垂直的证明(附解析答案)

(难度1星)

1（2019·河南高二期末）设平面𝛼与平面𝛽相交于直线𝑚，直线𝑎在平面𝛼内，直线𝑏在平面𝛽内，且𝑏⊥𝑚则“𝛼⊥𝛽”是“𝑎⊥𝑏”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】

充分性证明:𝛼⊥𝛽， 𝑏⊥𝑚⇒𝑏⊥𝛼又直线𝑎在平面𝛼内，所以𝑎⊥𝑏;

若已知𝑎⊥𝑏, 直线𝑎,𝑚可能是平行的，因此平面𝛼与平面𝛽不垂直时也可以满足，如下图

B．必要不充分条件 D．即不充分不必要条件

所以“𝛼⊥𝛽”是“𝑎⊥𝑏”的充分不必要条件，故选A.

(难度1星)

2（2019·河北高考模拟）已知平面𝛼⊥平面𝛽，且𝛼∩𝛽=𝑙，要得到直线𝑚⊥平面𝛽，还需要补充以下的条件是（ ） A． 𝑚⊂𝛼 【答案】D 【解析】

选项A、B、C的条件都不能得到直线𝑚⊥平面𝛽. 而补充选项D后，可以得到直线𝑚⊥平面𝛽.

理由是：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. （需要注意两个点，其一需要在其中一个面内；其二垂直于两个面的交线） 故选D

(难度2星)

3（2019·湖北高考模拟）已知两个平面相互垂直，下列命题

B． 𝑚∥𝛼

C．𝑚⊥𝑙

D． 𝑚⊂ 𝛼且𝑚⊥𝑙

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A．3 【答案】C 【解析】

(1) 当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，故（1）错；

（2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂直于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，故（2）正确；

（3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，故（3）错；

（4）过一个平面内任意一点作交线的垂线, 只要当该直线在其中一个面内的时候才满足，如图，𝑎,𝑏分别在面𝛼,𝛽内，且都垂直于交线𝑙，因此有𝑎⊥𝛽,𝑏⊥𝛼，同时𝑚⊥面𝐴𝑂𝐵，故𝑚⊥𝐴𝐵，但显然𝐴𝐵（过𝐴点作直线𝐴𝐵垂直于𝑚）并不垂直于面 𝛽，

B．2

C．1

D．0

故（4）错.

(难度3星)

4（2019·云南高考模拟）已知直线𝑙⊥平面𝛼，直线𝑚∥平面𝛽，若𝛼⊥𝛽，则下列结论正确的是

A．𝑙∥𝛽或𝑙⊂𝛽 C． 𝑚⊥𝛼

B．𝑙∥𝑚 D．𝑙⊥𝑚

【答案】A 【解析】

对于A，直线𝑙⊥平面𝛼，𝛼⊥𝛽，如图，

则𝑙∥𝛽或𝑙⊂𝛽，A正确；

对于B，直线𝑙⊥平面𝛼，直线𝑚∥平面𝛽，且𝛼⊥𝛽，如图所示

则𝑙∥𝑚或𝑙与𝑚相交或𝑙与𝑚异面，∴B错误；

对于C，如上图，则𝑚⊥𝛼或𝑚与𝛼相交或𝑚⊂𝛼或𝑚∥𝛼，都是可能的，∴C错误； 对于D，同B选项分析，则𝑙∥𝑚或𝑙与𝑚相交或𝑙与𝑚异面，∴D错误． 故选A．

(难度3星)

5（2019新课标Ⅲ）如图，点𝑁为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，∆𝐸𝐶𝐷为正三角形，平面𝐸𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑀是线段𝐸𝐷的中点，则（ ）

A． 𝐵𝑀=𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是相交直线 B．𝐵𝑀≠𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是相交直线 C．𝐵𝑀=𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是异面直线 D．𝐵𝑀≠𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是异面直线 【答案】B 【解析】

如图所示，连接𝐵𝐷,𝑁为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心,所以𝐵,𝑁,𝐷在一条直线上,𝑀不在直线𝐵𝐷上,

所以𝐵𝑁𝐷𝑀课构成一个平面,所以直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是相交直线. 作𝐸𝑂⊥𝐶𝐷于𝑂，连接𝑂𝑁，过𝑀作𝑀𝐹⊥𝑂𝐷于𝐹．连𝐵𝐹， ∵平面𝐶𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．𝐸𝑂⊥𝐶𝐷,𝐸𝑂⊂平面𝐶𝐷𝐸， ∴𝐸𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，

∴𝛥𝑀𝐹𝐵与𝛥𝐸𝑂𝑁均为直角三角形．设正方形边长为2，可得 𝐸𝑂=√3, 𝑂𝑁=1,𝐸𝑁=√𝐸𝑂2+𝐸𝑁2= 2， 𝑀𝐹=2𝐸𝑂=

1

√3,𝐵𝐹2

=√𝐵𝐶2+𝐶𝐹2=2,∴𝐵𝑀=√𝐵𝐹2+𝑀𝐹2=√7．

5

∴𝐵𝑀≠𝐸𝑁，故选B．

(难度2星)

6（2018新课标Ⅲ）如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√2,𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐴𝐶=4，𝑂为𝐴𝐶的中点．证明：𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶；

【答案】详见解析 【解析】

因为𝐴𝑃=𝐶𝑃=𝐴𝐶=4，𝑂为𝐴𝐶的中点，所以𝑂𝑃⊥𝐴𝐶，且𝑂𝑃=2√3． 连接𝑂𝐵．因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=√𝐴𝐶，所以△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，

2

2

且𝑂𝐵⊥𝐴𝐶，𝑂𝐵=2𝐴𝐶 =2．

在△𝑃𝑂𝐵中，𝑂𝐵=2,𝑃𝑂=2√3,𝑃𝐵=4 由𝑂𝑃2+𝑂𝐵2=𝑃𝐵2知，𝑂𝑃⊥𝑂𝐵． 由𝑂𝑃⊥𝑂𝐵，𝑂𝑃⊥𝐴𝐶且𝐴𝐶,𝑂𝐵相交于O, 得𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶．得证.

1

(难度2星)

⏜所在平面垂直，𝑀是𝐶𝐷⏜上异于7（2018新课标Ⅲ）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷所在平面与半圆弧𝐶𝐷𝐶，𝐷的点．

证明：平面𝐴𝑀𝐷⊥平面𝐵𝑀𝐶；

【答案】证明见解析 【解析】

由题设知，平面𝐶𝑀𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，交线为𝐶𝐷．

因为𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐵𝐶⊥平面𝐶𝑀𝐷，故𝐵𝐶⊥𝐷𝑀． ⏜上异于𝐶，𝐷的点，且𝐷𝐶为直径，所以𝐷𝑀⊥𝐶𝑀． 因为𝑀为𝐶𝐷

又𝐵𝐶∩𝐶𝑀=𝐶，所以𝐷𝑀⊥平面𝐵𝑀𝐶． 而𝐷𝑀⊂平面𝐴𝑀𝐷， 故平面𝐴𝑀𝐷⊥平面𝐵𝑀𝐶．

(难度2星)

8（2019·江苏卷）如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶－𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐷，𝐸分别为𝐵𝐶，𝐴𝐶的中点，𝐴𝐵=𝐵𝐶．

求证：（1）𝐴1𝐵1∥平面𝐷𝐸𝐶1； （2）𝐵𝐸⊥𝐶1𝐸．

【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】

（1）因为𝐷，𝐸分别为𝐵𝐶，𝐴𝐶的中点，

所以𝐸𝐷∥𝐴𝐵.

在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵∥𝐴1𝐵1， 所以𝐴1𝐵1∥𝐸𝐷.

又因为𝐸𝐷⊂平面𝐷𝐸𝐶1，𝐴1𝐵1⊄平面𝐷𝐸𝐶1， 所以𝐴1𝐵1∥平面𝐷𝐸𝐶1.

（2）因为𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐸为𝐴𝐶的中点，所以𝐵𝐸⊥𝐴𝐶. 因为三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1是直棱柱，所以𝐶𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐶.

又因为𝐵𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以𝐶𝐶1⊥𝐵𝐸.

因为𝐶1𝐶⊂平面𝐴1𝐴𝐶𝐶1，𝐴𝐶⊂平面𝐴1𝐴𝐶𝐶1，𝐶1𝐶∩𝐴𝐶=𝐶， 所以𝐵𝐸⊥平面𝐴1𝐴𝐶𝐶1.

因为𝐶1𝐸⊂平面𝐴1𝐴𝐶𝐶1，所以𝐵𝐸⊥𝐶1𝐸.

(难度3星)

9（2018·北京卷）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝐸、𝐹分别为𝐴𝐷、𝑃𝐵的中点.

（Ⅲ）求证：𝑃𝐸⊥𝐵𝐶；

（Ⅲ）求证：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐶𝐷； 【答案】（Ⅲ）见解析；（Ⅲ）见解析； 【解析】

（Ⅲ）∵𝑃𝐴=𝑃𝐷，且𝐸为𝐴𝐷的中点，∴𝑃𝐸⊥𝐴𝐷. ∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，∴𝐵𝐶//𝐴𝐷，∴𝑃𝐸⊥𝐵𝐶； （Ⅲ）∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐷.

∵平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷， ∴𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷，又𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷，∴𝐴𝐵⊥𝑃𝐷.

又𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，𝑃𝐴∩𝐴𝐵=𝐴，𝑃𝐴、𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵，∴𝑃𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵， ∵𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐶𝐷，∴平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐶𝐷；