十）

姓名：_______________班级：_______________考号：_______________

一、填空题（共 16 小题，每小题 5 分，共计 80 分）

1

1．集合{x|－1≤log110<－ ，x∈N *}的真子集的个数是 ．

2

x

_

2．复平面上，非零复数 z1，z2 在以 i 为圆心，1 为半径的圆上，z1· z2 的实部为零，z1 的辐

π

角主值为，则z2=_______．

6

3.曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ，点 A 的极坐标是(2,0)，曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．

4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面

体，并且该六面体的最短棱的长为 2，则最远的两顶点间的距离是________．

5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种

颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如

果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、

右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同． )

6.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点) 的个数为________．

7.. 若 tan   2 ,则 4sin 2   3sin  cos   5cos 2  = 8. 在复数集 C 内,方程 2 x2  (5  i) x  6  0 的解为

9. 设 x  (15  220)19  (15  220)82 ，求数 x 的个位数字.

.

.

10. 设 A  {n |100  n  600, n  N } ，则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数 为______________.

11. 设 P 是抛物线 y 2  4 y  4 x  0 上的动点,点 A 的坐标为 (0, 1) ,点 M 在直线 PA 上,



且分 PA 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是

.

12. AB 为 y  1  x2上在 y 轴两侧的点，过 AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值为________ 13. AB 为边长为1 的正五边形边上的点．则 AB 最长为___________

14.正四棱锥 S-ABCD 中，侧棱与底面所成的角为α ，侧面与底面所成的角为β ，侧面等腰 三角形的底角为γ ，相邻两侧面所成的二面角为θ ，则α 、β 、γ 、θ 的大小关系是_________

15.在数 1 和 2 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的 乘积记为 An，令 an=log2An，n∈N．

（1）数列{An}的前 n 项和 Sn 为_________________

（2）Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2=_____________________ 16.已知数列 A：a1，a2，…，an（n≥3），令 TA={x|x=ai+aj.1≤i＜j≤n}，car（TA）表示 集合 TA 中元索的个数．

①若 A：2，4，8，16，则 card（TA）=______； ②若 ai+1-ai=c（c 为非零常数．1≤i≤n-1），则 card（TA）=______． 参

1

解由已知，得1.有 290-1 个．

π 3 1 _ π π 2.解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，z1=cos(－)+isin(－)． 6 2 266

_ π π

设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．z1·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其实 66

π π 2π 3 3 部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．

62 3 2 2

3. 解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可． 设 P(1+cosθ，θ)，

P

O 1 x

则|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5

1 216 16 16 16

2=－3(cosθ+ + 3 ≤ 3 ．且显然|AP| 能取遍[0， 3 ]内的一切值，故所求面积= 3 π．

3) 4. 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为 2a，侧棱为 b．

取 CD 中点 G，则 AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE 是二面角 A—CD—E 的 平面角．由 BD⊥AC，作平面 BDF⊥棱 AC 交 AC 于 F，则∠BFD 为二面

角 B—AC—D 的平面角．

2－a2 2a bAG=EG= b2－a2，BF=DF= b ，AE=2

B

b b b F

A

b2－(

2

2 3a)3

2a

D

C

a G

=2

a2AG2－AE2 2BF2－BD2

由 cos∠AGE=cos∠BFD，得 = ．

2AG2 2BF2

42b3

E

4 3 4a2b2 24

2∴ －22= 2 9b=16a， b= a，从而 b=2，2a=3． 223b－a 4a(b－a) 2

4(b2

a2

)

AE=2．即最远的两个顶点距离为 3．

5. 解：至少 3 种颜色：

6 种颜色全用：上面固定用某色，下面可有 5 种选择，其余 4 面有(4－1)!=6 种方法，共计 30 种方法；

用 5 种颜色：上下用同色：6 种方法，选 4 色：C45(4－1)! =30；6×30÷2=90 种方法；．

2 24= 90种方法．用 4 种颜色：C6C

3= 20种方法．用 3 种颜色：C6

∴共有 230 种方法．

6. 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求 x2+y2=1992 的整数解数． 显然 x、y 一奇一偶，设 x=2m，y=2n－1．且 1≤m，n≤99．

则得 4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4)

0，(当n0，1(mod 4)时)

由于 m 为正整数，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡ 2，(当n2，3(mod4)时)



二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这 4 解．

∴ 共有 4 个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．

7. 由 tan   2 ,得 sin   2cos  ,有 sin 2   4cos 2  ,即1  cos2   4cos 2  .

1

则 cos 2  ,原式=16cos 2   6cos 2   5cos 2   5cos 2   1 .

5

8. 设 x  a  bi , a, b  R ,代入原方程整理得 (2a2  2b2  5a  6  b)  (4ab  a  5b)i  0

3  a  2a2  2b2  5a  6  b  0 a  1  2 3 3

有  ,解得  b1或  ,所以 x  1  i 或 x   i . 3 b   2 2 4ab  a  5b  0

 2

9. 直接求 x 的个位数字很困难，需将与 x 相关数联系，转化成研究其相关数.

【解】令 y  (15  220)19  (15  220)82 , 则x  y  [(15  220)19  (15  220)82 ]

 [(15  220)19  (15  220)82 ] ，由二项式定理知，对任意正整数 n.

(15  220) n  (15  220) n  2(15n  C 2 15n2  220 

n

) 为整数，且个

位数字为零.

因此， x  y 是个位数字为零的整数.再对 y 估值，

5因为 0  15  220  5  0.2 ， 且 (15  220)88  (15  220)19 ，

15  220 25

所以 0  y  2(15  220)19  2  0.219  0.4.

故 x 的个位数字为 9.

【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题 . 10. 解：被 7 除余 2 的数可写为 7k  2 . 由100 ≤ 7k  2 ≤ 600 .知14 ≤ k ≤ 85 .

57n  2 n  2

又若某个 k 使 7k  2 能被 57 整除，则可设 7k  2 =57n. 即 k   8n  .

7 7

即 n  2 应为 7 的倍数. 设 n  7m  2 代入，得 k  57 m  16 . ∴14  57 m  16  85 . ∴ m=0,1.于是所求的个数为 70 ．

11. 设点 P ( x , y ) ,M ( x, y) ,有 x  0 , y 

0 0 3

0

0

0

x20

y  2  (1)

0

3

,得 x  3x , y  3 y  2

0

0

而 y 2  4 y  4x  0 ,于是得点 M 的轨迹方程是 9 y 2  12x  4  0 .

【解析】12.不妨设过 A 点的切线交 x 轴于点 C ，过 B 点的切线交 x 轴于点 D ，直线 AC 与

直线 BD 相交于点 E ．如图．设 B( x , y ), A( x , y ) ， 且有 y  1  x 2 , y  1  x 2 , x  0  x ．

2 2 1 1 1 2

由于 y  2x ，

于是 AC 的方程为 2x x  2  y  y ；①

1

1

2

2

y

E A

②

1 1

 y

联立 AC , BD 的方程，解得 E ( y1 2 , 1  x x ) ．

1 2 2( x  x )

2 1

对于①，令 y  0 ，得 C ( 2  y 2 , 0) ；

2 x

2

BD 的方程为 2x x  2  y  y ．

2 2

B

C

D

O x

2  y1

, 0) ． 对于②，令 y  0 ，得 D(

2 x

2  y 2  y 1  x 2 1  x 2

于是 CD  1  2  1  2 ．

2 x 2 x 2 x 2 x 1 2 1 2

1

S

1 2 1 2 2

 b2 1 1 1 1  a2 11

(  )(1 ab)  (2a  2b    a2b  ab2 ) S  ECD 4 a b 4 a b 1 1 1 1

 (a  b)(2  ab  ) ≥  2 ab  (2  ab  ) ③ 4 ab 4 ab 不妨设 ab  s  0 ，则有 1 1 1 1 1 1 1 S

2 s 2  s 9 (s32s)(s3s..s...)

6 个 9 个

1 1 1 1 1 24 1 3 8

≥ 16  s3   s)6   9 ]16  8  ( )16  8   ) 2  3 ． ④

2 3 9s 3 3 9

3 3 3

又由当 x  a  b   时，③，④处的等号均可取到． , x , s 

1 2 3 3 3

8

∴ (S )

9

1 ，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．注记：不妨设 g (s)  1 (s3  2s  )

2 s

由 g (s)  1 (3s2  2  1 ) 知当 0  s2  1 时 g (s)  0 ；当 1  s2 时 g (s)  0 ．

2 s2 3 3

3 3 3

则 g (s) 在 (0 , ( ,  ) 上单调增．于是当 s  时 g (s) 取得最小值． ) 上单调减，在

3 3 3

13.以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系． ⑴当 A , B 中有一点位于 P 点时，知另一点位于 R 或者 R 时有最 P

1

大值为 PR ；当有一点位于 O 点时， AB1 2

max

P  PR ；

 O1

1

Q

R2 O R1

⑵当 A , B 均不在 y 轴上时，知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取 A 点关于 y

轴的对称点 A ，有 AB  AB ）．

P

不妨设 A 位于线段 OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是

2

B

Q

合理的），则使 AB 最大的 B 点必位于线段 PQ 上．

且当 B 从 P 向 Q 移动时， AB 先减小后增大，于是 AB

max

或 AQ ；  APR2 O

A

R1

对 于 线 段 PQ 上 任 意 一 点 B ， 都 有 BR ≥ BA ． 于 是

2

AB

max

 R P  R Q

2

2

由⑴，⑵知 AB max  R P ．不妨设为 x ．

2

E

下面研究正五边形对角线的长．

x-1 H

1

1

F

x

1

如右图．做 EFG 的角平分线 FH 交 EG 于 H ．



易知 EFH  HFG  GFI  IGF  FGH  ．

5 于是四边形 HGIF 为平行四边形．∴ HG  1．

G

1

I

EH 1  5

．解得 x  ． 由角平分线定理知    FG 1 x  1 HG 2

EF

x

1

14.α ＜β ＜γ ＜θ ． 15.