人教版八年级数学下册第二章勾股定理

考点一：勾股定理

（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2b2c2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论：

①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

例题：

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为n1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ） A、2n

B、n+1

C、n2－1

D、n1

22（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A.a2b2c2 B. a2c2b2 C. c2b2a2 D.以上都有可能

（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A、25 B、14 C、7 D、7或25

例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cm

2

2B、36 cm

C、48cm

2

D、60cm

2（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5

B、25

C、7

D、15

考点二：勾股定理的逆定理

222（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，abc，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n为正整数） （3）直角三角形的判定方法：

222①如果三角形的三边长a,b,c有关系，abc，那么这个三角形是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题：

例1：勾股数的应用

（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17

（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1）下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）若三角形的三边之比为

21::1，则这个三角形一定是（ ） 22A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

（3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 （4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 （5）若△ABC的三边长a,b,c满足a2b2c220012a16b20c，试判断△ABC的形状。

（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。 例3：求最大、最小角的问题

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。 （2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。

考点三：勾股定理的应用

例1：求长度问题

（1）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；•另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

DBCA

例3：最短路程问题

（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为

2，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）

（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。

ADC

（图1） （图2） 例4：航海问题

（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里． （2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

北ABBCACD东60AB30DM

B

（图1） （图2） 例5：网格问题

（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 （3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5

DABCCACA

（图1） （图2） （图3） 例6：图形问题

（1）如图1，求该四边形的面积

BB（2）如图2，已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为 ．

12D13

C3B4A

（图1） （图2） （图3）

（3）某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢ ＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由

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三、课后训练： 一、填空题

1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

D C

D B E

O

A B A C F 第4题图

第3题图 图(1)

2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

3．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm 二、选择题

6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元

E D A

B C 20m 30m F

第7题图 150°

第6题图

7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2

8．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 三、计算

1111、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求证：。 222BCACCD

ACDB