2019-2020学年台州市天台县八年级下学期期末数学试卷(含解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.

已知△𝐴𝐵𝐶中，a、b、c分别是∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边，下列条件不能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是( )

A. ∠𝐴−∠𝐵=∠𝐶 C. (𝑏+𝑐)(𝑏−𝑐)=𝑎2

2.

B. ∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5 D. 𝑎=7，𝑏=24，𝑐=25

若最简二次根式√𝑎与√3−2𝑎是同类二次根式，则a的值为( )

A. 𝑎=−3

3.

B. 𝑎=1 C. 𝑎=3 D. 𝑎=−1

汽车刹车后行驶的距离𝑠(单位：𝑚)关于行驶的时间𝑡(单位：𝑠)的函数解析式是𝑠=15𝑡−6𝑡2，汽车刹车后到停下来前进的距离是( )

A. 4

4.

5

B. 2

5

C. 16

75

D. 8

75

如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D，E分别是边AB，AC的中点，△𝐴𝐷𝐸和四边形BCED的面积分别记为𝑆1，𝑆2，那么𝑆2的值为( )

𝑆1

A. 2 B. 4 C. 3 D. 3

5.

一组数据1，2，3的方差为(提示：𝑆2=𝑛[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2])( )

1

211

1

A. 3

6.

4

B. 2

C. 3

1

D. 3

2

如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，则tan∠𝐴𝐹𝐸的值( )

3 A. 等于√3

B. 等于7 C. 等于4

D. 随点E位置变化而变化

3

3

7. 如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取OB的中点分别是点C、一点O，测得OA，点D且𝐶𝐷=12米．则A，B间的距离是( )

A. 24米 B. 26米 C. 28米 D. 30米

8.

如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，若𝐴𝐷=2𝐴𝐵，则下列结论错误的是( )

A. 四边形EFGH为菱形 B. 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=2𝑆四边形𝐸𝐹𝐺𝐻

3

C. 𝐸𝐹=√𝐴𝐵 25D. 𝐸𝐹=√𝐴𝐵

2

9. ∠𝐴𝐶𝐵=90°，如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，点D在AB上，连接CD，将△𝐵𝐶𝐷𝐴𝐸=5：沿直线CD翻折后，点B恰好落在边AC的E点处，若CE：3，𝑆△𝐴𝐵𝐶=20，则点D到AC的距离是( )

A. 13

40

B. 13

20

C. 4 D. 3

10. 周五，小明父亲从学校接小明回家，车离开学校时，由于车流量大，行进非常缓慢，一段时间

后，终于行驶在高速公路上，又经过一段时间后，汽车顺利到达收费站，经停车缴费后，进入通畅的道路，很快就顺利到达了家里．在以上描述中，汽车行驶的路程𝑠(千米)与所经历时间的𝑡(小时)之间的大致图象是( )

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 在实数范围内，设𝑎=(+𝑥+1

4𝑥

√|𝑥|−2+√2−|𝑥|2018

，则)|2−𝑥|

a的个位数字是______．

12. 直线𝑦=−2𝑥+𝑏经过点𝑃(3,−2 )，则该直线与x轴交点的坐标是 ． 13. 若代数式𝑥2+2𝑥−1的值为0，则2𝑥2+4𝑥−1的值为______．

14. 如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△𝐴𝐵𝑃沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的

垂直平分线MN上，如果𝐴𝐵=5，𝐴𝐷=8，𝑡𝑎𝑛𝐵=3，那么BP的长为______．

4

15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠𝐵𝐴𝐷，分别交BC，BD于点

E，P，连接OE，∠𝐴𝐷𝐶=60°，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=1，则下列结论：①∠𝐶𝐴𝐷=30°；②𝐵𝐷=√7；③𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶；④𝑂𝐸=1𝐴𝐷；⑤𝑆△𝐴𝑃𝑂=√3.其中正确的是____填序号

412

1

16. 已知菱形ABCD的两条对角线𝐴𝐶=6，𝐵𝐷=8，则菱形的边长𝐵𝐶=______． 三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17. 计算(写出计算过程)：(√5×√6−2√30)÷3√15

E分别在BC，AC边上，18. 已知△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点D，且𝐴𝐸=𝐶𝐷，

AD与BE相交于点F． 求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷．

19. 已知反比例函数

(k为常数，k≠1).(1)其图象与正比例函数y= x的图象的一个交点为

P，若点P的纵坐标是2.求k的值；

(2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；

(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点𝐴(x 1，y 1)，𝐵(x 2，y 2)，当y 1> y 2时，试

比较x 1与x 2的大小．

20. 如图是一个四边形的边角料，木工师傅通过测量，获得了如下数据：𝐴𝐵=3𝑐𝑚，𝐵𝐶=12𝑐𝑚，

𝐶𝐷=13𝑐𝑚，𝐴𝐷=4𝑐𝑚，𝐵𝐷=5𝑐𝑚木工师傅由此认为这个四边形中∠𝐴恰好是直角，你认为木工师傅的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠𝐴是直角？请求出木料的面积．

21. 体育课上，老师为了解男学生定点投篮的情况，随机抽取8名男学生进行每人4次定点投篮的

测试，进球数的统计如图所示．

(1)男生进球数的平均数为______、中位数为______．

(2)投球4次，进球3个以上(含3个)为优秀，全校有男生1200人，估计为“优秀”等级的男生约为

多少人？

22. 阅读下列材料，然后解答问题． 学会从不同的角度思考问题

学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

解：原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 =(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 =(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

=(28−1)(28+1)(216+1)+1 =(216−1)(216+1)+1 =232

由2𝑛(𝑛为正整数)的末尾数的规律，可得232末尾数字是6．

爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为22+1=5，而2+1，24+1，28+1，216+1均

为奇数，几个奇数与5相乘，末尾数字是5，这样原式的末尾数字是6．

在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题．这样才能学好

数学． 请解答下列问题：

(1)计算(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)(25+1)…(2𝑛+1)+1(𝑛为正整数)的值的末尾数字是

______ ；

(2)计算2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1值的末尾数字是______ ； (3)计算：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+1．

23. 问题：探究𝑦=6𝑥3−2𝑥的图象与性质 操作：(1)请在横线上补充完整表格：

x y … −4 −3.5 −3 −2 −1 0 873… − − 3482811 0 361 −2 3 3.5 4 … … 1

11837 − − ______ 63248(2)请在图中根据剩余的点补全此函数的图象； 发现：写出该函数图象的一条性质______；

应用：(1)方程6𝑥3−2𝑥=2实数根的个数为______个． (3)6𝑥3−2𝑥>2𝑥的解集为______．

1

11

3

24. 如图，在直角梯形ABCD中，∠𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90°，∠𝐵=60°，𝐴𝐵=4√3𝑐𝑚，𝐴𝐷=8𝑐𝑚，直线

EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2𝑐𝑚/𝑠，运动过程中始终保持𝐸𝐹//𝐴𝐶，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1𝑐𝑚/𝑠，连接PE、PF，设运动时间为𝑡(𝑠)(0<𝑡<4)． (1)当𝐸𝑃⊥𝐵𝐶时，求t的值是多少？

(2)设△𝑃𝐸𝐹的面积为𝑦(𝑐𝑚2)，求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t，使面积y最大？若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由． (4)连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；

若不存在，说明理由．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：A、∵∠𝐴−∠𝐵=∠𝐶，且∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°，∴∠𝐴=90°，故△𝐴𝐵𝐶为直角三角形； B、∵∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5，∴∠𝐶=×180°=75°，故不能判定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形； 3+4+5C、∵(𝑏+𝑐)(𝑏−𝑐)=𝑎2，∴𝑏2−𝑐2=𝑎2，故△𝐴𝐵𝐶为直角三角形； D、∵72+242=252，∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形； 故选：B．

根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．

本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．

5

2.答案：B

解析：解：由题意可知：𝑎=3−2𝑎 解得：𝑎=1， 故选：B．

由同类二次根式的概念即可求出a的值．

本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．

3.答案：D

解析：解：∵𝑠=15𝑡−6𝑡2=−6(𝑡−4)2+∴当𝑡=4时，S取得最大值8，

即汽车刹车后到停下来前进的距离是8𝑚， 故选：D．

求出函数的最大值即可得．

本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．

75

5

75

5

758

，

4.答案：C

解析：解：根据三角形的中位线定理，△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，DE：𝐵𝐶=1：2，所以它们的面积比是1：

1

4，所以𝑆=4−1=3，故选C．

2

𝑆11

根据已知可得到△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，从而可求得其面积比，则不难求得𝑆的值．

2

𝑆1

本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：(1)相似三角形周长的比等于相似比；(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

5.答案：D

解析：解：𝑥=(1+2+3)÷3=2，

𝑆2=3[(1−2)2+(2−2)2+(3−2)2+(4−3)2]=3． 故选：D．

根据方差公式计算即可：𝑆2=𝑛[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2]；

𝑥1，𝑥2，…𝑥𝑛的平均数为𝑥，本题考查方差的定义．一般地设n个数据，则方差𝑆2=𝑛[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2]；它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

1

1

1

2

6.答案：B

解析：解：∵𝐸𝐻//𝐶𝐷， ∴△𝐴𝐸𝐻∽△𝐴𝐶𝐷， ∴𝐴𝐻=𝐴𝐷=4，

设𝐸𝐻=3𝑎，则𝐴𝐻=4𝑎， ∴𝐻𝐺=𝐺𝐹=3𝑎， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐹𝐴𝐺， ∴tan∠𝐴𝐹𝐸=tan∠𝐹𝐴𝐺=故选：B．

根据题意，可知𝐸𝐻//𝐶𝐷，推出△𝐴𝐸𝐻∽△𝐴𝐶𝐷，进行求解即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，属于中档题．

𝐺𝐹𝐴𝐺

𝐸𝐻

𝐶𝐷

3

=

=．

3𝑎+4𝑎7

3𝑎3

7.答案：A

解析：解：∵点C，D分别为OA，OB的中点， ∴𝐶𝐷是△𝑂𝐴𝐵的中位线， ∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷=2×12=24(米)， 故选：A．

根据三角形中位线定理解答即可．

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

8.答案：C

解析：解：连接AC、BD、FH、EG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷，

∵𝐸、F分别为AD、AB的中点， ∴𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐷的中位线， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐷，𝐸𝐹//𝐵𝐷，

21

同理可得，𝐺𝐻=2𝐵𝐷，𝐺𝐻//𝐵𝐷，𝐸𝐻=2𝐴𝐶，𝐸𝐻//𝐴𝐶， ∴𝐸𝐹=𝐺𝐻，𝐸𝐹//𝐺𝐻，𝐸𝐹=𝐸𝐻，

∴四边形EFGH为菱形，A说法正确，不符合题意；

𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵，𝑆四边形𝐸𝐹𝐺𝐻=1𝐸𝐺⋅𝐹𝐻=1𝐴𝐷⋅𝐴𝐵，

22∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=2𝑆四边形𝐸𝐹𝐺𝐻，B说法正确，不符合题意； 设𝐴𝐵=2𝑎，则𝐴𝐷=4𝑎， ∴𝐴𝐹=𝑎，𝐴𝐸=2𝑎，

由勾股定理得，𝐸𝐹=√𝐴𝐸2+𝐴𝐹2=√5𝑎， ∴𝐸𝐹=

√5

𝐴𝐵，C说法错误，符合题意；D说法正确，不符合题意； 2

11

故选：C．

根据三角形中位线定理得到𝐸𝐹=2𝐵𝐷，𝐸𝐹//𝐵𝐷，𝐺𝐻=2𝐵𝐷，𝐺𝐻//𝐵𝐷，𝐸𝐻=2𝐴𝐶，𝐸𝐻//𝐴𝐶，根据菱形的判定定理得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的面积公式、勾股定理计算，判断各选项即可．

本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

1

1

1

9.答案：A

解析：解：设点D到AC的距离为h，

∵将△𝐵𝐶𝐷沿直线CD翻折后，点B恰好落在边AC的E点处，

∴𝐵𝐶=𝐶𝐸， ∵𝐶𝐸：𝐴𝐸=5：3，

∴设𝐵𝐶=𝐶𝐸=5𝑥，𝐴𝐸=3𝑥，(𝑥>0) ∴𝐴𝐶=8𝑥，

∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=20=2×5𝑥×8𝑥， ∴𝑥=1，

∴𝐵𝐶=5，𝐶𝐴=8，

∵𝑆△𝐴𝐷𝐶=2×𝐴𝐶×ℎ=13𝑆△𝐴𝐵𝐶=∴点D到AC的距离ℎ=13， 故选：A．

𝐴𝐸=3𝑥，由折叠的性质可得𝐵𝐶=𝐶𝐸，设𝐵𝐶=𝐶𝐸=5𝑥，由三角形面积关系可求𝑥=1，即可求解． 本题考查了翻折变换，三角形的面积，求出AC的长是本题的关键．

40

1

8

16013

1

，

10.答案：B

解析：解：分段考虑：①车离开学校时，由于车流量大，行进非常缓慢，路程s缓慢增加； ②行驶在高速公路上，路程s快速增加； ③汽车到达收费站，停车缴费，路程s保持不变； ④缴费后，进入通畅的道路，路程s快速增加． 结合选项可知选项B的图象大致符合． 故选：B．

要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况分段考虑，采用排除法求解即可．

11.答案：4

解析：解：∵√|𝑥|−2与√2−|𝑥|有意义， |𝑥|−2≥0

∴{， 2−|𝑥|≥0解得：𝑥=±2，

当𝑥=2时，2−2=0(分母为零，舍去)．

故𝑥=−2， 则𝑎=

4×(−2)−2+1

=8，

∵81=8，82=64，83=512，84=4096…， 故𝑎=82018个位数字是4． 故答案为：4．

利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．

本题考查了二次根式有意义的条件，尾数特征，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12.答案：(2,0)

解析：试题分析：首先把点𝑃(3,−2 )代入𝑦=−2𝑥+𝑏中计算出b的值，进而得到解析式，然后再根据解析式计算出该直线与x轴交点的坐标． 把点𝑃(3,−2 )代入𝑦=−2𝑥+𝑏中， −2×3+𝑏=−2， 解得：𝑏=4，

则直线解析式为𝑦=−2𝑥+4， 当𝑦=0时，−2𝑥+4=0， 解得：𝑥=2，

则该直线与x轴交点的坐标是(2,0)． 故答案为：(2,0)．

13.答案：1

解析：解：∵𝑥2+2𝑥−1=0， ∴𝑥2+2𝑥=1， 则2𝑥2+4𝑥−1 =2(𝑥2+2𝑥)−1 =2×1−1 =2−1 =1， 故答案为：1．

根据题意确定出𝑥2+2𝑥的值，原式变形后代入计算即可求出值．

此题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用．

14.答案：7或7

解析：

本题考查了翻折变换(折叠问题)，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．①如图1，过A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于H，连接𝐷𝐵′，设𝐴𝐻=4𝑥，𝐵𝐻=3𝑥，根据𝐴𝑀=𝐷𝑀=𝐴𝐷=勾股定理得到𝐴𝐵=√𝐴𝐻2+𝐵𝐻2=5𝑥=5，根据旋转的性质得到𝐴𝐵′=𝐴𝐵=5，24，∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐻𝑁𝑀=90°，根据勾股定理得到𝑀𝐵′=√𝐴𝐵′2−𝐴𝑀2=3，求得𝐻𝑁=𝑀𝑁=4，根据正方形的性质即可得到结论；

𝑀𝑁=4，𝑀𝐵′=3，𝐵𝑁=7，由①知，求得𝑁𝐵=𝑁𝐵′，推出点P与N重合，得到𝐵𝑃=𝐵𝑁=7． ②如图2，

解：①如图1，过A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于H，连接𝐷𝐵′， 设𝐵𝐵′与AP交于E，

AD的垂直平分线交AD于M，BC于N， ∵𝑡𝑎𝑛𝐵=𝐵𝐻=3， ∴设𝐴𝐻=4𝑥，𝐵𝐻=3𝑥， ∴𝐴𝐵=√𝐴𝐻2+𝐵𝐻2=5𝑥=5， ∴𝑥=1，

∴𝐴𝐻=4，𝐵𝐻=3，

∵将△𝐴𝐵𝑃沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线MN上， ∴𝐴𝐵′=𝐴𝐵=5，𝐴𝑀=𝐷𝑀=2𝐴𝐷=4，∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐻𝑁𝑀=90°， ∴四边形AHNM是正方形，𝑀𝐵′=√𝐴𝐵′2−𝐴𝑀2=3， ∴𝐻𝑁=𝑀𝑁=4， ∴𝐵𝑁=7，𝐵′𝑁=1， ∴𝐵𝐵′=√𝐵𝑁2+𝐵′𝑁2=5√2， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐵′=

21

5√2

， 2

1

𝐴𝐻

4

1

25

∵∠𝐵𝐸𝑃=∠𝐵𝑁𝐵′=90°，∠𝑃𝐵𝐸=∠𝐵′𝐵𝑁， ∴△𝐵𝑃𝐸∽△𝐵𝐵′𝑁， ∴𝐵𝐵′=𝐵𝑁，

𝑃𝐵

𝐵𝐸

∴5𝑃𝐵√2=

5√227257

，

∴𝐵𝑃=

；

②如图2，由①知，𝑀𝑁=4，𝑀𝐵′=3，𝐵𝑁=7， ∴𝑁𝐵=𝑁𝐵′，

∴点N在𝐵𝐵′的垂直平分线上，

∵将△𝐴𝐵𝑃沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上， ∴点P也在𝐵𝐵′的垂直平分线上， ∴点P与N重合， ∴𝐵𝑃=𝐵𝑁=7，

综上所述，BP的长为7或7． 故答案为7或7．

25

25

15.答案：①②③④⑤

解析：

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△𝐴𝐵𝐸是等边三角形是解决问题的关键． ①先根据角平分线和平行得：∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴，则𝐴𝐵=𝐵𝐸=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠𝐴𝐶𝐸=30°，最后由平行线的性质可作判断；

√

②先根据三角形中位线定理得：𝑂𝐸=2𝐴𝐵=2，𝑂𝐸//𝐴𝐵，根据勾股定理计算𝑂𝐶=和OD的长，

2

1

1

3可得BD的长；

③因为∠𝐵𝐴𝐶=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断；

△𝑃𝑂𝐸1√3=2，⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑆△𝐸𝑂𝐶=𝑂𝐸⋅𝑂𝐶=，𝑆

△𝐴𝑂𝑃28

𝑆1

代入可得结论． 解：①∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=60°，

∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐸=1， ∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=1， ∵𝐵𝐶=2， ∴𝐸𝐶=1， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐸，

∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐸=60°， ∴∠𝐴𝐶𝐸=30°， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=30°， 故①正确；

②∵𝐵𝐸=𝐸𝐶，𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴𝑂𝐸=𝐴𝐵=，𝑂𝐸//𝐴𝐵，

22

∴∠𝐸𝑂𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=60°+30°=90°，𝑅𝑡△𝐸𝑂𝐶中，𝑂𝐶=√12−()2=√，

22∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=120°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=30°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=90°，

𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐷中，𝑂𝐷=√12+(√3)2=√7，

22∴𝐵𝐷=2𝑂𝐷=√7， 故②正确；

③由②知：∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶， 故③正确；

④由②知：OE是△𝐴𝐵𝐶的中位线，

1

31

1

∴𝑂𝐸=2𝐴𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，

21

1

∴𝑂𝐸=𝐵𝐶=𝐴𝐷，

4

4

11

故④正确；

⑤∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=∵𝑂𝐸//𝐴𝐵， ∴𝐴𝑃=𝐴𝐵=2， ∴𝑆△𝑃𝑂𝐸=2，

△𝐴𝑂𝑃

√3

，∴2

𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑆△𝐸𝑂𝐶=2𝑂𝐸⋅𝑂𝐶=2=

11

√3

， 8

𝐸𝑃𝑂𝐸1

𝑆1

∴𝑆△𝐴𝑂𝑃=𝑆△𝐴𝑂𝐸=×

3

3

22

√38

=

√3

； 12

故⑤正确；

正确的有：①②③④⑤， 故答案为①②③④⑤．

16.答案：5

解析：解：如图所示：

∵菱形ABCD中，𝐴𝐶=6，𝐵𝐷=8，

∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=2𝐴𝐶=3，𝑂𝐵=𝑂𝐷=2𝐵𝐷=4，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴𝐵𝐶=√𝑂𝐶2+𝑂𝐵2=√32+42=5； 故答案为：5．

由菱形的性质求得OC与OB的长，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，由勾股定理求得边BC的长即可．

此题考查了菱形的性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解此题的关键．

1

1

17.答案：解：原式=(√30−2√30)÷3√15

=

=−

√2

． 3

√22√2

−

33

解析：先计算括号里的，然后计算除法．

本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用二次根式混合运算法则是解题的关键．

18.答案：证明：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，

∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐶𝐴， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐷中， 𝐴𝐵=𝐶𝐴

{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶， 𝐴𝐸=𝐶𝐷

∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)．

解析：根据等边三角形的性质得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐶𝐴，然后根据“SAS”可判断△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷．

本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”.也考查了等边三角形的性质．

19.答案：解：(1)由题意，设点P的坐标为(m，2)，

∵点P在正比例函数y= x的图象上， ∴2= m，即m=2． ∴点P的坐标为(2,2)． ∵点P在反比例函数y=∴2=

，解得k=5．

图象的每一支上，y随x的增大而减小， 的图象上，

(2)∵在反比例函数y=∴ k−1>0，解得k>1． (3)∵反比例函数y=

图象的一支位于第二象限，

∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．

∵点𝐴(x 1，y 1)与点𝐵(x 2，y 2)在该函数的第二象限的图象上，且y 1> y 2，∴ x 1> x 2． 解析：本题考查一次函数与反比例函数的性质，难度中等．

20.答案：解：正确，

∵32+42=52， ∴𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=𝐵𝐷2， ∴∠𝐴=90°， ∵122+52=132， ∴𝐵𝐷2+𝐵𝐶2=𝐶𝐷2，

∴∠𝐷𝐵𝐶=90°，

∴木料的面积为：2×4×3+2×12×5=6+30=36(𝑐𝑚2). 答：木工师傅的判断正确，木料的面积为36𝑐𝑚2．

𝐵𝐷=5𝑐𝑚，𝐴𝐷=4𝑐𝑚利用勾股定理逆定理可得𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=𝐵𝐷2，解析：根据𝐴𝐵=3𝑐𝑚，因此∠𝐴=90°；再利用勾股定理逆定理可判定∠𝐷𝐵𝐶=90°，然后再计算出面积即可．

此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么这个三角形就是直角三角形．

1

1

21.答案：2.5 2

(1)由条形统计图可得，(1×1+2×4+1×3+4×2)÷8=2.5(解析：解：男生进球数的平均数为：个)；

∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2； ∴男生进球数的中位数为：2； 故答案为：2.5，2． (2)样本中优秀率为：8，

故全校有男生1200人，“优秀”等级的男生为：1200×8=450(人)， 答：“优秀”等级的男生约为450人．

(1)利用条形统计图得出进球总数，进而得出平均数和中位数； (2)利用样本中优秀率，再估计总体优秀人数．

此题主要考查了中位数以及利用样本估计总体和算术平均数求法，正确掌握中位数的定义是解题关键．

3

3

22.答案：解：(1)6；

(2)1

(3)2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+1=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+1

=(38−1)(38+1)+1

=316−1+1=316． 解析：

解：(1)原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22𝑛+1)+1

=(22−1)(22+1)(24+1)…(22𝑛+1)+1

=(24−1)(24+1)…(22𝑛+1)+1

=24𝑛−1+1

=24𝑛；∵24=16，28=(24)2=256，216=(28)2=65536…． ∴24𝑛的尾数为6； 故答案为：6，

(2)∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…， ∵3𝑛的个位数字是3，9，7，1四个一循环，

∴(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位是0， ∴2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+37的个位是0，

∴2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1的个位数字是0+1=1； 故答案为：1； (3)见答案

(1)原式变形后，利用平方差公式计算即可；

9，7，1四个一循环，(2)此题不难发现：3𝑛的个位数字是3，所以(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位是0，则2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+37的个位是0，从而得到结果； (3)根据平方差公式求出即可．

此题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式是解题关键．

23.答案：(1)3 ；

(2)当𝑥<−2时，y随x的增大而增大；3； (3)−√15<𝑥<0或𝑥>√15

解析：解：操作：(1)当𝑥=4时，函数𝑦=6𝑥3−2𝑥=

1

1

8

×64−2×4=；

63故答案为：3；

(2)补全函数图象如图所示，

发现：根据图象得，当𝑥<−2时，y随x的增大而增大； 故答案为：当𝑥<−2时，y随x的增大而增大； 应用：(1)作出直线𝑦=2𝑥的图象，

由图象知，函数𝑦=6𝑥3−2𝑥的图象和直线𝑦=2𝑥有三个交点，

1

3

3

8

8

∴方程6𝑥3−2𝑥=2实数根的个数为3， 故答案为：3；

(3)根据图象得，当−√15<𝑥<0或𝑥>√15时，6𝑥3−2𝑥>2𝑥， ∴𝑥3−2𝑥>𝑥的解集为−√15<𝑥<0或𝑥>√15， 62故答案为：−√15<𝑥<0或𝑥>√15．

操作：(1)把𝑥=4代入函数解析式即可得到结论； (2)由题意补全函数图象即可；

发现：根据函数图象得到函数的性质即可；

(1)作出直线𝑦=2𝑥的图象，应用：根据𝑦=6𝑥3−2𝑥的图象和直线𝑦=2𝑥的交点个数即可得到结论； (2)根据函数图象即可得到结论．

本题考查了二次函数的图象，函数自变量的取值范围，二次函数的性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．

3

1

3

1

1

1

1

13

24.答案：解：(1)根据题意得：𝐴𝐸=2𝑡，𝑃𝐶=𝑡，

∴𝐷𝐸=8−2𝑡，

当𝐸𝑃⊥𝐵𝐶时，𝐷𝐸=𝑃𝐶， ∴8−2𝑡=𝑡， 解得：𝑡=3；

(2)作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于G，如图所示： 则四边形AGCD是矩形，∠𝐴𝐺𝐵=90°， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐺=𝐴𝐵⋅𝑠𝑖𝑛60°=4√3⋅√=6，

2∴𝐶𝐷=6， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐶， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷，即6=∴𝐷𝐹=6−2𝑡， ∴𝐶𝐹=2𝑡，

3

3

𝐷𝐹

𝐷𝐸

𝐷𝐹

8−2𝑡8

3

8

，

∵𝑆梯形𝐷𝐸𝑃𝐶=2(8−2𝑡+𝑡)×6=24−3𝑡， 𝑆△𝐷𝐸𝐹=(8−2𝑡)(6−𝑡)=𝑡2−12𝑡+24，

2

2

2

1

3

3

1

𝑆△𝐶𝑃𝐹=𝑡⋅𝑡=𝑡2，

2

2

4

133

∴𝑦=𝑆梯形𝐷𝐸𝑃𝐶−𝑆△𝐷𝐸𝐹−𝑆△𝐶𝑃𝐹 =24−3𝑡−(𝑡2−12𝑡+24)−𝑡2

2

4

3

3

=−4𝑡2+9𝑡， 即𝑦=−4𝑡2+9𝑡； (3)存在；

∵𝑦=−4𝑡2+9𝑡=−4(𝑡−2)2+9，−4<0， ∴𝑦有最大值，当𝑡=2时，y的值最大，最大值=9； (4)存在；

作𝑃𝐻⊥𝐴𝐷于H，如图所示： 则𝐷𝐻=𝑃𝐶=𝑡，𝑃𝐻=6， ∴𝐸𝐻=8−2𝑡−𝑡=8−3𝑡， ∴𝐸𝑃2=(8−3𝑡)2+62， 又∵点E在AP的垂直平分线上， ∴𝐴𝐸=𝐸𝑃，

∴(2𝑡)2=(8−3𝑡)2+62， 解得：𝑡=∴𝑡=

24−2√19，或𝑡59

9

9

9

9

=

24+2√19(舍去)， 5

24−2√19时，点5

E恰好在AP的垂直平分线上．

解析：(1)当𝐸𝑃⊥𝐵𝐶时，𝐷𝐸=𝑃𝐶，得出8−2𝑡=𝑡，即可求出t；

(2)作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于G，先求出𝐶𝐷=𝐴𝐺=6，再由△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐶，得出比例式得出DF，CF，用梯形DEPC的面积减去△𝐷𝐸𝐹和△𝐶𝑃𝐹的面积即为△𝑃𝐸𝐹的面积；

(3)由(2)得y是t的二次函数，二次项系数<0，故有最大值，配方得顶点式，即可得出最大值； (4)由点E在AP的垂直平分线上，得出𝐴𝐸=𝐸𝑃，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定方法、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的知识以及图形面积的计算；本题难度较大，综合性强，特别是(2)中，通过作辅助线求出线段长度，并运用三角形相似才能求出面积．