七年级数学培优竞赛讲座第8讲__一元一次方程

早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程．虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性．

一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．

解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程．

当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax＝b的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论： 1．当a0时，方程有惟一解b； a2．当a0,b0时，方程无解； 3．当a0,b0时，方程有无数个解． 例题

【例1】 (1)已知关于x的方程3x2(x)4x和

3是 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) （2）如果

a3xa15x1有相同的解，那么这个解12811112003，那么n＝ ． (江苏省竞赛题) 2612n(n1)2004

【例2】 当b=1时，关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a等于( )． A．2 B．一2 C．2 D．不存在 (“希望杯”邀请赛试题) 3

【例3】 是否存在整数k，使关于k的方程(k一5)x+6=1—5x；在整数范围内有解?并求出各个解．

1

【例4】 解下列关于x的方程． (1)4x+b=ax-8； (a≠4) (2)mx-1＝nx； (3)m(xn)131(x2m)． 4

【例5】已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p十101q+4的值． (“希望杯”邀请赛试题)

解一元一次方程常用的技巧有：

(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的基本性质化成整数；(4)用整体思想，即把含有求未知数的代数式看作一个整体进行变形．

学力训练

1．已知x=一1是关于x的方程7x3一3x2+kx+5=0的解，则k3+2k2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题) 2．方程

121(20x50)(52x)(4x10)0的解为 ； 632解方程

1111(x3)3330，得x= ． 22223．已知关于x的方程2a(x一1)＝(5一a)x+3b有无数多个解，那么a＝ ． (“希望杯”邀请赛试题)

4．和方程x一3＝3x+4不同解的方程是( )． A．79—4＝59—11 B．

120 x3C．(a2+1)(x一3)＝(3x+4)(a2+1) D．(7x一4)(x—1)＝(5x一11)(x一1) 5．已知a是任意有理数，在下面各题中

(1)方程ax=0的解是x=1； (2)方程ax＝a的解是x＝1 (3)方程ax=1的解是x＝

1； (4)方程axa的解是x＝±1， a结论正确的个数是( )． A．0 B．1 C． 2 D．3 (江苏省竞赛题)

2

6．方程x163612(35x1)13x2的解是（ ） A．

1514 B．1514 C．454514 D．14 7．已知关于x的一次方程（3a+8b）x+7=0无解，则ab=( ) ． A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 8．解关于x的方程：

（1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1)

9．A为何值时，方程

x3ax216(x12)有无数个解？无解？

10．已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解为 ． 11．已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ． 12．已知

144(119991x)134，那么代数式187248(1999x1999x)的值为 ． 13．若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，则x = ．

14．有4个关于x方程

(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4)x21x111x1 其中同解的两个方程是（ ）

A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（1）与（4） D．（2）与（4） 15．方程

x12xx23199519961995的解是（ ） A．1995 B．（1996 C．1997 D． 1998 16．已知a2b2c22001，且abc2001k，那么k的值为（ ）． A．14 B．4 C．14 D．－4

17．若k为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整数的k 值有（ ）．

A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 (“希望杯”邀请赛试题)

3

18．若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本，每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几个?有多少本书?

19．下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x的值．

(上海市竞赛题) 5

20．如果a、b为定值，关于x的方程

A B C D E F X G H E 10 2kxaxbk2，无论k为何值，它的根总是1，求a、b的值． 36 (山东省竞赛题)

21．将连续的自然数1～1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：(1)1988；(2)1991；(3)2000；(4)2080．这是否可能?若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数．(河北省竞赛题)

22．(第12届“希望杯”竞赛试题)若k为整数，则使得方程(k—1999)x=2001—2000x的解也是整数的k值为( )

A．4个 B．8个 C． 12个 D．16个

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