高等数学(A)第一学期期末试题及答案

题号 分值 得分 阅卷人 一 18 1 8 2 8 3 8 二 4 8 三 5 8 6 8 7 8 1 9 2 9 四 8 手工 计算机 总分 考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一、填空题(每题3分，共18分) 得分 评阅人 1、 极限lim(x+x→+x−x−x)=______ 3 x0在x=0处连续，2、 设函数f(x)=(1−x)x， 则a=_____  x=0  a，3、 设y= x2 01+t2dt， 则dy=__________ 14、 定积分 −1(x2+sin3x)dx=______ 5、 向量a={−1， 0， 1}与 b={1， 2， −2}的夹角为=_____ 6、 过点M(2， 1， −1)和N(5， 1， 3)的直线标准式(即对称式)方程为___________________ 二、计算题(每题 8分，共56分) 1、 求极限lim(n→12n+++) 222n+1n+2n+n得分 评阅人 第 1 页 共 4 页

2、 求极限limcotx(x→011−) sinxx得分 评阅人

dyd2yx=ln(1+t2) 3、 设， 求及2

y=1−arctantdxdx得分 评阅人

4、 已知f(lnx)=1且f(0)=0， 求f(x) 1+x得分 评阅人

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5、 求不定积分xsin2xdx

得分 评阅人

6、 求定积分 122 1−x2dx 2x得分 评阅人

x−y+z−2=0x+y−z=3 7、 求过直线l1且平行直线l2的平面方程 x+y=0 2x+y+z=4得分 评阅人

三、应用题(每题 9分，共18分)

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1、 设有底面为等边三角形的一个直柱体， 其体积为2， 当底面边长为多少时其表面积最小？并求最小表面积

得分 评阅人

2、 求由曲线y=ex， y=e−x及直线x=1所围平面图形的面积

及该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.得分 评阅人

四、证明题(8分)

f(x)在(0， +)上单调增加 x得分 评阅人 设f(x)在[0， +)上满足f(x)0， f(0)=0， 证明： F(x)=第 4 页 共 4 页

《高等数学(A)》答案及评分标准

一、填空题(每题3分，共18分)

x−2y−1z+132 2x1+x4dx；4、 = ；5、=；6、 1、 1；2、 e−3；3、30434二、计算题(每题 8分，共56分)

1+2++n12n1+2++n1、 解：  +++

n2+nn2+1n2+2n2+nn2+1n(n+1)1n(n+1)112n即 2又 lim+2++2= ，

n→2(n2+1)22n+1n+2n+n2(n2+1)12n1+++)=

n→n2+12n2+2n2+ncosx(x−sinx)sinx11−cosxx−sinx== lim2、== 解：limlim 原式=limx→06xx→0x→0x→063x2x3xsin2xdydy/dt1dx12tdy ==−3、 解：=  =−， 22dxdx/dt2tdt1+tdt1+tlim(11+t21+t2d1dt=2=(−)=  232tdt2tdx2tdx4t4、 解： 由f(lnx)=11得： f(x)= 1+x1+exd2y1exf(x)=dx=(1−)dx=x−ln(1+ex)+C xx1+e1+e又由f(0)=0得： C=ln2，故 f(x)=x−ln(1+ex)+ln2

或由f(lnx)=111得： f(lnx)= 1+xxx(1+x)f(lnx)1dx=x1dx

x(1+x)f(lnx)=(11−)dx=lnx−ln(1+x)+C，故f(x)=x−ln(1+ex)+C x1+x又由f(0)=0得： C=ln2，故 f(x)=x−ln(1+ex)+ln2 5、 解：原式=1−cos2x11111dx=xdx−xdsin2x=x2−xsin2x+sin2xdx 224444111=x2−xsin2x−cos2x+C 448x6、 解： 令x=sint， 则dx=costdt，当x=2 t= 时， t=； 当x=1时，224第 5 页 共 4 页

cost 原式=2costdt=2 sint4  2(csc2t−1)dt=(−cott−t)2=1−4

447、 解： 设所求平面方程为x−y+z−2+(x+y)=0，即(1+)x+(−1)y+z−2=0 ijk l2的方向向量为s=11−1={2， −3， −1}

211 由已知得： (1+)2+(−1)(−3)+1(−1)=0 =4

故所求方程为： 5x+3y+z−2=0

ijkijk或 l1的方向向量为s2=11−1={2，s1=1−11={−1， −3， 1， −1} 2}，l2的方向向量为211110ijk法向量为n=s1s2=−112={5， 3， 1}2−3−1，

在l1的方程中令z=0得l1上一点(1， −1， 0)

故所求平面方程为5(x−1)+3(y+1)+z=0，即 5x+3y+z−2=0

三、应用题(每题 9分，共18分)

1、 解： 设底面边长为x， 高为h， 则h=83x2，故表面积为S=3283x+ 2xS=3x−83， 令S=0得唯一驻点x=2 x2故由问题实际意义得当边长x=2时表面积最小，最小表面积为Smin=63

2、 解： 面积S= 1 0−1(ex−e−x)dx=(ex+e−x)1−2 0 3分 =e+e 体积V=112[(ex)2−(e−x)2]dx=(e2x+e−2x)1(e+e−2−2) 0= 0222 1四、证明题(8分)

证： F(x)=f(x)x−f(x)x2 ，f(x)=f(x)−f(0)=f()x (0x)

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F(x)=f(x)−f()，又f(x)0， 所以f(x)单调增加， f(x)f()

x F(x)0， 故F(x)在(0， +)上单调增加

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