函数与方程思想在解题中的应用

函数与方程思想在解题中的应用

【思想方法诠释】

函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

1．函数的思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系

函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函

第 1 页 共 7 页

函数与方程思想在解题中的应用

数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数与方程思想解决的相关问题

（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。 【核心要点突破】

要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题 例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。

第 2 页 共 7 页

函数与方程思想在解题中的应用

要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题

例2：已知函数f(x)2cosxcos2x11cos2x,g(x)cos2xa(1cosx)cos3.或222yf(x)与yg(x)的图象在(0,)内至少有一个公共点，试求a的取值范围。

要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题

例3：（1）已知

且

那么（）

（2）设不等式范围．

第 3 页 共 7 页

对满足m∈[-2，2]的一切实数m都成立，求x的取值

函数与方程思想在解题中的应用

要点考向4：运用函数与方程思想解决最优化问题

例4：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB=2x,BC=y.

（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围； （Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

第 4 页 共 7 页

函数与方程思想在解题中的应用

【跟踪模拟训练】

一、选择题

1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为( ) (A)32 (B)43 (C)49 (D)60 2．方程(A)1

(B)0

有解，则m的最大值为（ ） (C)-1

(D)-2

3.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞， 满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（ ）

4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( ) (A)13 (C)12 6．已知圆范围是（ ）

上任意一点P(x,y)都使不等式

恒成立，则m的取值

A.[21,)B.(,0]C.(2,)D.[12,)

二、填空题

7．的定义域和值域都是[1，k]，则k=

8．已知数列中，，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则m= ,n=

9.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.

第 5 页 共 7 页

函数与方程思想在解题中的应用

三、解答题

10.已知函数f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的图象在x=2处的切线互相平行.

(1)求m的值；(2)设F(x)=g(x)-f(x).当x∈［1,4］时,F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范围.

第 6 页 共 7 页

函数与方程思想在解题中的应用

习题答案

1．C 2．A 3. A 4．B 6．A 7．3 8．10、9 9．（-∞,-3）∪（0，3） 10.（1）6 (2) t≤1

第 7 页 共 7 页