2000全国大学生数学建模竞赛题目

组)

C题 飞越北极

今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：

7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。

假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：

A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)；A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度);A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)；A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)；A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。

请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：

（1） 设地球是半径为6371千米的球体；

（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半

轴为6357千米。

D题 空洞探测

山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：

一块240（米）×240（米）的平板（如图），在 AB边等距地设置7个波源Pi (i=1,…,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(秒); 在 AD边等距地设置7个波源Ri (i=1,…,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,…,7)，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间τij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。

1）确定该平板内空洞的位置。

2）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(i,j=1,…,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。QjABCD

PiRiSj tijP1P2P3P4P5P6P7 τijR1R2R3R4R5R6R7

Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7

0.06110.08950.19960.20320.41810.49230.56460.09890.05920.44130.43180.47700.52420.38050.30520.41310.05980.41530.41560.35630.19190.32210.44530.40400.07380.17890.07400.21220.34900.45290.22630.19170.08390.17680.18100.38070.31770.23640.30640.22170.09390.10310.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S

0.06450.06020.08130.35160.38670.43140.57210.07530.07000.28520.43410.34910.48000.49800.34560.32050.09740.40930.42400.45400.31120.36550.32890.42470.10070.32490.21340.10170.31650.24090.32140.32560.09040.18740.21300.27490.38910.58950.30160.20580.08410.07060.44340.49190.39040.07860.07090.09140.0583