学案1：10.1.1 有限样本空间与随机事件

学 习 目 标 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点) 2．理解随机事件与样本点的关系．(重点、难点) 核 心 素 养 1.通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养学生数学抽象素养． 2. 通过写出试验的样本空间，培养学生数学建模素养. 【自主预习】

1．随机试验的概念和特点

(1)随机试验：我们把对 的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示． (2)随机试验的特点：

①试验可以在相同条件下 进行；

②试验的所有可能结果是 的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．样本点和样本空间 样本点 为样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，有限样本空间 ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} ωn}为有限样本空间 3.三种事件的定义

我们将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本随机事件 点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发必然事件 生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 事件 定义 我们把随机试验E的 称用 表示样本点 字母表示 思考1：如何确定试验的样本空间？

思考2：观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？

【基础自测】

1．下列现象中，是随机现象的有( )

①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆． ②若a为整数，则a＋1为整数． ③发射一颗炮弹，命中目标．

④检查流水线上一件产品是合格品还是次品． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝ . 3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”； ②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”； ③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．

其中 是随机事件； 是不可能事件．(填上事件的编号)

【合作探究】

类型一 事件类型的判断 【例1】 下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是( ) A．1 B．3 C．0 D．4 【规律方法】

判断一个事件是哪类事件要看两点

一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；

二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不

可能事件． 【跟踪训练】

指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180°；

(3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；

(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．

类型二 [探究问题]

1．如何确定试验的样本空间？

2．写试验的样本空间要注意些什么？

【例2】 指出下列试验的样本空间：

(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．

[思路探究] 根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．

确定试验的样本空间 [母题探究]

1．求本例(2)中试验的样本点的总数．

2．满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？

3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．

4．在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵横坐标，指出试验的样本空间．

【课堂小结】

1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．

2．写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．

【当堂达标】

1．判断正误

(1)试验的样本点的个数是有限的．( ) (2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．( )

(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．( ) 2．下列事件不是随机事件的是( )

A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷 C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴 3．下列试验：

①当x是实数时，x－|x|＝2；

②某班一次数学测试，及格率低于75%；

③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数； ④体育彩票某期的特等奖号码． 其中的随机事件是( ) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

4．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．

【参考答案】

【自主预习】

1．(1)随机现象 (2) ①重复 ②明确可知

2．每个可能的基本结果 3. 子集 思考1：

[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式． 思考2：

[提示] 不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．

【基础自测】

1．C [当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．] 2．{12,13,23} [从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12, 13, 23， 所以Ω＝{12,13,23}．]

3．③ ② [因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]

【合作探究】

类型一 【例1】

B [①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．故选B.] 【跟踪训练】

[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件． (2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件． (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件． (5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．

事件类型的判断 一个

ω

Ω

类型二 [探究问题]

确定试验的样本空间 1．[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．

2．[提示] 要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果． 【例2】

[解] (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}． (2)由题意可知： 1－3＝－2,3－1＝2， 1－6＝－5,6－1＝5， 1－10＝－9,10－1＝9， 3－6＝－3,6－3＝3， 3－10＝－7,10－3＝7， 6－10＝－4,10－6＝4.

即试验的样本空间Ω＝{－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4,4}． [母题探究]

1．[解] 样本点的总数为12.

2．[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2,5,9,3,7,4，共6个．

3．[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．

4．[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}．

【当堂达标】

1．[提示] (1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的． (2)正确．

(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点． [答案] (1)× (2)√ (3)×

2．B [B是必然事件，其余都是随机事件．]

3．C [由随机事件的定义知②③④是随机事件．] 4．[解] 该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad； 不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd， ∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6.