利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率

殷 璞

(西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070)

摘 要 空间曲线由一般方程由

Fx,y,z0,Gx,y,z0

给出时，本文给出了计算曲线曲率和挠率的公式.

关键词 曲率 挠率 曲线的一般方程

Determine the Curvature and Torsion of a Space Curve

by the General Equation

Yin Pu

(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University,

Lanzhou730070,Gansu)

Abstract : In this paper, give the general equation of a space curve

Fx,y,z0,Gx,y,z0,

we calculate the formulas of the curvature and torsion.

Key words: curvature; torsion; the general equation of a space curve

曲线的曲率描述的是曲线的切向量对于弧长的旋转速度,即曲线的弯曲程度;曲线的挠率其绝对值描述的是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度,即曲线的扭曲程度.计算曲线的曲率和挠率一般是利用曲线的自然(弧长)参数方程进行推导的,所以曲线的方程由一般方程给出时,首先要改写成参数方程,然后再计算曲线的曲率和挠率.但是有些方程不容易改写成自然参数方程,本文就从曲线的一般方程出发直接推导计算曲线的曲率和挠率的公式.

下面,设曲线C是两光滑曲面Fx,y,z0,Gx,y,z0的交线,且

FxGxFyGyFzGz

是满秩的.

一、计算曲线的曲率

设所求曲线为C:rsxs,ys,zs,其中s为弧长.则

Fxs,ys,zs0 Gxs,ys,zs0 . (1)

将方程(1)式中的两式对s求导,有

1

FxGxdxsFdysFdzs0dsydszdsdxsGdysGdzs0dsydszds (2)

记向量

FFFGGGF,,Gx,y,zxyz (3)  ,

则曲线C的单位切向量Ts的方向平行于FG的方向.在局部,选择弧长s的增加方向,使得单位切向量Ts的方向就是FG的方向,那么,有

FGTsFG (4)

又由(3)式知

FGFGFGFGFGFGyzzy,zxxz,xyyx. (5) FGFGFGFGFG2FGFGyzzyzxxzxyyxFG=22. (6)

12且由(4)式和(5)式可知

FGFGdxs1yzzyFG. ds=

2

dysFGFGds=

FG1zxxz. dzsFGFG ds=

FG1xyyx. (7) 将(4)式两端对弧长s求导,由Frenet公式,有

FGksNs+

ddsFGTs dddsFGFdsG. (8)

这里,Ns是单位主法向量. 将(4)式与(8)式两端分别作外积

FG2ksBs

FGdddsFGFGFdsG. (9) 这里,Bs是单位副法向量.

d因为FGdsFGd=F,G,GdsF－F,G,ddsFG

3

dF,G,FGds =－ (10)

FGFddsG=F,G,ddsGFdF,G,FdsG  =F,G,ddsGF. 将(10)式和(11)式代入(9)式,有

2FGksBs=F,G,ddsGF－F,G,ddsFG . 由(3)式知

dFdFFFds=dsx,y,z

2Fdxs2Fdys2Fdzs2Fdys2Fdys2Fdzsx2dsxydsxzds,yxdsy2dsyzds,2Fdxszxds2Fdys2Fdzszydsz2ds . (13)

ddGGGdsG=dsx,y,z

2Gdxs2Gdys2Gdzs2Gdys2Gdys2Gdzsx2dsxydsxzds,yxdsy2dsyzds, (11)

(12)

4

2Gdxs2Gdys2Gdzzxdszydssz2ds . (14)

则由(5)式和(14)式,有

F,G,ddsG

=dFGdsG

=

FGFG2Gdxs2Gdys2Gdzsyzzyx2dsxydsxzds ＋

FGzxFGxz2Gdxs2Gdys2Gdzsyxdsy2dsyzds FGF＋

G2Gdxs2Gdys2Gdzsxyyxzxdszydsz2ds F=

GFG2GFGFG2GFGFG2Gdxsyzzyx2zxxzyxxyyxzxds＋FGFG2GFGFG2GFGFG2Gdysyzzyxyzxxzy2xyyxzyds＋

FGFG2GFGFG2GFGFG2Gdzsyzzyxzzxxzyzxyyxz2ds.

由(5)式和(13)式,有

(15) 5

F,G,ddsF

d=FGdsF

=

FGFG2Fdxs2Fdys2Fdzsyzzyx2dsxydsxzds ＋

FG2Fdxs2Fdys2FzxFGxzdzsyxdsy2dsyzds ＋FGFG2Fdxs2Fdys2Fdzsxyyxzxdszydsz2ds =FGFG2FFGFG2FFGFG2Fdxsyzzyx2zxxzyxxyyxzxds＋FGFG2FFGFG2FFGFG2Fdysyzzyxyzxxzy2xyyxzyds＋FGFG2FFGFG2FFGFG2Fdzsyzzyxzzxxzyzxyyxz2ds.

又由(3)式和(12)式,有

FG2ksBs=F,G,ddsGFxdGF,G,dsFx, (16) 6

ddFGF,G,GF,G,F,dsdsyyddFGF,G,FF,G,Gdsdszz (17)

由(15)式和(16)式,有

dFF,G,dsGxF,G,dGdsFx

FGFG2GF2FGFGFG2GF2FGyzzyx2xx2xzxxzyxxyxx FGF＋G2GF2FGxyyxzxxzxxdxsds＋ FGFG2GF2FGFGFG2GF2FGyzzyxyxxyxzxxzy2xy2xFGFG2GF2FGxyyxzyxzyxdysds＋

FGFG2GF2FGFGFG2GF2FGyzzyxzxxzxzxxzyzxyzxFGFG2GF2FGxyyxdzsz2xz2xds. (18)

FGFGF令

FGyzzy,zxGxz,FGxyFGyx. 将(7)式、(19)式代入(18)式,有

(19)

7

F,G,ddsGFxF,G,dGdsFx

FG12GF2FG222GFFG2GF2FGx2xx2x2yxxyxx2zxxzxx2GF2FG22GF2FG2GF2FG2y2xy2x2zyxzyxz2xz2x. 同理,有

F,G,dFddsGyF,G,dsFGy

FG12GF2FG222GF2FG2GF2FGx2yx2yyxyyxy2zxyzxy2GF2FG222GF2FGGF2FG2y2yy2y2zyyzyyz2yz2y. dFF,G,dsGzF,G,ddsFGz

FG12GF2FG222GFFG2GF2FGx2zx2z2yxzyxz2zxzzxz2GF2FG22GF2FG2GF2FG2y2zy2z2zyzzyzz2zz2z. 将(20)式、(21)式和(22)式代入(17)式,有

(21) (22)

8

(20)

FG2ksBsFG－１2GF2FG22222GFFGGFFGx2xx2x2yxxyxx2zxxzxx2GF2FG22GF2FG2GF2FG2y2xy2x2zyxzyxz2xz2x,2GF2FG22GF2FG2GF2FGx2yx2y2yxyyxy2zxyzxy2GF2FG22GF2FG2GF2FG2y2yy2y2zyyzyyz2yz2y,2GF2FG222GFFG2GF2FGx2zx2z2yxzyxz2zxzzxz2GF2FG22GF2FG2GF2FG2y2zy2z2zyzzyzz2zz2z. (23)

由(3)式,(23)式可变为

FG3ksBs

=2G22Gx2F2Fx2G+2yxF2FyxG+22G2FzxFzxG +2Gy2F2Fy2G22+2GzyF2FzyG+2Gz2F2Fz2G2. 2G22G2G2G22G2G2=x22yx2zxy22zyz2F

2F222FF2F22－F2F2x22yx2zxy22zyz2G. (24)

9

2G22G2G2G22G2G2222222xyxzxyzyz令 A=. (25)

2F22F2F2F22F2F2222222xyxzxyzyzB=. (26)

FGksBsAFBG则 = (27)

3两端取向量长度,得曲线的曲率为

ksAFBG FG3. 二、计算曲线的挠率

将(27)式两端关于弧长s求导,有

d dsFG3ksBsFG3kssNs d=

FdsAAddsFGddsBBddsG. 将(27)式和(29)式两端作外积,得

FG6k2ssTs

=

AFBGddsAAdddFdsFGdsBBdsG. (28)

(29)

(30)

10

对(30)式两端向量取长度,有

FG6k2ss

=

AFBGFddsAAddsFGdddsBBdsG. (31)

则曲线的挠率为

AFBGFddsAAddsFGddsBBddsGAFBG2 . (32)

这里,

F,G,ddsF,ddsG,A,Bdd分别由(3),(13),(14),(25),(26)式计算. dsA,dsB计算式分别为下

面(33),(34)式:

ddsAd2G2d2G2d2G2d2dsx2dsy2dsz22dsGyx 2d2Gdsxd2Gz

2dszy (33) 其中,

1). d2dsG2d2GFGFG2x2dsx2yzzy3G2222GFG2GGF2G2FG2G2GFdyx2y2x2y2z2x2zyy2x2zyy2x2y2zds11

3G222G2FG2G2GF2G2FG2G2GFdzx2zx2yzz2x2z2y2x2z2y2x2yzzds.2). dds2Gd2GFG22y2dsy2zxFGxz3G222G2FG2G2GF22G2FG2G2GFdxy2xy2zxx2y2x2zy2x2z2y2zxxds3G22222GFG2G2GF2G2FG2G2GFdyy3y2zyx2y2xyzy2xyz2y2zyxds3G22G2FG2G2GF2G2FG2G2GFdzy2z2y2z2x2y2xzz2y2xzz2y2z2xds.3). d2G2d2G2dsz2dsz2FGxyFGyx3G22G2FG2G2GF2G2FG2G2GFdxz2x2z2x2y2z2yxx2z2yxx2z2x2yds3G222G2FG2GGF2G2FG2G2GFdyz2y2z2xyy2z2y2x2z2y2x2z2xyyds3G22G2FG2G2GF2G2FG2G2GFdzz32z2xzy2z2yzx2z2yzx2z2xzyds

4). d2Gd2GdsFGFGFGFGyxdsyxyzzyzxxz3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFyx2yxyxzyxzxyyxzxyyxyxz2G2FGyxzxx2G2GF2G2FG2G2GFyxx2zdxyxx2zyxzxxds3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFy2xyxy2zyxzyyyxzyyyxy2z2G2FG2G2GF2yxzyxyxxyzG2FGyxxyz2G2GFyxzyxdyds3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFyxzyxyzzyxz2yyxz2yyxyzz2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFdzyxz2xyxxzzyxxzzyxz2xds.5). dds2Gzxd2GdszxFGFGFGFGyzzyxyyx

12

3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFzx2zxyxzzxzxyzxzxyzxyxz2G2FG2G2GF2G2FG2G2zxx2yzxyxxzxyxxGFdxzxx2yds3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFzxyzxy2zzxzyyzxzyyzxy2z2G2FG2G2GF2G2FG2zxxyyG2GFdyzxy2xzxy2xzxxyyds3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFz2xzxyzzzxz2yzxz2yzxyzz2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFdzzxxzyzxyzxzxyzxzxxzyds.). dds26Gzyd2GFGFGFGFGdszyzxxzxyyx3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFzyxzyzxxzyx2zzyx2zzyzxx2G2FG2G2GF2Gzyx2yzyyxx2FGzyyxx2G2GFdxzyx2yds3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFzy2zyzyxzyxyzzyzyzzyzyx2G2FGzyxyy2G2GF2G2FG2G2GFdyzyy2xzyy2xzyxyyds3G2G2FG2G2GF2G2FG2G2GFz2yzyz2xzyxzzzyxzzzyz2x2G2FG2G2GF2G2FG2zyxzyG2GFdzzyyzxzyyzxzyxzyds.

ddsBd2dsF2d2F2d2x2dsy2dsF22z22dFdsyx 2d2Fd2dszx

2dsFzy 其中,

(34). 13

1). dds2F2FFGF22dx2dsx2yzGzy3F22F2FG2F2GF22F2FG2F2GFdxx3x2yxz2x2zxy2x2zxy2x2yxzds3F22FG2F2GF2F2FG22Fx2y2x2y2z2F2GFx2zxy2x2zyy2x2y2zdyds3F2FG22Fx2z2x2yzz22F2GF2F2FG2F2GFx2z2y2x2z2y2x2yzzdz.ds2). d2F22d2FFdsy2dsy2GzxFGxz3F22F2FG2F2GF2F2FG2F2GFdxy2x2y2zxx2y2x2z2y2x2z2y2zxxds3F22F2FG2F2GF2F2FG2F2GFdyy32y2zyx2y2xyz2y2xyz2y2zyxds3F222F2FG2FGF2F2FG2F2GFdzy2z2y2z2x2y2xzz2y2xzz2y2z2xds.3). dds2F2z22dds2FFGFGz2xyyx3F222FFG2F2GF2F2FG2F2GFdxz2x2z2x2y2z2yxx2z2yxx2z2x2yds3F222F2FGF2GF2F2FG2F2GFdyz2y2z2xyy2z2y2x2z2y2x2z2xyyds3F22F2FG2F2GF2F2FG2F2GFdzz32z2xzy2z2yzx2z2yzx2z2xzyds4). dds2Fyxdds2FyxFGFGFGFGyzzyzxxz3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFyx2yxyxzyxzxyyxzxyyxyxz2F2FG2F2GF2yxzxxyxx2zF2FGyxx2z2F2GFyxzxxdxds3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFy2xyxy2zyxzyyyxzyyyxy2z2F2FG2F2GF2F2FG2yxzyxyxxyzF2GFdyyxxyzyxzyxds

.

14

3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFyxzyxyzzyxz2yyxz2yyxyzz2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFyxz2xyxxzzyxxzzyxz2xdzds.5). dd2ds2FzxdsFFGFGFGFGzxyzzyxyyx3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFzx2zxyxzzxzxyzxzxyzxyxz2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFdxzxx2yzxyxxzxyxxzxx2yds3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFzxyzxy2zzxzyyzxzyyzxy2z2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFzxxyyzxy2xzxy2xzxxyydyds3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFz2xzxyzzzxz2yzxz2yzxyzz2F2FG2F2GF2zxxzyzxyzxF2FGzxyzx2F2GFzxxzydzds.6). dd2FFGFGFGds2FzydszyzxxzFGxyyx3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFzyxzyzxxzyx2zzyx2zzyzxx2F2FG2F2GF2F2zyx2yzyyxxFGzyyxx2F2GFzyx2ydxds3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFzy2zyzyxzyxyzzyzyzzyzyx2F2FG2F2GF2F2FG2Fzyxyyzyy2x2GFdyzyy2xzyxyyds3F2F2FG2F2GF2F2FG2F2GFz2yzyz2xzyxzzzyxzzzyz2x2F2FGzyxzy2F2GF2F2FG2F2GFdzzyyzxzyyzxzyxzyds.

三、举例

例 设曲线C是二次曲面x22y23z21,

2x23y24z21的交线,求曲线C的曲率和挠率. 15

222222解 记 Fx,y,zx2y3z10,Gx,y,z2x3y4z10 ①

则 F2x,4y,6z,G4x,6y,8z, ②

由①式,有

2F2Fx22,xy02F,y242F2F2F,zx0,zy0,z26,

2G2G x24,y262G2G2G2G,z28,xy0,zx0,zy0. 由(9)式,得

4yz,8xz,4xy. ④

由③式和④式,及(25)式、(26)式,可以得到

A322y2z26x2z24x2y2 B32y2z28x2z23x2y2. ⑤

.

由①式, ⑤式和⑥式,有

AFBG1281x3,y32,z3. ③ ⑥ ⑦

16

由②式和(5)式,有

FG4yz,2xz,xy. ⑧

将⑦式和⑧式代入公式(27),有曲率

122k1x64y6z6y2z24x2z2x2y232.

下面,求这条曲线的挠率.

由公式(30),有

FG6ks2sTs=6212xyzsTs. 利用⑧式和⑨式,有

AFBG23213xyz. 由⑧式和⑩式,得挠率为

3xyz2x614y6z6

参考文献

⑨

⑩

17

[1] 黄宣国. 空间解析几何, 上海：复旦大学出版社, 2003.

[2] 梅向明, 黄敬之. 微分几何（第三版）, 北京：高等教育出版社, 1988.

18