2020年小学三年级数学至六年级知识点汇编

思学教育·乐教课堂思学教育新人教版小学三年级上册数学知识卡第一单元时分秒1、钟面上有3根针，它们是（时针）、（分针）、（秒针），其中走得最快的是（秒针），走得最慢的是（时针）。2、钟面上有(12)个数字，(12)个大格，(60)个小格；每两个数间是(1)个大格，也就是(5)个小格。3、时针走1大格是(1)小时；分针走1大格是(5)分钟，走1小格是(1)分钟；秒针走1大格是(5)秒钟，走1小格是(1)秒钟。4、时针走1大格，分针正好走(1)圈，分针走1圈是(60)分，也就是(1)小时。时针走1圈，分针要走(12)圈。5、分针走1小格，秒针正好走(1)圈，秒针走1圈是(60)秒，也就是(1)分钟。6、时针从一个数走到下一个数是(1小时)。分针从一个数走到下一个数是(5分钟)。秒针从一个数走到下一个数是(5秒钟)。7、钟面上时针和分针正好成直角的时间有：（3点整）、（9点整）。8、公式。（每两个相邻的时间单位之间的进率是60）1时=60分1分=60秒半时=30分60分=1时60秒=1分30分=半时9、结束时刻—开始时刻=经过时间结束时刻—经过时间=开始时刻开始时刻+经过时间=结束时刻第二、四单元万以内的加法和减法1、万以内数的加减法注意：加法：①相同数位要对齐；②从个位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进1。③写得数减法：①相同数位要对齐；②从个位减起，哪一位上的数不够减，就要向前一位退1。如果前一位是0，则再从前一位退1。③写得数2、在做题时，我们要注意中间的0，因为是连续退位的，中间的0既要向前一位借，又要借给下一位，所以借回来的“10”只剩下“9”了。如1000-2343、两个三位数相加的和：可能是三位数，也有可能是四位数。4、最大的三位数是位999，最小的三位数是100，最大的四位数是9999，最小的四位数是1000。最大的三位数比最小的四位数小1。5、公式：减数＋差＝被减数加数＋另一个加数＝和被减数－差＝减数和－加数＝另一个加数被减数－减数＝差6、加法的验算：可以交换加数位置再算一遍，也可以用和－加数＝另一个加数验算。7、减法的验算：可以是减数＋差＝被减数验算，也可以用被减数－差＝减数验算。8、估算：（1）求一个数的近似数：用四舍五入法。记忆：看保留位数的后面一位，如果是0-4则用四舍法，如果是5-9就用五入法。（2）估算的应用：收银员收钱要准确，要精确计算。准备多少钱才够的可以估算，但因为是交钱买东西，要估大。-1-思学教育·乐教课堂第三单元测量1、在生活中，量比较短的物品或要求量得比较精确时，可以用（毫米）做单位；量比较长的物体，常用（米）做单位；测量比较长的路程一般用（千米）做单位，千米也叫（公里）。2、1厘米的长度里有（10）小格，每小格的长度（相等），都是（1）毫米。3、1枚1分的硬币、尺子、磁卡、小纽扣、钥匙的厚度大约是1毫米。4、长度单位的关系式有：（长度单位：米、分米、厘米、毫米，从大到小已排好，相邻单位进率10，隔一是百，隔二是千。）①进率是10：1米=10分米，1分米=10厘米，1厘米=10毫米，10分米=1米，10厘米=1分米，10毫米=1厘米②进率是100：1米=100厘米，1分米=100毫米，100厘米=1米，100毫米=1分米③进率是1000：1千米=1000米，1公里==1000米，1000米=1千米，1000米=1公里5、在计算长度时，只有相同的长度单位才能相加减。不同单位的计算要先进行单位换算。小技巧：换算长度单位时，把大单位换成小单位就在数字的末尾添加0（进率里有几个0，就添几个0）；把小单位换成大单位就在数字的末尾去掉0（进率里有几个0，就去掉几个0）6、当我们表示物体有多重时，通常要用到（质量单位）。在生活中，称比较轻的物品的质量，可以用（克）做单位；称一般物品的质量，常用（千克）做单位；计量较重的或大宗物品的质量，通常用（吨）做单位。质量单位：吨、千克、克，相邻进率是1000，相邻进率有3个0。小技巧：在“吨”与“千克”，“千克”与“克”的换算中，把大单位换成小单位就在数字的末尾添加0（进率里有几个0，就添几个0）；把小单位换成大单位就在数字的末尾去掉0（进率里有几个0，就去掉几个0）7、相邻两个质量单位进率是1000。1吨=1000千克；1千克＝1000克；1000千克=1吨；1000克＝1千克。第五单元倍的认识1、一个数里面有几个另一个数，就说一个数是另一个数的几倍。（大数里面有几个小数，就说大数是小数的几倍）2、求一个数的几倍是多少，用这一个数×几倍。（如5的6倍是多少？5×6=30）3、求一个数是另一个数的几倍？用一个数÷另一个数（如12是3的几倍？12÷3=4）4、大数是小数的几倍：求大数：小数×几倍=大数求小数：大数÷几倍=小数求几倍：大数÷小数=几倍5、倍是数量关系，不是单位。-2-思学教育·乐教课堂第六单元多位数乘一位数1、估算。（先求出多位数的近似数，再进行计算。如497×7≈3500，先把497看成500，再进行计算，注意要写“≈”号）2、①0和任何数相乘都得0；②1和任何不是0的数相乘还得原来的数。3、因数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。4、三位数乘一位数：积有可能是三位数，也有可能是四位数。一个因数中间有0，积的中间可能有0，也可能没有0。公式：速度×时间=路程每节车厢的人数×车厢的数量=全车的人数5、（关于“大约）应用题：①条件中出现“大约”，而求的问题中也有“大约”，不用估算。→（写“＝”）②条件中没有出现“大约”，而求的问题中出现“大约”。一定要估算。→（记得写“≈”）6、归一应用题：已知总数，份数，先求每份数。先用总数÷份数=每份数，再用每份数×份数=总数7、归总应用题：已知每份数，份数，先求总数。先用每份数×份数=总数，再用总数÷每份数=份数或总数÷份数=每份数第七单元四边形1、有4条直的边和4个角封闭图形我们叫它四边形。2、四边形的特点：有四条直的边，有四个角。3、长方形的特点：长方形有两条长，两条宽，四个直角，对边相等。4、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。5、平行四边形的特点：①对边相等、对角相等。②平行四边形容易变形。（三角形不容易变形）6、四条边相等的四边形，可能是菱形，也可能是正方形；四个角都是直角的四边形可能是长方形也可能是正方形。只有四条边都相等，并且四个角是直角的四边形才是正方形。7、封闭图形一周的长度，就是它的周长。8、公式。长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的宽=周长÷2－长正方形的边长=周长÷4长方形的长=周长÷2－宽第八单元分数的初步认识1、把一个整体平均分成几份，取其中的几份，就是这个物体或图形的几分之几。（这个整体可以是一个物体，也可以是若干个物体组成的）2、分子（表示取中的几份），分数线（表示平均分），分母（表示把一个整体平均分成几份）3、把一个整体平均分得的份数越多，它的每一份所表示的数就越小。4、①分子相同，分母小的分数反而大，分母大的分数反而小。②分母相同，分子大的分数就大，分子小的分数就小。5、①相同分母的分数相加、减：分母不变，分子相加、减。②1与分数相减：1可以看作是分子分母相同的分数。6、求一个数的几分之几是多少，先用这个数除以分母，求出一份是多少，再用商乘分子。-3-思学教育·乐教课堂思学教育新人教版小学三年级下册数学知识卡第一单元位置与方向1、八个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。2、①（东与西）相对，（南与北）相对，（东南—西北）相对，（西南—东北）相对。②清楚以谁为标准来判断位置。③理解位置是相对的，不是绝对的。3、地图通常是按（上北、下南、左西、右东）来绘制的。（做题时先标出北南西东。）4、会看简单的路线图，会描述行走路线。一定写清楚从哪儿向哪个方向走，走了多少米，到哪儿再向哪个方向走。同一个地点可以有不同的描述位置的方式。（例如：学校在剧场的西面，在图书馆的东面，在书店的南面，在邮局的北面。）同一个地点有不同的行走路线。一般找比较近的路线走。5、指南针是用来指示方向的，它的一个指针永远指向（南方），另一端永远指向（北方）。6、生活中的方位知识：①北斗星永远在北方。②影子与太阳的方向相对。③早上太阳在东方，傍晚在西方。④风向与物体倾斜的方向相反。（刮风时的树朝风向相对的方向弯，烟朝风向相对的方向飘……）第二单元1、口算时要注意：（1）0除以任何数（0除外）都等于0；（2）0乘以任何数都得0；（3）0加任何数都得任何数本身；（4）任何数减0都得任何数本身。除数是一位数的除法2、乘除法的估算：4舍5入法。（1）除数不变，把三位数看成几百几十或整百的数，再用口算除法的基本方法计算。（2）想口诀来估算：想一位数乘几最接近或等于被除数的最高位或前两位，那么几百或几十就是所要估算的商。如乘法估算：81×68≈5600，就是把81估成80，68估成70，80乘70得5600。除法估算：493÷8≈60，就是把493估成480（480是8的倍数，也最接进492），再口算480÷8得60。3、没有余数的除法：被除数÷除数=商商×除数=被除数被除数÷商=除数有余数的除法：被除数÷除数=商……余数商×除数+余数=被除数（被除数—余数）÷商=除数-4-思学教育·乐教课堂4、笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。（1）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。（2）除法的验算方法：没有余数的除法的验算方法：商×除数=被除数；有余数的除法的验算方法：商×除数+余数=被除数。第三单元统计1、把两个或两个以上有联系的单式统计表合编成一个统计表，这个统计表就是复式统计表。2、观察、分析复式统计表要先看表头，弄清每一项的内容，再根据数据进行分析，回答问题。3、求平均数公式：总和÷份数=平均数总和÷平均数=份数平均数×份数=总和第四单元两位数乘以两位数口算乘法1、两位数乘一位数的口算方法：(1)把两位数分成整十数和一位数，用整十数和一位数分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加(2)在脑中列竖式计算。2、整百整十数乘一位数的口算方法：(1)先用整百数乘一位数，再用整十数乘一位数，最后把两次乘得的积相加。(2)先用整百整十数的前两位与一位数相乘，再在乘积的末尾添上一个0。(3)在脑中列竖式计算。3、一个数与10相乘的口算方法：一位数与10相乘，就是把这个数的末尾添上一个0。4、两位数乘整十数的口算方法：先用这个两位数与整十数十位上的数相乘，然后在积的末尾添上一个O。小技巧：口算乘法：整十、整百的数相乘，只需把0前面的数字相乘，再看两个因数一共有几个0，就在结果后面添上几个0。如：30×500=15000可以这样想，3×5=15，两个因数一共有3个0，在所得结果15后面添上3个0就得到30×500=15000笔算乘法先把第一个因数同第二个因数个位上的数相乘，再与第二个因数十位上的数相乘（积与十位对齐），最后把两个积加起来。注意事项1.估算：18×22，可以先把因数看成整十、整百的数，再去计算。→（可以把一个因数看成近似数，也可以把两个因数都同时看成近似数。）2、有大约字样的一般要估算。-5-思学教育·乐教课堂3、凡是问”够不够，能不能”等的题，都要三大步：①计算、②比较、③答题。→别忘了比较这一步。4、相关公式：因数×因数=积积÷因数=另一个因数5、两位数乘两位数积可能是（三）位数，也可能是（四）位数。6、特殊的算式：25×4=100，125×8=1000第五单元面积和面积单位1.周长：封闭图形一周的长度，叫做周长。常用的长度单位有：（千米）、（米）、（分米）、（厘米）、（毫米）。面积：物体表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。常用的面积单位有：（平方厘米）、（平方分米）、（平方米）。2.理解面积单位的意义。1平方米：边长是1米的正方形，它的面积是1平方米。1平方分米：边长是1分米的正方形，它的面积是1平方分米。1平方厘米：边长是1厘米的正方形，它的面积是1平方厘米。3.在生活中找出接近于1平方厘米、1平方分米、1平方米的例子。例如1平方厘米（指甲盖）、1平方分米（电脑光盘或电线插座）、1平方米（教室侧面的小展板）。4．区分长度单位和面积单位的不同。长度单位测量线段的长短，面积单位测量面的大小。5．比较两个图形面积的大小，要用（统一）的面积单位来测量。6.正确理解并熟记相邻的面积单位之间的进率：1平方米=100平方分米=10000平方厘米1平方分米=100平方厘米④相邻两个常用的长度单位之间的进率是（10）。相邻两个常用的面积单位之间的进率是（100）。背熟公式：1、周长公式：长方形的周长=（长＋宽）×2长=周长÷2－宽长=（周长－宽×2）÷2宽=周长÷2－长宽=（周长－长×2）÷2正方形的周长=边长×4正方形的边长=周长÷42、面积公式：长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长已知面积求长：长=面积÷宽已知面积求宽：宽=面积÷长A、正确区分长方形和正方形的周长和面积的意义，并能正确运用上面的4个计算公式求周长和面积。归类：a、什么样的问题是求周长？（缝花边、围栅栏、围栏杆、池塘或花坛周围小路长度、围操场跑步的长度等等）b、什么样的问题是求面积？或与面积有关？（课本等封面大小、刷墙、花坛周围小路面积、给餐桌配玻璃、给课桌配桌布、洒水车洒到的地面、某物品占地面积、买玻璃、买镜子、买布、买地毯、铺地、裁手帕的等等）-6-思学教育·乐教课堂B、长方形或正方形纸的剪或拼。有两个或两个以上长方形或正方形拼成新的图形后的面积与周长。从一个图形中（通常是长方形）剪掉一个图形（最大的正方形等）求剪掉部分的面积或周长、求剩下部分的面积或周长。要求先画图，再标上所用数据，最后列式计算。C、刷墙的（有的中间有黑板、窗户等）：用大面积－小面积。注意：（1）面积相等的两个图形，周长不一定相等。周长相等的两个图形，面积不一定相等。（2）大单位换算小单位（乘它们之间的进率）。小单位换算大单位（除以它们之间的进率）（3）长度单位和面积单位的单位不同，无法比较。（4）周长相等的两个长方形，面积不一定相等。面积相等的两个长方形，周长不一定相等。第六单元年、月、日1、一年有十二个月，1、3、5、7、8、10、12这七个月是31天叫做大月，4、6、9、11这四个月是30天叫做小月，平年2月是28天，全年有365天，闰年2月是29天，全年有366天。2、一年分四季，每3个月为一季；一、二、三月是第一季度，四、五、六月是第二季度，七、八、九月是第三季度，十、十一、十二是第四季度。3、一月分为上中下三旬：1-10号是上旬，11-20号是中旬，21-30(31)号是下旬4、公历年份是4的倍数一般都是闰年，但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。如1900年不是闰年而是平年，而2000年是闰年。5、推算星期几的方法例：已知今天星期三，再过50天星期几？解析：因为一个星期是七天，那么由50÷7=7（星期）……1（天），知道50天里有7个星期多一天，所以第50天是星期四。6、24时表示法：在一日里，钟表上时针正好走两圈，共24小时。所以，经常采用从0时到24时的计时法，通常叫做24时计时法。7、超过下午1时的时刻用24时计时法表示就是把原来的时刻加上12。反过来要把24时计时法表示的时刻表示成普通计时法的时刻，超过13时的时刻就减12，并加上下午、晚上等字在时刻前面。比如下午3时→3+12=15时。8、时间段的计算：就是用结束时刻减开始时刻。比如10:00开始营业，22:00结束营业，营业时间为：22:00—10:00=12（小时）结束时刻—开始时刻=经过时间9．经过的天数的计算：结束时间—开始时间+1=经过的天数例如：6月12到6月30日是多少天？（30-12+1=19天）10、常用的时间单位有：年、月、日、时、分、秒。11、重要的日子：1949年10月1日，中华人民共和国成立。1月1日元旦节，3月12日植树节，5月1日劳动节，6月1日儿童节，7月1日建党节，8月1日建军节，9月10日教师节，10月1日国庆节12、时间单位进率：1世纪=100年1年=12个月1天（日）=24小时1小时=60分钟1分钟=60秒钟1周＝7天-7-思学教育·乐教课堂第七单元小数的初步认识1、小数的意义：像3.45,0.85,2.60,36.6,1.2和1.5这样的数叫做小数。小数是分数的另一种表现形式。2、小数的认、读、写：限于小数部分不超过两位的小数。整数部分按整数的读法（几百几十几）。小数部分每一位都要读，按读电话号码的方法读，有几个0就读几个零。例如：127.005读作：一百二十七点零零五。3、小数与分数的关系、互换。小数不同表示的分数就不同。例如：0.5＝5/100.50＝50/1004、运用元/角/分、米/分米/厘米的知识写小数；把7角、7分改写成以元作单位的小数。5、把“单位1”平均分成10份，每份是它的十分之一，也就是0.1把“单位1”平均分成100份，每份是它的百分之一，也就是0.016、分母是10的分数写成一位小数（0.1），分母是100的分数写成两位小数（0.01）。7、比较两个小数的大小：先比较小数的整数部分，整数部分大的数就大，如果整数部分相同就比较小数的小数部分，小数部分要从小数点后最高位比起。8、比大小的两种情况：跑步是数越少越好；跳远、跳高是数越大越好。9、计算小数加、减法时，小数点对齐，也就是相同数位对齐，再相加、减。10、小数加减法计算。（尤其注意：12－3.9；9＋8.3等题的计算。）11、小数不一定比整数小。（如：5.1＞5；1.3＞1等）第八单元数学广角-搭配（二）简单的排列：有序排列才能做到不重复、不遗漏。简单的组合：组合问题可以用连线的方法来解决。组合与排列的区别：排列与事物的顺序有关，而组合与事物的顺序无关。-8-思学教育·乐教课堂思学教育新人教版小学四年级上册数学知识卡第一单元一、亿以内数的认识1.数位：在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。数级：按照我国的计数习惯，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级。2.亿以内数的读法：(1)先读万级，再读个级；(2)万级的数都要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字；(3)每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。例：780¦6009读作：七百八十万¦六千零九3.亿以内数的写法：(1)先写万级，再写个级；(2)哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。例：三百零二万¦六千写作：302¦60004.亿以内数的大小比较：位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位比起，最高位的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大小为止。例：50¦6012＞5¦060150¦6012＜50¦60225.整万的数改写成用“万”作单位的数：去掉末尾的4个0，再加上一个“万”字；例：32¦0000=32万(目的是为了读写方便)6.不是整万的数改写成“万”作单位的近似数：要将“千位”上的数四舍五人，然后再加上“万”字。例：5¦3850≈5¦0000=5万5¦7220≈6¦0000=6万★四舍五入法：求一个数的近似数，要先看省略的尾数部分的最高位是小于5，还是等于或大于5；如果小于5就把它和后面的尾数全部舍去，改写成0；如果等于或大于5就先向前一位进1，再把它和后面的尾数全部舍去，改写成0。这种求近似数的方法叫做四舍五入法。二、数的产生数是应人们生产生活的需要而产生的。最初有实物记数、结绳记数、刻道记数。后出现了记数符号，即数字。阿拉伯数字是现今世界通用的数字，它是印度人发明的。1.自然数：表示物体个数的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然数。2.最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。三、十进制计数法1.计数单位：个(一)、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是102.十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数法。亿以上数的认识1.亿以上数的读法：(1)先分级，再从最高级读起；(2)读完亿级或万级的数，要加“亿”字或“万”字；(3)每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。例：2080¦0780¦6003读作：二千零八十亿¦零七百八十万¦六千零三2.亿以上数的写法：(1)先看这个数有几级，再从最高级写起；(2)哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。3.整亿数改写成用“亿”作单位的数：先分级，找到亿位，去掉末尾的8个0，再加上一个“亿”字。例：-9-大数的认识思学教育·乐教课堂982¦0000¦0000=982亿4.不是整亿的数改写成用“亿”作单位的数：要将“千万位”上的数四舍五人，然后再加上“亿”字。例：5¦3220¦7500≈5亿7¦5329¦3850≈8亿四、计算工具的认识和应用1.计算工具的认识二千多年前，中国人用算筹计算。一千多年前，中国人又发明了算盘。17世纪初，英国人发明了计算尺。17世纪中期，欧洲人发明了机械计算器。20世纪，出现了电子计算器。20世纪40年代，诞生了第一台电子计算机。2.算盘的认识：【算盘各部分的名称】算盘的主要作用是计算和计数。算盘的每一个档代表一个数位，计数前要先选定一个档作为个位，然后向左依次是十位、百位……。一个下珠表示1，一个上珠表示5；拨数时，要把珠子拨到靠梁时，才表示算盘上有数，如上图：算盘计数表示的是960。根据计算的需要，有的算盘没有顶珠和底珠，如下图：3.计算器的认识：-10-思学教育·乐教课堂【数位表】数级数位……千亿位千亿百亿位百亿亿级十亿位十亿亿位千万位千万百万位百万万级十万位十万万位千位百位个级十位个位(个一计数单位…亿万千百十)★相邻两个计数单位之间的进率是“十”第二单元一、公顷和平方千米公顷和平方千米1.公顷：测量土地的面积可以用“公顷”(ha)作单位。边长是100米的正方形面积是1公顷。1公顷=10000平方米2

2.平方千米：计量比较大的土地面积，常用“平方千米”(km)作单位。边长是1千米的正方形面积是l平方千米。1平方千米=1000000平方米=100公顷▲拓展：测量土地面积常用的单位还有公亩、亩和平方公里。1公顷=100公亩1公顷=15亩1平方千米=1平方公里第三单元一、线段、直线、射线角的度量1.特点和区别：线段有两个端点，不能延伸，有一定的长度，可以测量；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，是无限长的，无法测量；直线没有端点，可以向两端无限延伸，是无限长的，无法测量。2.为了表达方便，线段、直线、射线都可以用字母表示。如下图把线段AB，向一端无限延伸，就得到射线BA或射线AB。注：读射线时，先读端点！把线段AB，向两端无限延伸，就得到直线AB；还可以用小写字母表示。如，直线a▲拓展：1.过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。2.线段、直线、射线都是直的，线段和射线是直线上的一部分。-11-思学教育·乐教课堂二、角从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角顶点的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角由一个顶点和两条边组成。角通常用符号“∠”表示。如图中角可以记作“∠1”三、角的度量1.角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是l度，记作1°2.角的度量工具——量角器。量角器是把半个圆分成180等份制成的。拓展：角的单位有度、分、秒1°=60′1′=60″四、角的分类1.一直角=90°平角=2个直角，锐角＜90°，一平角=180°一周角=360°周角=2个平角=4个直角90°＜钝角＜180°，2.角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角角的大小与角的两边画出的长短没关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。五、角的画法测量角要“两重一看”：量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。画角的具体步骤：①画一条射线，使量角器的中心和封线的端点重合，0刻度线和射线重合。②在量角器上看（找），65°刻度线的地方点一个点。③以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。第一步第二步第三步-12-思学教育·乐教课堂第四单元一、笔算乘法1.多位数乘两位数的笔算：多位数乘两位数的笔算：a.从低位到高位，用两位数每一位上的数去乘多位数；b.用两位数哪一位上的数去乘，乘得的积的末位要和两位数的那一位对齐；c.把两次乘得的积加起来。先算个位上的2乘以145等于290，290和个位对齐；再算十位上的1乘以145等145，145和十位对齐；最后，两得数相加等于1740三位数乘两位数2.因数末尾有0的乘法：因数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添几个0。先计算16×3=48，再在积的末尾填两个0，等于4800。3.因数中间有0的乘法：因数中间有0的乘法：计算时应注意用两位数去乘三位数时，三位数中间的0也要乘，然后再加上进上来的数。二、积的变化规律积的变化规律：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘(或除以)几(0除外)，积也乘(或除以)几。数量关系1.每件商品的价钱叫做单价。买了多少叫做数量。一共用的钱数叫做总价。数量关系式：单价×数量=总价,总价÷单价=数量,总价÷数量=单价2.一共行了多长的路叫做路程。每小时(或每分钟等)行的路程叫做速度。行了几小时(或分钟等)叫做时间。数量关系式：速度×时间=路程,路程÷时间=速度,路程÷速度=时间-13-思学教育·乐教课堂第五单元一、平行与垂直1.在同一个平面内，两条直线的位置关系：平行或相交。2.在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。平行四边形和梯形如图：直线a平行于直线b，可记作a∥b，读作:a平行于b。3.两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。如图：直线a垂直于直线b，记作a⊥b，读作：a垂直于b。点A就是垂足。4.画垂线①过直线上一点画这条直线的垂线方法？答：把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的直角顶点靠近直线上的点，然后用笔沿另一条直角边画出直线(射线)，在垂足处标出垂直符号。②过直线外一点画这条直线的垂线方法？答：把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的另一条边靠近直线外的点，然后用笔沿这条边画直线(射线)，在垂足处标出垂直符号。③利用三角尺或量角器画垂线：-14-思学教育·乐教课堂5.距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。如图，点A到直线所画的垂直线段最短，10厘米。6.画长方形：可以用画垂线的方法来画！二、平行四边形的认识平行四边形：(1)两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形。(2)从平行四边形一条边上向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高，一个平行四边形能画出两组不同的高。(3)平行四边形有容易变形的特点。可以做伸缩门等。三、梯形的认识梯形：(1)只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。(2)平行的一组对边中较短的边是上底，较长的边是下底，不平行的一组对边叫腰。梯形上、下底间的垂直线段叫梯形的高。(3)特殊的梯形：两个腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形直角梯形-15-思学教育·乐教课堂四、四边形的集合四边形之间的关系：平行四边形、长方形、正方形、梯形都是特殊的四边形；长方形、正方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。第六单元一、口算除法除数是两位数的除法1.整十数除整十数或几百几十数的口算，1)可以想乘法做除法，2)也可以去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再计算。例：1)80÷20=，想20×4=80，所以80÷20=42)150÷50=，先150和50同时去掉1个0，变成15÷5=3，所以150÷50=32.除法估算：根据被除数和除数的特点，把不是整十数或不是几百几十的数看成与它接近的整十数或几百几十的数，再计算。例：83÷20≈，把83≈80，80÷20=4，所以83÷20≈4150÷28≈，把28≈30，150÷30=4，所以150÷28≈561÷21≈，把61≈60，21≈20，60÷20=3，所以61÷21≈3二、笔算除法1.除数是整十数的笔算除法分为五步：一“看”，确定商的位置；二“试”，确定首先商几；三“乘减”，先乘后减确定再商几；四“比”，比除数和余数的大小；五“落”，把被除数的个位落下来。2.试商的方法：除数接近整十数的除法，一般按“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商。除数不接近整十数的除法，可以采取除数乘10法，把除数看作几十五等方法来试商。3.除数是两位数的除法法则：(1)从被除数的高位起，先用除数试除被除数的前两位，如果比除数小，再试除前三位；(2)除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；(3)每次除得的余数必须比除数小。-16-思学教育·乐教课堂4.商的变化规律：(1)除数不变，被除数乘几商也乘几。被除数除以几，商也除以几。(2)被除数不变，除数乘几，商反而除以几。除数除以几，商反而乘几。(3)被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。(同乘或同除以的数不能为0)第七单元条形统计图一、条形统计图1.条形统计图是有标题、时间、纵轴（单位）、横轴（类别）、直条组成。2.条形统计图特点：从条形统计图中很容易看出数量的多少。3.根据统计数据的大小和特点来确定1格代表几。统计表数据很详细，但是不利于直观地分析问题。条形统计图能够直观的反应各个量的变化差异，有利于对数据进行分析。第八单元一、规划论问题1.沏茶问题：怎样才能尽快让客人喝上茶？数学广角——优化在生活中我们要学会合理安排做事的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时去做，这样就可以优化做事时间，让我们在规定时间内做更多的事情。2．烙饼问题：每次只能烙2张饼，两面都要烙，每次3分钟。怎样才能尽快吃上饼？无论烙几张饼，要想做到最大限度地节省时间，不要让锅里出现空闲！烙3张饼的时间：如上图，共烙3次，3分钟×3=9分钟烙4张饼的时间：每次烙2张，需2×3分钟=6分钟，4张共需6分钟×2=12分钟烙5张饼的时间：先烙2张，需6分钟；再烙3张，需9分钟；共需6+9=15分钟总结：一锅最多烙2张饼，用时最少的方法a.烙2,4,6，8……双张数饼时，两张两张地烙，算好时间即可。b.烙3张饼时，两张两张交替烙，不让锅出现空闲。烙5,7,9,11……大于3的单数张饼时，先两张两张烙，最后3张交替烙。-17-思学教育·乐教课堂二、应对策略问题“田忌赛马”策略表赛次第一场第二场第三场齐王的马上等马中等马下等马田忌的马下等马上等马中等马本场胜者齐王田忌田忌1.解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。2.在与对方进行比赛时：a.要知己知彼，详细分析双方的情况；b.想到所有可能的对策；c.选择一个利多弊少的最优方案。-18-思学教育·乐教课堂第九单元一、数与代数（一）大数的认识1.计数单位：一(个)、十、百、千、万……亿都是计数单位。2.每相邻两个计数单位问的进率都是10。3.数的读法：(1)含有两级数的渎法：①先读万级，再读个级；②万级的数要按照个级数的读法来读，再在后面加读一个“万”字；③每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。(2)含有三级数的读法：先读亿级，再读万级，最后读个级。4.数的写法：(1)含有两级数的写法：①先写万级，再写个级；②哪一位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0；(2)含有三级数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级。5.比较数的大小：位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位起，最高位的数大的那个数就大，如果高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。6.改写和求近似数：(1)整万和整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，去掉末尾的4个0或8个0，再加上“万”或“亿”字；(2)不是整万和整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，要将“千位”或“千万位”上的数四舍五入，然后再加上“万”或“亿”字。7.自然数：表示物体个数的l，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，…都是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。8.十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。9.计算工具的认识：算盘和电子计算器。（二）三位数乘两位数1.笔算乘法：(1)多位数乘两位数的笔算：①从低位到高位，用两位数每一位上的数去乘多位数；②用两位数哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就和两位数的那一位对齐；③把两次乘得的积加起来。(2)因数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添几个0。(3)因数中间有0的乘法：计算时应注意用两位数去乘三位数时，三位数中间的0也要乘，然后再加上进上来的数。2.因数和积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘(或除以)几(0除外)，积也乘(或除以)几。3.数量关系式：单价×数量=总价速度×时间=路程总复习-19-思学教育·乐教课堂（三）除数是两位数的除法1.整十数除整十数或几百几十数的口算，可以想乘法做除法，也可以去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再计算。2.除法估算：根据被除数和除数的特点，把不是整十数或几百几十的数看成与它接近的整十数或几百几十的数，再计算。3.笔算除法：(1)除数是整十数的笔算除法分为五步：一“看”，确定商的位置；二“试”，确定首先商几；三“乘减”，先乘后减确定再商几；四“比”，比除数和余数的大小；五“落”，把被除数的个位落下来。(2)试商的方法：除数接近整十数的除法，一般按“四舍五人”法把除数看作和它接近的整十数来试商。除数不接近整十数的除法，可以采取除数积10法、把除数看作几十五等方法来试商。(3)除数是两位数的除法法则：①从被除数的高位起，先用除数试除被除数的前两位，如果它比除数小，再试除前三位；②除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；③每次除得的余数必须比除数小。（4）商的变化规律：①除数不变，被除数乘几商也乘几。被除数除以几，商也除以几。②被除数不变，除数乘几，商反而除以几。除数除以几，商反而乘几。③被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。(同乘或同除以的数不能为0)。（四）公顷和平方千米1.公顷。测量土地的面积可以用“公顷”作单位。边长是100米的正方形面积是l公顷。1公顷=10000平方米2.平方千米。2

计量比较大的土地面积，常用“平方千米”(km)作单位。边长是1千米的正方形面积是1平方千米。1平方千米=1000000平方米=100公顷二、图形与几何（一）角的度量1.线段、直线、射线：(1)线段有两个端点，有一定的长度，可以测量。(2)直线没有端点，是无限长的。(3)射线只有一个端点，是无限长的。2.角：(1)从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；(2)角由一个顶点和两条边组成；(3)角通常用符号“∠”表示。3.角的度量：(1)角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°(2)认识量角器，并能用量角器正确量出角的度数。4.角的分类：(1)1直角=90°一平角=180°一周角=360°(2)锐角<直角<钝角<平角<周角5.画角：画角要做到“两重一看”。量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。-20-思学教育·乐教课堂（二）平行四边形和梯形1.平行与垂直：(1)在同一个平面内，两条直线的位置关系：平行或相交。(2)在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。直线a平行于直线b，可记作a∥b。(3)两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。直线a垂直于直线b，记作a⊥b。(4)会画垂线和长方形。(5)距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。2.平行四边形和梯形：(1)平行四边形。①两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形。②从平行四边形一条边上向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高，一个平行四边形能画出两组不同的高。③平行四边形有容易变形的特征。(2)梯形。①只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。②平行的一组对边中较短的边是上底，较长的边是下底，不平行的一组对边叫腰。梯形上、下底间的垂直线段叫梯形的高。③特殊的梯形有等腰梯形和直角梯形。3．四边形的分类，集合二、统计与概率（一）条形统计图1.条形统计图特点：从条形统计图中很容易看出数量的多少。2.根据统计数据的大小和特点选择合适的单位长度表示数量。3.根据给出的数据完成条形统计图，并对数据进行简单的分析。（二）数学广角——优化在生活中我们要学会合理安排做事的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时去做，这样就可以优化做事时间，让我们在规定时间内做更多的事情。-21-思学教育·乐教课堂思学教育人教版小学数学四年级下册知识卡第一章、四则运算1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。5、先乘除，后加减，有括号，提前算关于“0”的运算1、“0”不能做除数；字母表示：a÷0错误2、一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0=a3、一个数减去0还得原数；字母表示：a－0=a4、被减数等于减数，差是0；字母表示：a－a=05、一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0=06、0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a（a≠0）=07、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商.（无意义）第二章、观察物体（二）1、正确辨认从上面、前面、左面观察到物体的形状。2、观察物体有诀窍，先数看到几个面，再看它的排列法，画图形时要注意，只分上下画数量。3、从不同位置观察同一个物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。4、从同一个位置观察不同的物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。5、从不同的位置观察，才能更全面地认识一个物体。第三章、运算定律及简便运算一、加法运算定律：1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+b）+c=a+(b+c)加法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１６５+９３+３５＝９３+（１６５+３５）依据是什么？3、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。a-b-c=a-(b+c)二、乘法运算定律：1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。a×b=b×a2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。（a×b）×c=a×(b×c)乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１２５×７８×８的简算3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。（a+b）×c=a×c+b×c(a－b)×c＝a×c－b×c-22-思学教育·乐教课堂乘法分配律的应用：类型一：（a+b）×c=a×c＋b×c类型二：a×c＋b×c=（a+b）×c类型三：a×99＋a=a×（99+1）类型四：a×99=a×（100－1）=a×100－a×1三、简便计算1．连加的简便计算：①使用加法结合律（把和是整十、整百、整千、的结合在一起）②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。2．连减的简便计算：①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74=106-（26+74）②减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如：106-（26+74）=106-26-743．加减混合的简便计算：第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以交换位置（可以先加，也可以先减）例如：123+38-23=123-23+38146-78+=146+-784．连乘的简便计算：使用乘法结合律：把常见的数结合在一起25与4；125与8；125与80等，看见25就去找4，看见125就去找8；5．连除的简便计算：①连续除以几个数就等于除以这几个数的积。②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。6.乘、除混合的简便计算：第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以交换位置。（可以先乘，也可以先除）例如：27×13÷9=27÷9×13四、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。a÷b÷c1、常见乘法计算：25×4＝1002、加法交换律简算例子：50+98+50＝50+50+98＝100+98＝198=a÷(b×c)(a－b)×c=a×c－b×ca×c－b×c=(a－b)×ca×b－a=a×（b－1）a×102=a×（100+2）=a×100+a×2125×8＝10003、加法结合律简算例子：488+40+60＝488+（40+60）＝488+100＝588-23-思学教育·乐教课堂4、乘法交换律简算例子：5、乘法结合律简算例子：25×56×4＝25×4×56＝100×56＝56006、含有加法交换律与结合律的简便计算：65+28+35+72＝（65+35）+（28+72）＝100+100＝2007、含有乘法交换律与结合律的简便计算：25×125×4×8＝（25×4）×（125×8）＝100×1000＝100000乘法分配律简算例子：1、分解式25×（40+4）＝25×40+25×4＝1000+100＝11003、特殊199×256+256＝99×256+256×1＝256×（99+1）＝256×100＝256005、特殊399×26＝（100—1）×26＝100×26—1×26＝2600—26＝2574一、连续减法简便运算例子：528—65—35528——128=528—（65+35）=528—128—=528—100=400—=428=311二、连续除法简便运算例子：3200÷25÷4=3200÷（25×4）=3200÷100=3299×125×8＝99×（125×8）＝99×1000＝990002、合并式135×12—135×2＝135×（12—2）＝135×10＝13504、特殊245×102＝45×（100+2）＝45×100+45×2=4500+90=45906、特殊435×8+35×6—4×35528—（150+128）=528—128—150=400—150=250-24-＝35×（8+6—4）＝35×10＝350思学教育·乐教课堂三、其它简便运算例子：256—58+44250÷8×4=256+44—58=250×4÷8=300—58=1000÷8=242=125五、有关简算的拓展：１０２×３８－３８×２１２５×２５×３２易错的情况：38×99+99１２５×８８37×96+37×3+37设计方案：租船问题学校组织去游玩，一共48个人参加，大船限乘5人，每只大船的租金的25元；小船限坐3人，每只小船的租金是20元；怎么租船最省钱？方案一：全部租大船48÷5=9（只）……3(人)9+1=10（人）10×25=250（元）方案二：全部租小船48÷3=16（只）16×20=320（元）方案三：租9只大船，一只小船9×25+1×20=245（元）答：租9只大船，1只小船最省钱。第四章、小数的意义和性质1．小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。2、分母是10、100、1000……的分数可以用小数来表示。3、小数是十进制分数的另一种表现形式。4、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……5、每相邻两个计数单位间的进率是10。6、小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。整数部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是10。7、小数的数位顺序表整数部分数位…万位千位百位十位个位·小数点十分位小数部分百分位千分位万分位…计数单位万…千百十一（个）十分之一百分之一千分之一万分之一…（1）6．378的计数单位是0．001。（最低位的计数单位是整个数的计数单位）（2）6．378中有6个一，3个十分之一（0．1），7个百分之一（0．01），8个千分之一（0．001）。（3）6．378中有（6378）个千分之一（0．001）。（4）9．426中的4表示4个十分之一（0．1）[4在十分位]-25-思学教育·乐教课堂8、小数的读法：先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分。读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。9、小数的写法：先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再小数部分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。10、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。作用可以化简小数等。11、小数的大小比较：（1）先比较整数部分；（2）如果整数部分相同，就比较十分位；（3）十分位相同，就比较百分位；（4）以此类推，直到比较出大小。12、小数点的移动小数点向右移：移动一位，小数就扩大到原数的10倍；移动两位，小数就扩大到原数的100倍；移动三位，小数就扩大到原数的1000倍；……小数点向左移：1；101移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的；1001移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的；……1000移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的13、生活中常用的单位：质量：1吨＝1000千克；长度：1千米＝1000米1分米=100毫米1平方米＝100平方分米1平方千米=100公顷1元=10角1千克＝1000克1分米=10厘米1厘米=10毫米1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米1平方分米＝100平方厘米1公顷=10000平方米1角=10分————分米————厘米1元=100分面积：人民币：长度单位：千米————米面积单位：平方千米———公顷———平方米————平方分米———平方厘米质量单位：吨————千克————克单位换算：（1）高级单位转化成低级单位=======乘以进率，小数点向右移动。（2）低级单位转化成高级单位=======除以进率，小数点向左移动。14、小数的近似数（用“四舍五入”的方法）：（1）保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5则向前一位进一。如果小于五则舍。（2）保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。-26-思学教育·乐教课堂（3）保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。（4）为了读写的方便，常常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左移4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作单位的数就是小数点往左移8位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。注意：带上单位。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可。（5）在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。第五章、三角形1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。重点：三角形高的画法。3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。4、边的特性：任意两边之和大于第三边。5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。6、三角形的分类：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。按照边长短来分：三边不等的△，等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念）7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。12、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。13、等边三角形是特殊的等腰三角形14、三角形的内角和等于180度。四边形的内角和是360°有关度数的计算以及格式。15、图形的拼组：两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。18、用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形。一个大的等腰的直角的三角形。19、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。20、多边形内角和计算公式：（n－2）×180°=多边形内角和(其中n表示多边形边数，n－2表示多边形可以分为对少个三角形)第六章、小数的加减法1、计算法则：相同数位对齐（小数点对齐），按照整数计算方法进行计算，得数的小数点要和横线上的小数的小数点对齐。结果是小数的要依据小数的性质进行化简。2、竖式计算以及验算。注意横式上要写上答案，不要写成验算的结果。3、整数的四则运算顺序和运算定律在小数中同样适用。（简算）-27-思学教育·乐教课堂第七章、图形的运动（二）1、把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。2、轴对称的性质：对应点到对称轴的距离都相等。3、对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。4、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴。轴对称图形可以有一条或几条对称轴。5、画对称轴时，先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点，最后连线。6、长方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、线段、菱形都是轴对称图形。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有3条对称轴，线段有1条对称轴，菱形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有一条，圆环有无数条，半圆环有一条。7、平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴。（长方形和正方形除外）8、梯形不一定是轴对称图形。只有等腰梯形是轴对称图形。9、古今中外，许多著名的建筑就是对称的。比如：中国的赵州桥，印度泰姬陵，英国塔桥，法国埃菲尔铁塔。10、平移先找图形点，平移完点连起来，注意数点数要数十字。11、平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置。12、利用平移，可以求出不规则图形的面积。第八章、平均数与条形统计图1、求平均数公式：总数量=每份数相加平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数2、平均数和平均分不一样，是两个不同的概念。3、比赛时，计算平均得分时，一般要去掉一个最高分和一个最低分。平均数能较好的反映一组数据的总体情况，而不能代表其中某个个体的情况。4、条形统计图可以看出数量的多少。复式条形统计图可以更清楚地看出两组数据不同的地方。5、复式条形统计图可分为：纵向复式条形统计图和横向复式条形统计图，必须要有图例。单位长度需统一。第九章、数学广角——鸡兔同笼问题（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；36-14=22（只）……………………………鸡。解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；36-22=14（只）…………………………兔。（答略）-28-思学教育·乐教课堂（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）＝1000-18525÷19=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2=20÷2=10（只）……………………………鸡〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）鸡兔同笼1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果相反。2、“鸡兔同笼”问题的解题方法假设法：①假如都是兔②假如都是鸡③古人“抬脚法”：解答思路：假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。3、公式：鸡兔总脚数÷2－鸡兔总数=兔的只数；鸡兔总数－兔的只数=鸡的只数。-29-思学教育·乐教课堂思学教育新人教版小学五年级上册数学知识卡第一单元《小数乘法》一、小数乘整数的计算方法：1、先将小数转化成整数2、再按照整数乘法的计算方法算出积3、最后确定积的小数点的位置。4、如果积的小数部分末尾若出现0，要去掉小数末尾的0，使小数成为最简形式。二、小数乘小数的算理及计算方法：（1）按照整数乘法算出积，再点小数点；（2）点小数点时，看因数中一共有几位小数，有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点；（3）积的小数位数如果不够，在前面用0补足，再点小数点；（4）积的小数部分末尾有0的要把0去掉。三、积与因数的关系一个因数（0除外）乘大于1的数，积比原来的因数大；一个因数（0除外）乘小于1的数，积比原来的因数小。四、求一个数的小数倍数是多少的问题的解题方法：用乘法计算，即用这个数乘小数倍数。五、小数乘法的常用验算方法：（1）根据因数与积的大小关系检验；（2）交换两个因数的位置，重新计算；（3）用计算器验算。六、用“四舍五入”法求积的近似数：1、先算出积,然后看要保留数位的下一位,再按“四舍五入法”求出结果,用“≈”表示；2、用四舍五入法保留一定的小数位数。四舍五入法：小于5，把它和右边的数全舍去，改写成0大于5，向前进1，再把它和右面的数全舍去，改写成0由于小数的末尾去掉0和加上0，小数的大小不变，所以取小数的近似数时不用把数改写成0，直接去掉。2.205≈2(保留整数)2.205≈2.2(保留一位小数)2.205≈2.21(保留两位小数)3、如果求得的近似数要保留数位的数字是9而后一位数字又大于5需要进1,这时就要依次进一用0占位。如6.597保留两位小数为6.60。特别注意：在保留整数、（一位、两位、三位）小数、省略（亿···万···十分位、百分位···）后面的尾数、精确到（亿···万···十分位、百分位···）这类题目，都可以用划圆圈的方法来完成。七、乘除法运算定律1、乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b=b×a例如：85×18=18×8523×88=88×232、乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示为：(a×b)×c=a×(b×c)注意：乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。例如：25×4=100；250×4=1000；125×8=1000；125×80=100003、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示：(a+b)×c=a×c+b×c，或者是：a×c+b×c=(a+b)×c注意：简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一定要掌握它和它的逆运算。几个数相乘，如果有接近整十、整百、整千……的数，可以将其转化成整十、整百、整千数……加（或减）一个数的形式，再用乘法分配律进行计算。-30-思学教育·乐教课堂八、整数乘法运算定律在小数乘法中的应用：1.整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于小数乘法也适用。2.计算连乘时可应用乘法交换律、结合律将乘积是整数的两个数先乘,再乘另一个数；计算一步乘法时,可将接近整十、整百的数拆成整十整百的数和一位数相加减的算式,再应用乘法分配律简算。3.对于不符合运算定律的算式,可通过变形再进行应用。错点警示:小数乘整数的积的末尾有0时，一定要先点积中的小数点，再去掉积中小数部分末尾的0。规避策略:牢记计算方法和解题过程，先按整数乘法计算，再数小数位数，确定小数点的位置，最后去掉小数部分末尾的第二单元《位置》一、对行和列的认识。1、横排叫做行，竖排叫做列。确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。二、对数列的认识和表示方法。1、用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对，确定一个物体的位置需要两个数据。2、用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，不要把列和行弄颠倒。3、写数对时，用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号把它们隔开。写作：（列，行）。4、数对的读法：（2，3）可以直接读（2，3）,也可以读作数对（2，3）。5、一组数对只能表示一个位置。6、表示同一列物体位置的数对，它们的第一个数相同；表示同一行物体位置的数对，它们的第二个数相同。8、表示位置有绝招，一组数据把它标。竖线为列横为行，列先行后不可调。一列一行一括号，逗号分隔标明了。三、物体移动引起数对的变化。1、在方格纸或田字格上，物体左、右移动（向左或向右平移），行数不变，列数等于减去或加上平移的格数；物体上、下移动（向上或向下平移），列数不变，行数等于加上或减去平移的格数。-31-思学教育·乐教课堂第三单元《小数除法》知识框架：1、小数除以整数数点要和被2、一个数除以小数

小数除法

*计算法则：按整数除法的法则进行计算，商的小除数的小数点对齐。如果有余数，要添0再除。（整数部分不够除，商0，点上小数点。（一位一位落数，不够商1就用0占位。）

3、商的近似数。四舍五入法(结合生活实际，具体问题具体分析)

有限小数

4、循环小数：小数

无限小数

无限循环小数

5、用计算器探索规律6、解决问题

一、小数除以整数1、小数除法的意义：已知两个因数的（积）与其中的一个因数，求另一个因数的运算。如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。2、小数除以整数的计算方法：（1）小数除以整数，先安按整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。3、除到被除数的末尾有余数的小数除法：（1）计算除数是整数的小数除法时，除到被除数的末尾仍有余数，根据小数的性质（小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变）在商的个位后点上小数点，在余数后面添0继续除。（2）小数除以整数如果整数部分不够除，商写上0，点上小数点再除。0在个位起占位作用。如：3.12650.156741237

无限不循环小数

二、一个数除以小数1、除数是小数的除法的计算方法：（1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。（2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足。（3）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。易错点：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。-32-思学教育·乐教课堂2、除法中的变化规律：（1）商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。（2）除数不变，被除数扩大，商随着扩大。（3）被除数不变，除数缩小，商扩大。3、商和被除数的大小关系：被除数除以一个小于1的除数时，商会比被除数大；被除数除以一个大于1的除数时，商会比被除数小。三、商的近似数1、准确数与近似数准确数：在日常生活和生产实际所遇到的数中，有时可以得到完全准确的数，他们精确，没有误差。如：五（1）班有学生46人，这里的46是准确数。近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，或不可能得到精确的数。如：中国约有13亿人，这里的13就是近似数。2、有效数字：一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是零的数算起，到这一位数字上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。例如：0.6166≈0.62，有两个有效数字：6、2。3、求商的近似数时，一般先除到比需要保留的小数位数多一位，在按照“四舍五入”法取商的近似值。易错点：求近似数时，其中小数末尾的“0”不能去掉。四、循环小数&用计算器探索规律1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。注意：循环小数必须满足两个条件2、循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32。3、循环小数的表示方法：写循环小数时，可以只写第一个循环节。并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如：5.33333…4、小数：写作：5.3

；6.965986598…写作：6.96598

小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。五、解决问题先审题，要明白题目中已知什么？要求什么？再根据其关系式进行列出算式，（列算式时多问自己为什么要这样列式）接着进行计算，在计算的过程中，要细心、细心、再细心，最后根据实际情况决定用“进一法”还是“去尾法”。-33-思学教育·乐教课堂第四单元《可能性》一、事件发生的可能性有三种情况：可能、不可能和一定。其中，在一定的条件下，一些事情的结果是可以预知或确定的，就可以用“一定”或“不可能”来描述，表示确定现象。而在一定的条件下，一些事情的结果是不可以预知的或不可以确定的，这时就可以用“可能”来描述，表示不确定现象。二、事件发生的可能性大小：当事件的可能性的大小与物体数量相关时，在总数或总体中物体数量越多，出现对应结果的可能性越大；物体数量越少，出现对应结果的可能性就越小。三、根据事件发生的可能性大小判断物体数量的多少：当可能性的大小与物体数量相关时，某事件发生的可能性越大，则该事件对应的物体在总数中所占数量就越多；可能性越小，所占数量就越少。考点：（1）、可能性的大小可以用分数或小数来表示。例如：从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张，抽到卡片“1”的可能性是多少？（2）、设计公平的游戏规则。例如：指针停在斜线、白、黑三种区域的可能性是多少？（3）、数的排列规律。例如：桌子有三张卡片，分别写着7、8、9。如果摆出的三位数是单数小强赢，如果提出的三位数是双数，小丽赢，想一想，谁赢的可能性大些？这样公平吗？第五单元《简易方程》一、对于乘号的书写形式：（1）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。如：ababab

（2）数字和字母相乘，省略乘号时要把数字写在前面。（如b×4写作4b（3）数与数之间的乘号不能省略。注意：a×a可以写作：a·a(或a)22），a读作：a的平方或a的2次方，表示两个a相乘。2a表示：a+a二、等式的性质：（1）在等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。（2）在方程左右两边同时加、减、乘、除一个不等于0的数，左右两边仍然相等。三、方程和等式的关系：含有未知数的等式叫做方程，（所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。）如：2+3=5是等式，但不是方程。注意：X=3此类也是方程。四、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。五、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。解方程原理：天平平衡。六、解方程需要注意什么？（每天坚持练习）（1）一定要写‘解’字。（2）等号要对齐，同时运算前左右两边要照抄，解的未知数写在左边。（3）两边乘、除相同数的时候，这个数一定不能为0。七、10个数量关系式：加法：和=加数+加数减法：差=被减数-减数乘法：积=因数×因数除法：商=被除数÷除数一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数减数=被减数-差一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商-34-思学教育·乐教课堂八、用S表示面积，用C表示周长。（1）如果用a表示正方形的边长，那么：这个正方形的周长：C=a·4=4a（省略乘号时，一般把数写在字母前面）这个正方形的面积：S（2）=a·a=a（读作：a的平方，表示2个a相乘）2如果用a表示长方形的长，b表示宽，那么：这个长方形的周长：C=（a+b）·2这个长方形的面积：S=a·b=ab九、方程的检验过程：方程左边=.......=方程右边所以，X=.....是方程的解。十、列方程解应用题总结几种情况：（1）比字句。（如：根据比字句找出关系式，列方程）（2）找总量。（如：根据总量找关系式，列方程）（3）相遇问题（如：根据总路程列方程）。（4）根据公式列方程（如：根据公式列方程）。（5）根据不变量列方程。（如：如果每个房间住6人，有20人没床位；如果每房间住8人，正好住满。有多少房间？根据两种方案的不变量“总人数”列方程）。请根据几种情况，找题练习。注意：问题为两个未知量时，一般根据有关倍数的句子，写设。十一、方程解的值的问题：方程的解是一个数值，如x=3，不加单位名称。解方程是一个过程。注意事项：以下内容除了标明的外，全都是正确的方程习题示例，且没有跳步，请仔细观看其中每步的解题意图。带“*”号的题目不会考查，但了解它们有助于掌握解复杂方程的一般方法，对简单的方程也就自然游刃有余了。（一）一步方程只有一步计算的方程，直接逆运算除未知数外的部分。x＋5＝14解：x＋5－5＝14－5x＝9x－6＝7解：x－6＋6＝7＋6x＝133x＝18解：3x÷3＝18÷3x＝6x÷4＝5解：x÷4×4＝5×4x＝20难点：当未知数出现在减数和除数时，要先逆运算含未知数的部分。16－x＝9解：16－x＋x＝9＋xx＋9＝16x＋9－9＝16－9x＝724÷x＝4解：24÷x×x＝4×x4x＝244x÷4＝24÷4x＝6-35-思学教育·乐教课堂（二）两步方程两步方程中，若是只有同级运算，也可以先计算，后当做一步方程求解。注意要“带符号移动”，增添括号时还要注意符号的变化。10＋x－6＝20解：x＋（10－6）＝20x＋4＝20x＋4－4＝20－4x＝16x÷4×8＝9.6解：x×（8÷4）＝9.62x＝9.62x÷2＝9.6÷2x＝4.8或x÷4×8＝9.6解：x÷（4÷8）＝9.6x÷0.5＝9.6x÷0.5×0.5＝9.6×0.5x＝4.8如果含有两级运算，就“逆着运算顺序”同时变化，如含有未知数的一边是“先乘后减”，则先逆运算减法（即两边同加），再逆运算乘法（即两边同时除以），依此类推。2.4x－6＝18解：2.4x－6＋6＝18＋62.4x＝242.4x÷2.4＝24÷2.4x＝10x÷4＋6＝7.8解：x÷4＋6－6＝7.8－6x÷4＝1.8x÷4×4＝1.8×4x＝7.23（x－6）＝6.6解：3（x－6）÷3＝6.6÷3x－6＝2.2x－6＋6＝2.2＋6x＝8.2难点：当未知数出现在减数和除数时，要先把含有未知数的部分看作一个整体（可以看成是一个新的未知数），就相当于简化成了一步方程。6＋÷x＝10解：6＋÷x－6＝10－6÷x＝4÷x×x＝4×x4x＝4x÷4＝÷4x＝165（7.2－x）＝6解：5（7.2－x）÷5＝6÷57.2－x＝1.27.2－x＋x＝1.2＋xx＋1.2＝7.2x＋1.2－1.2＝7.2－1.2x＝6*10－6÷x＝8解：10－6÷x＋6÷x＝8＋6÷x10＝8＋6÷x6÷x＋8－8＝10－86÷x＝26÷x×x＝2×x6＝2x2x÷2＝6÷2x＝3例题中，“÷x”、“7.2－x”和“6÷x”被看成新的未知数（y），因此原方程就可以看成是6＋y＝10，5y＝6和10－y＝8的形式。-36-思学教育·乐教课堂（三）三步方程1、应用乘法分配律，共同因数是已知数的具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是已知数的，既可以逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程，也可以直接算出已知部分而化简。2.4x＋2.4×8＝36解：2.4（x＋8）＝362.4（x＋8）÷2.4＝36÷2.4x＋8＝15x＋8－8＝15－8x＝7x÷4－4.8÷4＝2解：（x－4.8）÷4＝2（x－4.8）÷4×4＝2×4x－4.8＝8x－4.8＋4.8＝8＋4.8x＝12.8或2.4x＋2.4×8＝36解：2.4x＋19.2＝362.4x＋19.2－19.2＝36－19.22.4x＝16.82.4x÷2.4＝16.8÷2.4x＝7或解：x÷4－4.8÷4＝2x÷4－1.2＝2x÷4－1.2＋1.2＝2＋1.2x÷4＝3.2x÷4×4＝3.2×4x＝12.8通过比较可以看出，一般来说提取共同因数的方法确实计算量要少一些，不容易算错。2.应用乘法分配律，共同因数是未知数的具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是未知数的，只能逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程。*8÷x＋12÷x＝42.4x＋3.6x＝36解：（8＋12）÷x＝4解：（2.4＋3.6）x＝3620÷x＝46x＝3620÷x×x＝4×x6x÷6＝36÷x＝20x＝6难点：隐藏的因数或错看的未知数容易成为此类问题的难点和易错点。4x÷4＝20÷4x＝5注意，此为正确解法！！！注意，此为典型错题！！！2.4x－x＝7解：3.6＋2.4x＝15解：3.6＋2.4x＝15解：2.4x－1x＝72.4x＋3.6－3.6＝15－3.6（3.6＋2.4）x＝15（2.4－1）x＝72.4x＝11.46x＝151.4x＝72.4x÷2.4＝11.4÷2.46x÷6＝15÷61.4x÷1.4＝7÷1.4x＝4.75x＝2.5x＝5此步可以不写此步爱跳过的更容易错！用交换律改变位置便于观察！-37-思学教育·乐教课堂（三）其它方程（方程两边都出现未知数的情况）要解决两边都出现未知数的方程，就必须通过“等式的基本性质”，消去一边的未知数，成为我们熟悉的一般形式。因此，常常要将若干个未知数看成整体，共同加上或者减去。3.2x＋8＝4.8x3.2x＋8－3.2x＝4.8x－3.2x（4.8－3.2）x＝81.6x＝81.6x÷1.6＝8÷1.6x＝59－5x＝15－10x9－5x＋10x＝15－10x＋10x9＋5x＝155x＋9－9＝15－95x＝65x÷5＝6÷5x＝1.2解：解：1、方程两边都出现未知数的复杂情况（不作要求）难点：方程两边都有未知数，且未知数是除数（即非0），则可以同时乘以未知数（这时方程的两边都各看作一个整体，里面的每一项都要乘以未知数），再消去一边的未知数。*解：4＋6÷x＝9÷x（4＋6÷x）x＝（9÷x）x4×x＋6÷x×x＝9÷x×x4x＋6＝94x＋6－6＝9－x＝34x÷4＝3÷4x＝0.75*10－8÷x＝13－14÷x解：（10－8÷x）x＝（13－14÷x）x10×x－8÷x×x＝13×x－14÷x×x10x－8＝13x－1410x－8－10x＝13x－14－10x3x－14＝－83x－14＋14＝－8＋143x＝63x÷3＝6÷3x＝2四、总结既然“解方程”是要得到形如“x＝9”这样的“方程的解”，因此就应当将方程中多余的、不想要的部分去掉（通过同时同样的逆运算），而其关键就在于运用“等式的基本性质”——只要保证方程两边的同时同样的变化，哪怕绕了大弯，“方程”最终也一定能被解决！附：方程的检验方程的检验作为一种格式存在，只需要记忆即可，平时一般口算代入检验。6＋÷x＝10解：6＋÷x－6＝10－6÷x＝4÷x×x＝4×x4x＝4x÷4＝÷4x＝16检验：方程左边＝6＋÷x＝6＋÷16＝6＋4＝10＝方程右边所以，x＝16是原方程的解。格式：1、“检验：”2、从“方程左边＝”写起，先写方程左边的表达式3、代入方程的解，逐步计算4、算出答案后，与方程右边的结果比较，得出结论。-38-思学教育·乐教课堂第六单元《多边形面积》一、长方形面积、周长关系式：1、长方形面积=长×宽字母公式：s=ab2、长方形周长=(长＋宽)×2字母公式：c=(a＋b)×2（长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长）二、长方形中面积、周长与长和宽之间的变化关系：（1）长方形的长加宽等于长方形周长的一半。即a+b=c÷2（2）当长方形的周长不变时，长与宽的差越大，这个长方形的面积就越小；反之，长与宽的差越小，这个长方形的面积就越大。（3）当长方形的面积不变时，长与宽的差越大，这个长方形的周长就越长；长与宽的差越小，这个长方形的周长就越短。（4）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。三、正方形面积、周长关系式：1、正方形面积=边长×边长2、正方形周长=边长×4字母公式：s=a²或者s=a×a字母公式：c=4a或者c=a×4四、平行四边形1、认识平行四边形和梯形①四边形分类：一类是两组对边分别平行；另一类是只有一组对边平行平行四边形长方形正方形四边形梯形②平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。2、平行四边形的特征：平行四边形容易变形，具有不稳定性；三角形具有稳定性。3、平行四边形面积的计算公式（1）沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者剪拼，可以将平行四边形转化成长方形。通过观察发现，长方形的长是原平行四边形的底，长方形的宽是原平行四边形的高。-39-思学教育·乐教课堂（2）通过长方形的面积公式，长方形的面积=长×宽，我们可以得到平行四边形的面积公式，如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，可以得到平行四边形的面积==底×高；字母公式为：S=a×h。4、平行四边形面积公式的应用平行四边形的面积公式：S=a×h，经过变形得到：a=S÷h，h=S÷a。在已知平行四边形的底、高和面积中任意两个量时，可求出第三个量。注意：等底等高的平行四边形面积相等。五、三角形部分1.三角形面积的计算公式（1）用两个完全相同的三角形，经过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，也可以说成三角形的面积等于拼成的平行四边形的一半。观察可以发现，平行四边形的底和三角形的底相同，平行四边形的高和三角形的高相同。（2）通过平行四边形的面积公式，可以推导出三角形的面积公式。如果S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积=底×高÷2；字母公式为：S=a×h÷2。2、三角形面积公式的应用三角形的面积公式：S=a×h÷2，经过变形得到：a=2S÷h，h=2S÷a。在已知三角形的底、高和面积三个量中任意两个量，都可以求出第三个量。注意：等底等高的三角形面积相等。-40-思学教育·乐教课堂六、梯形1、梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。生活中的梯形：梯子、堤坝的横截面等平行四边形和梯形的相同点和不同点：相同点：都是四边形；都有平行的对边。不同点：平行四边形的两组对边平行且相等；梯形有且只有一组对边平行，且平行的这组对边不相等。2、平行四边形和梯形各部分名称及高的画法。①为平行四边形和梯形各条边命名平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。②梯形中互相平行的一组对边，较短的边叫做梯形的上底，较长的边叫做梯形的下底，不平行的那组对边，分别叫做梯形的腰。③等腰梯形：两腰相等的梯形。④直角梯形：当一条腰与上底、下底垂直时，这个梯形叫直角梯形。⑤画高时注意：所画的高要用虚线表示；一定要画垂足符号。3、梯形面积的计算公式（1）梯形面积公式的推导过程：旋转、平移，将两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。通过观察可以发现，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底、下底之和，平行四边形的高等于梯形的高。（2）根据平行四边形面积公式，可以推导出梯形的面积公式。因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2，用S表示梯形的面积，a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，梯形的面积公式为：S=(a+b)×h÷2。4、梯形面积公式的应用梯形的面积公式：S=(a+b)×h÷2，经过变形得到：h=2S÷(a+b)，a=2S÷h-b，b=2S÷h-a。在已知梯形的面积、上底、下底和高四个量中任意三个时，都可以求出第四个量。-41-思学教育·乐教课堂七、有关规律：1、在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。2、用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积变小了，因为底不变，高变小了；如果将平行四边形框架拉成一个长方形，则他们的周长不变，面积变大了。3、当三角形和平行四边形面积相等时，若高相等，则三角形的底是平行四边形的2倍，平行四边形的底是三角形的一半。4、三角形和平行四边形的面积相等时，若底相等，则三角形的高是平行四边形的2倍，平行四边形的高是三角形的一半。5、三角形和平行四边形等底等高时，则三角形的面积是平行四边形的一半，平行四边形的面积是三角形的2倍。-42-思学教育·乐教课堂第七单元《植树问题》一、两端要栽：间隔数＝总长÷间距；总长＝间距×间隔数；棵数＝间隔数＋1；间隔数＝棵数－1例题：1、计划在长600米的一条堤上，从头到尾每隔5米栽一棵树，那么需要准备多少棵树苗？2、在一条大道的一侧从头到尾每隔15米竖一根电线杆，共用电线杆86根，这条大道全长是多少米？3、一块菜地的一边长是800米，要沿边做一道栅栏，需从头到尾等距离栽41个木杆，每两个木杆之间相距多少米？二、两端不栽：间隔数＝总长÷间距；总长＝间距×间隔数；棵数＝间隔数－1；间隔数＝棵数＋1例题：1、在相距50米的两楼之间栽一排树，每隔5米栽一棵树，共可栽多少棵树？2、某大学从校门的门柱到公路有一条1000米的小路，每边相隔8米栽一棵白杨，一共可以栽白杨多少棵？3、在一条长2500米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需多少根电线杆？三、锯木问题：段数＝次数＋1次数＝段数－1总时间＝每次时间×次数（两端不栽）例题：1、一根木材，截成3段要10分钟，如果每截一段的时间相等，那么截成9段需要多少分钟？2、锯一条4米长的圆柱形的钢条，锯5段耗时1小时20分。如果把这条钢条锯成半米长的小段，需要多少分钟？3、截一根18米长的木材，每隔3米截一段，共需截多少次。若共用了30分钟，每截一次需多少分。四、方阵问题：最外层的数目是：边长×4—4或者是（边长－1）×4整个方阵的总数目是：边长×边长例题：1、在一块正方形地四周种树，每边都种了15棵，并且四个顶点都种有一棵树。问这个场地四周共种树多少棵？2、某校五年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有学生多少人？3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数共48人，最内层人数共24人，这队学生共有多少人？五、封闭的图形钟点问题（例如围成一个圆形、椭圆形）：总长÷间距＝间隔数；棵数＝间隔数例题：1、时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完，敲8下需要多少秒？六、上楼问题：楼层数=间隔数+1间隔数=楼层数-1总台阶数=间隔数×每层台阶数例题：1、小芳爬楼梯时速度保持不变，从一层到三层用了36秒，若从3层到6层需用多少秒？-43-思学教育·乐教课堂思学教育新人教版小学五年级下册数学知识卡第一单元观察物体1、根据一个方向观察到的形状摆小正方体，有多种摆法，无法确定立体图形的形状。2、根据三个方向观察到的形状摆小正方休，只有1种摆法。3、只要对着原来物体的前面或后面的任意1个正方体添1个正方体，从正面看到的形状就都不变。4、先摆出符合正面的立体图形，再摆出符合上面的立体图形，最后侧面确定立体图形。第二单元因数和倍数6、2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。因数和倍数的描述：谁是谁的因数，谁是谁的倍数。判断方法：大数是小数的倍数，小数是大数的因数7、注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）8、一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。9、一个数的因数的个数是有限的。10、一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。11、一个数的倍数的个数是无限的。12、因数＜或=它本身、倍数＞或=它本身、最大的因数=最小的倍数=它本身13、个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。14、自然数中，是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。不是2的倍数的数叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。15、自然数分成偶数和奇数，最小的偶数是0，最小的奇数是1。16、个位上是0或5的数，是5的倍数。17、个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。18、奇数+/-偶数=奇数奇数+/-奇数=偶数偶数+/-偶数=偶数。19、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。20、既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是120。最大的两位数是90.21、同时满足2.3.5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。22、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。23、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（至少3个因数）24、1既不是质数，也不是合数。25、最小的质数是2，最小的合数是4。26、按因数的个数划分为：自然数分为质数、合数、1和0。27、按2的倍数划分：自然数分为偶数、奇数28、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。29、20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。31、每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。——专注中小学重难点知识系统化辅导44报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第三单元长方体和正方体32、长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。33、长方体有6个面。有12条棱，相对的4条棱的长度相等。长方体有8个顶点。34、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长`宽`高。35、长方体的棱长总和：（1）（长+宽+高）×4（2）长×4+宽×4+高×436、（1）正方体的6个面是完全相同的正方形。（2）正方体的12条棱长度都相等。（3）有8个顶点。37、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。38、正方体的棱长总和=棱长×1239、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。40、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×241、正方体的表面积=棱长×棱长×2、用刀分开物体时，每分一次增加两个面。43、物体所占空间的大小叫做物体得体积。44、长方体的体积=长×宽×高V=abh45、正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V=a³46、a·a·a·也可以写作“a³”，读作“a的立方”，表示3个a相乘47、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。48、长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示：V=Sh（横截面积相当于底面积，长相当于高）。49、1dm³=1000cm³1m³=1000dm³50、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。51、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。52、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。53、1L=1dm³1ml=1cm³1L=1000ml、长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。对于同一个物体，体积大于容积。55、形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。56、排水法的公式：V物体=V现在－V原来57、也可以V物体=S×(h现在-h原来)V物体=S×h升高——专注中小学重难点知识系统化辅导45报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第四单元分数的意义和性质58、一个物体、一个计量单位或者一些物体都可以看作一个整体，也就是单位“1”。59、把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。60、把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位。61、分数与除法的关系：被除数÷除数=被除数

=分子÷分母（除数不能为0，分母也不能够为0））除数

62、求一个数是另一个数的几分之几用除法计算。63、分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。带分数由整数和真分数组成的分数。带分数大于1。真分数＜1≤假分数、、当分子一定是分母的倍数时，假分数可以化成整数：用分子除以分母。如：1414

的分子是14，分母是7，14是7的倍数，所以=14÷7=2。77

65、把假分数化成带分数：用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母是原来的分母。14

=14÷3=4……2，分子除以分母商是4作带分数的整数部分，余数是2作分数部分的分3

142

子，分母是原来的分母3，所以=14÷3=4。33如：66、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。67、两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。两个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数。68、⑴两个连续的自然数只有公因数1，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。如：3和4是两个连续的自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是3×4=12。⑵两个不同的质数只有公因数1，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个质数的积。如：5和7是两个不同的质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是35。⑶一个数是另一个数的倍数，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。如：32是8的倍数，它们的最大公因数是8，最小公倍数是32。69、分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。70、（1）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分时是根据分数的基本性质。（2）约分可以一次性约分（用最大公因数分别去除分子、分母）也可以逐步约分（用公因数分别去除分子、分母）71、（1）比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。（2）、分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分分比较；化成小数比较——专注中小学重难点知识系统化辅导46报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂72、（1）把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分时是根据分数的基本性质。（2）通常用分子和分母的最小公倍数作公分母比较合适。73、小数化成分数：看小数的位数，小数表示是十分之几，百分之几，千分之几……的数，所以可以直接写成分母是10、100、1000……的分数，在化简。74、分数化成小数的方法：（1）利用分数的基本性质将分母化成整十整百…的分数（2）利用分数与除法的关系，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。一般保留两位小数。75、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。第五单元：图形的运动1、轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠后，两边的图形可以完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。2、对称点到对称轴的距离相等。3、旋转要明确绕点，角度和方向。4、图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。5、等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。第六单元：分数的加减法76、同分母分数加、减法法则：分母不变，分子相加、减。结果要是最简分数。77、异分母分数要先通分才能够相加、减。78、分数加减混合运算的顺序和整数的相同。整数加法的交换律、结合律对于分数加法同样适用。第七单元：折线统计图79、条形统计图可以表示数量的多少。折线统计图分为：单式折线统计图和复式折线统计图。不仅可以表示数量的多少，还可以表示数量增减变化的趋势，便于比较。第八单元：数学广角-找次品80、找次品规律：12345…33×33×3×33×3×3×33×3×3×3×3…392781243…81、打电话：打电话要分组，关键要把2来数，几分钟几个2，相乘之积含首数。——专注中小学重难点知识系统化辅导47报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂人教版小学五年级下册数学易错点归纳（精华版）一、简便计算部分加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)例：5

71222

17

12

172951222717172929129



减法的性质：a-b-c=a-(b+c)20202

()41411720202414117217a-(b-c)=a-b+c3718111821517171121817731831121517二、计算部分1、注意计算结果约分，尤其是分子和分母是3的倍数的分数。2、快速找到几个分数的公分母。例：717193186146731818181818118

51158121624242431248



10

241513312242539



612612

1461212

三、解方程等式的性质：a±c=b±ca÷c=b÷cx

a×c=b×cc≠0113x124113解：xxx

124311x

4121x

653745535

解：x

77471x

28x

35812

3353

解：x

8812819x

24

四、长方体和正方体的计算hba长方体的棱长和=4a+4b+4h=4(a+b+h)长方体的表面积=2(ab+bh+ah)位）长方体的体积=abha正方体的棱和正方体的表面正方体的体积==12a积=（长度单位）（面积单a2a3（体积单位）五、知识点1、几个最小：最小的自然数是0，最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。——专注中小学重难点知识系统化辅导48报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂2、一个数的最大因数是它本身，最小因数是1；一个数的最小倍数是它身，没有最大倍数。一个数的最大因数等于它的最小倍数。3、图形的变换有：平移、对称、旋转、放大与缩小。4、旋转的三要素：方向、角度、中心点（定点）。5、长方形的对称轴有2条，正方形的对称轴有4条，圆形有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴，扇形只有1条对称轴，等腰三角形只有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形只有1条对称轴，菱形有2条对称轴。一般的平行四边形不是轴对称图形。6、长方体和正方体都有6个面，8个顶点，12条棱。长方体每个面一般都是长方形，特殊情况有相对的两个面是正方形，其余四个面都是面积相等的长方形。长方体相对的棱长度相等，相对的面的面积相等，长方体有4条长，4条宽，4条高。正方体也叫立方体，是长、宽、高都相等的特殊的长方体，正方体每个面都是正方形且面积都相等。7、体积：物体所占空间的大小。常用的体积单位有：m3.dm3.cm3容积：容器、桶、仓库等所能容纳物体的体积。常用的容积单位有：lml体积与容积间的单位换算：ldm3........lcm38、分数与除法的关系：分数的分子相当于除法里的被除数，分母相当于除法里的除数，分数线相当于除法里的除号，分数的大小（分数的值）相当于除法里的商。区别：分数是一种数，除法是一种运算。它的关系用字母表示为：a

abb0b9、分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1；分子比分母大（或相等）的分数叫假分数，假分数大于或等于1。10、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。11、最bbcbc

(a0,c0)aacac简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫最简分数。12、同分数加减法的计算法则：分母不变，把分子相加减。13、异分母加减法的计算法则：先通分，再按照同分母加减法的计算法则进行计算。14、众数：一组数据中出现次数最多的数据，它反映一组数据的集中情况。在一组数据中可能没有众数，也可能有多个众数。15、常用的统计图：条形统计图，折线统计图，扇形统计图。16、找次品的方法：一般把产品个数分成三份，其中两份数量要相等。利用最不利原则去分析和考虑。2-3个数量至少需要1次找到，4-9个数量至少要2次找到，10-27个数量至少要3次找到，28-81个数量至少4次找到。17、奇数：不是2的倍数的数。偶数：是2的倍数的数。18、质数：一个数除了1和它本身两个约数，没有别的约数的数。合数：一个数除了1和它本身以外，还有别的约数的数。1不是质数，也不是合数。19、2的倍数的特点：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数的特点：个位上是0或5的数。3的倍数的特点：一个数各位上的数字之和是3的倍数的数。20、互质数：只有公因数1的两个数。如：2和5，9和8，7和15，4和9。——专注中小学重难点知识系统化辅导49报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂六、解决问题1、求一个量是另一个量的几分之几的？方法：用一个量除以另一个量。注意：结果约成最简分数。例：把5克糖放入20克水中，糖的重量占水的几分之几？糖的重量占糖水的几分之几？解答思路：第一问题是求糖的重量是水的几分之几应该用糖的重量去除以水的重量。而第二问题是求重量是糖水的重量的几分之几应该用糖的重量去除以糖水的重量。根据分析列式为：51

20451

5(205)

255520

2、分数加减法应用题例1：水果店里原有水果322

吨，卖出吨后又运进吨。水果店现在有水果多少吨？534解答思路：由于每个分数都带上了单位，所以每个分数表示具体的数量。应该用我们以前学的整数应用题的解答方法进行解答。32245244061(吨）4536060606021

例2：班有45人，有的同学参加了语文兴趣小组，有的同学参加了数学兴趣小组，其53余的参加了音、体、美兴趣小组。参加音、体、美兴趣小组的同学占全班同学的几分之几？解答思路：本题的每个分数没有带单位，它表示量与量之间的关系。因此本题应把全班45人看作单位“1”进行思考。1

211565315151515

3、长方体正方体表面积、体积的应用方法：根据题意学会画图进行分析思考，抓住重点词句，利用好其计算公式。例1：给一个无盖长方体水缸抹水泥，从里面量得长8分米，宽4分米，深6分米；抹水泥的面积是多少？解答思路：这是关于长方体的表面积的应用，从无盖和抹水泥的面积中可以看出。在计算时，由于无盖只算五个面。8×4+8×6×2+4×6×2=176（平方分米）例2：学校有一个长方体沙坑，长2.4米，宽1.5米，深0.6米。如果每筐沙有0.03立方米，填满这个沙坑要多少筐沙？解答思路：根据每筐沙有0.03立方米，可以看出本题是与长方体的体积有关。应先求长方体沙坑的体积，看它的体积里面有多少个0.03立方米，就求出了问题。2.4×1.5×0.6÷0.03=72（筐）——专注中小学重难点知识系统化辅导50报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂例3：把一个长15厘米的长方体平均截成三个小正方体，表面积会增加多少平方厘米？解答思路：根据画图观察，我们以现平均截成三小正方体后，每个小正方体的棱长为（15÷3）厘米，而且表面积增加了4个小正方形的面积。15÷3=5（厘米）5×5×4=100（平方厘米）例4：把一个长20分米的长方体锯成5个同样大小的长方体，表面积增加了160平方分米，原来这个长方体的体积是多少立方分米？解答思路：根据画图观察，我们发现锯成5个同样大小的正方体后增加了8个小正方形的面积，所每个小正方形的面积为160÷8，根据长方体的体积公式底面积乘高。从而求出其体积。160÷8×20=400（立方分米）4、最大公因数和最小公倍数的应用例1：五一班有48人，五二班有56人。如果把这两个班分成人数相等的小组，每组最多几人？一共可分几个小组？解答思路：根据题意，要想两个班分成的人数相等，说明这个人数既是48的因数，也是56的因数，由于是求每组人数最多几人，所以是求它们的最大公因数。48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48.56的因数有：1，2，4，7，8，14，28，56。48和56的最大公因数是8。所以每组人数最多是8人。48÷8+56÷8=13（组）例2：一个班有40多人，如果4个人一组或6个人一组都能刚好分完，这个班有多少人？解答思路：根据题意，4人一组或多或6人一组都能刚好分完，所这个班的人数既是4的倍数也是6的倍数。所以是4和6的公倍数，并且是在40多的一个公倍数。4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48。6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48。4和6的公倍数有：12，24，36，48。所以这个班有48人。5、找次品有一批零件共15个，其中有一个比其它零件轻一些，你能用天平找出这个次品来吗？至少要几次一定能找到这个次品？解答：15个零件（5，5，5）先天平各放5个，如果不平衡，将其中轻的5个零件再分成（2，2，1），又将天平各放2个，如果不平衡，最后将轻的2个零件再分面（1，1）。这样至少三次就可以找出这个较轻的零件了。——专注中小学重难点知识系统化辅导51报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂六、旋转（顺时针旋转和逆时针旋转。）七、钟面上的旋转每个大格是30度，每个小格是6度。八、最大公因数和最小公倍数方法：列举法短除法集合法口算法18和12（6）[24]30和60（30）[60]7和5（1）[35]8、6和12（2）[24]如果两个数是倍数关系，则它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。十、通分与约分依据：分数的基本性质用字母表示：例1：将下面的分数约成最简分数bbcbc(a0,c0)aacac1818632424

6623882435和863339883245542066424

1818632424

75和24127724245101224例2：将下面的各组分数进行通分——专注中小学重难点知识系统化辅导52报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂十一、分数与小数的互化小数化分数的方法：先将小数改写成分母是10、100、1000的分数，能约分的再约分。例0.04

44411001004253.4

341742或3.433105105分数化成小数的方法：一般根据分数与除法的关系，用分子除以分母，除不尽的保留一定的小数位数。例33257530.75或340.74251004常用的分数与小数间的互化。5

560.8361

0.521

0.23

0.71525350.20.40.60.8

183858780.1250.3750.6250.875

1

0.05201

0.04251

0.0250

十二、分解质因数方法：将合数写成几个质数相乘的形式。28、30、24、32、77、10028=2×2×7十三、分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。——专注中小学重难点知识系统化辅导53报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂思学教育新人教版六年级上册数学知识卡第一单元分数乘法一、分数乘法的计算（一）、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）例如：33412

✖4==555

343412

575735

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。例如：3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（二）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。例如：363255534123573553331555

一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。例如：一个数（0除外）乘1，积等于这个数。例如：（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：（a+b）×c=ac+bcac+bc=（a+b）×c二、分数乘法的解决问题（如果单位1是已知的,要求它的几分之几，就用乘法）1、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。“是”前用乘，“是”后用除2、求一个数的几倍：一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数×几分之几。3、写数量关系式技巧：（1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”（2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1+-分率）=分率对应量——专注中小学重难点知识系统化辅导报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第二单元位置与方向1、位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。2、东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。3、确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。4、根据方向和距离确定物体位置的方法：（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度）；（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。5、要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。6、绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即代表多长距离。7、在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。8、描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变），距离相同。9、两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南30°100米，则乙在甲西偏北30°100米）10、描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。11、在平面图上确定物体的位置与方向关键要做到三点：（1）确定好观测点及单位长度；（2）找准方向；（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。12、以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离13、绘制路线图的步骤①画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺()②确定起点的位置。③根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点④以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。⑤标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的)——专注中小学重难点知识系统化辅导55报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第三单元分数除法1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。3、1的倒数是1；0没有倒数。因为1×1=1；0乘任何数都得0，（分母不能为0）11ba4、对于任意数a(a≠0)，它的倒数为。非零整数a的倒数为。分数的倒数是aaab5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。一、分数除法1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。3、规律（分数除法比较大小时）：当除数大于1，商小于被除数；当除数小于1（不等于０），商大于被除数；当除数等于1，商等于被除数。4、“[]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1+-分率）=分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数÷另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：①求多几分之几：大数÷小数–1②求少几分之几：1-小数÷大数或①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数求的不是单位“1”单位“1”的量×对应分率单位“1”的量×对应分率——专注中小学重难点知识系统化辅导56报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第四单元比和比的应用（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如15：10=15÷10=（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）∶∶∶∶前项比号后项比值3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联系：比除法分数前分项子比除号“：”号“÷”后项除数分母比值商分数值被除数分数线“—”7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。（2）用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。如：15∶10=15÷10==3∶25．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。如：已知两个量之比为a：b，则设这两个量分别为ab6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）——专注中小学重难点知识系统化辅导57报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第五单元圆一、圆的基本概念1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。17．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21用字母表示为：d＝2r或r＝d28、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形（也叫正三角形）只有4条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π（pai）表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式：C=πdd=C÷π或C=2πrr=C÷2÷π5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr＋2r——专注中小学重难点知识系统化辅导58报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长因为：长方形面积=长×宽所以：圆的面积=圆周长的一半×圆的半径S圆=S圆=πr×rπr²圆的面积公式：4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）S环=πR²－πｒ²或S环=π（R²－ｒ²）5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。6、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶97、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。9、确定起跑线：（1）、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2×π×跑道的宽度（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。C长=(a+b)×2a=C÷2-bb=C÷2-aC正=a×4a=C÷4S长=a×ba=S÷bb=S÷aS正=a×aS圆=πr²C圆=πdC圆=2πrr=d÷2r=C÷2÷πd=C÷π圆周长的一半=πrr=圆周长的一半÷π半圆周长=(π+2)rr=半圆周长÷(π+2)S环=π(R²－ｒ²)nnnL弧=πr×C扇=πr×+2rS扇=πr²180180360——专注中小学重难点知识系统化辅导59报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂11、常用各π值结果：π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π=15.721.988π=25.129π=28.2610π=31.416π=50.2425π=78.9π=153.86π=200.9681π=2.34100π=31412、常用平方数结果11²=12112²=14413²=16914²=19616²=25617²=218²=32419²=3616π=18.8436π=113.047π=15²=22520²=400第六单元百分数（一）一、百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联系与区别：（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。（2）区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。（二）百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数：①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化113=0.5=50%=0.25=25%=0.75=75%2441234=0.2=20%=0.4=40%=0.6=60%=0.8=80%55551357=0.125=12.5%=0.375=37.5%=0.625=62.5%=0.875=87.5%88881111=0.0625=6.25%=0.05=5﹪=0.04=4﹪=0.02=2﹪16202550——专注中小学重难点知识系统化辅导60报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂三、用百分数解决问题（一）一般应用题1、常见的百分率的计算方法：①合格率=合格产品数/产品总数×100%②发芽率=发芽种子数/种子总数×100%③出勤率=出勤人数/总人数×100%④达标率=达标人数/总人数×100%⑤成活率=成活数量/总数量×100%⑥出粉率=粉的重量/出粉物的重量×100%⑦出米率=米的数量/出米物的重量⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%⑨烘干率=烘干后的重量/烘干前的重量×100%⑩含水率=(烘干前的重量-烘干后的重量)/烘干前的重量×100%含水率=(水的质量/水与物体的总质量)×100%含糖率=糖的重量/糖水的重量×100%含盐率=盐的重量/盐水的重量×100%近视率=近视人数/总人数×100%命中率=命中的次数/投篮次数×100%百分率表示两个数的比，是没有单位名称的一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1+-分率）=分率对应量3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量÷单位“1”的量×100%①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数第七单元扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）第八单元数学广角——数与形在解决问题中，计算基于图形，画个图形，关系就变得非常明晰——专注中小学重难点知识系统化辅导61报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂思学教育新人教版六年级下册数学知识卡第一单元负数1、负数的由来：为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……），仅有学过的0，1，3.4，2……5是远远不够的。所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负2、负数：小于0的数叫负数（不包括0），数轴上0左边的数叫做负数。若一个数小于0，则称它是一个负数。负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数）2负数的写法：数字前面加负号“—”号，不可以省略.例如：-2，-5.33，-45，-53、正数：大于0的数叫正数（不包括0），数轴上0右边的数叫做正数.若一个数大于0，则称它是一个正数。正数有无数个，其中有（正整数，正分数和正小数）2正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。例如：+2，5.33，+45，、0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限负数都小于0，正数都大于0，负数都比正数小，正数都比负数大5、数轴：负●正分界●0负负数左边0＜正正数右边6、比较两数的大小：①利用数轴：负数＜0＜正数或左边＜右边②利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负数之间比较大小，数字大的反而小，数字小的反而大.1111＞-＜-3636第二单元百分数(二)（一）、折扣和成数1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。86.565几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如八折==80﹪，六折五===65﹪1010100解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪——专注中小学重难点知识系统化辅导62报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂2、成数：18.585几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如一成==10﹪，八成五===80﹪1010100解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪（二）、税率和利率1、税率（1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。（2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。（4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。（5）应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率2、利率（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。（2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。（3）本金：存入银行的钱叫做本金。（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。（5）利率：利息与本金的比值叫做利率。（6）利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间利率＝利息÷时间÷本金×100％（7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)购物策略：估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案学后反思：做事情运用策略的好处——专注中小学重难点知识系统化辅导63报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第三单元圆柱和圆锥（一）、圆柱1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。）2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的3、圆柱的特征：（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。（3）高的特征：圆柱有无数条高4、圆柱的切割：①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr²②竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh5、圆柱的侧面展开图：①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，展开图形为正方形②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形③无论怎么展开都得不到梯形6、圆柱的相关计算公式：底面积：S底=πr²底面周长：C底=πd=2πr侧面积：S侧=2πrh表面积：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh体积：V柱=πr²h考试常见题型：①已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积⑤已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算无盖水桶的表面积=侧面积＋一个底面积油桶的表面积=侧面积＋两个底面积烟囱通风管的表面积=侧面积只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类——专注中小学重难点知识系统化辅导报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂（二）、圆锥1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的圆锥也可以由扇形卷曲而得到2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高3、圆锥的特征：（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。（3）高的特征：圆锥有一条高。4、圆柱的切割：①横切：切面是圆②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2rh5、圆锥的相关计算公式：底面积：S底=πr²底面周长：C底=πd=2πr1体积：V锥=πr²h3考试常见题型：①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算（三）、圆柱和圆锥的关系1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。24、圆柱与圆锥等底等高，体积相差Sh3题型总结①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间)③横截面的问题④浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体，正方体⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，1注意不要乘以3——专注中小学重难点知识系统化辅导65报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂（四）、典型题：1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的π倍，即h=C=πd,它的侧面积是S侧=h²2、圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，表面积扩大2倍，体积扩大4倍。3、圆柱的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。4、圆柱的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，表面积不变，体积扩大3倍。5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48立方厘米，这个圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1：3，圆柱占1份，圆锥占3份，一共4份，题目中说了4份的和一共是48立方厘米。圆锥占了4份中的1份，圆柱占了4份中的3份1V锥：48÷4=12(立方厘米)或48×=12(立方厘米)43V柱：48÷4=12(立方厘米)12×3=36(立方厘米)或48×=36(立方厘米)46、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24立方分米，这个圆柱的体积是（）立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1：3，圆柱占1份，圆锥占3份，1份和3份相差了2份，题目中说了相差24立方分米，2份就是24立方分米圆锥占了2份中的1份，圆柱占了2份中的3份1V锥：24÷2=12(立方分米)或24×=12(立方分米)23V柱：24÷2=12(立方分米)12×3=36(立方分米)或24×=36(立方分米)27、一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，圆柱的高是2厘米，圆锥的高是（）厘米。V柱=V锥V柱=V锥11S柱底h柱=S锥底h锥S柱底h柱=S锥底h锥3311h柱=h锥S柱底=S锥底33112=h锥4=S锥底3311h锥=2÷S锥底=4÷33h锥=6S锥底=128、一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，圆柱的底面积是4平方分米，圆锥的底面积是（平方分米。）——专注中小学重难点知识系统化辅导66报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：6。如果圆锥的高是3.6厘米，圆柱的高是（）厘米，如果圆柱的高是3.6厘米，圆锥的高是（）厘米。1S锥底h锥3S柱底h柱1h锥3h柱h柱×1=161S锥底h锥3S柱底h柱1h锥3h柱h柱=h柱÷16161×h锥×631h柱=×3.6×63h柱=7.2161×h锥×631÷6=h锥313.6÷÷6=h锥310、一个圆柱体，把它的高截短3厘米，它的底面积减少94.2平方厘米，这个圆柱的体积减少了（）立方厘米。πr²C=S侧÷hr=C÷π÷2V=πr²h=94.2÷3=31.4÷3.14÷2=3.14×5×3=31.4(厘米)=5(厘米)=235.5(立方厘米)四、比例1、比的意义（1）两个数相除又叫做两个数的比（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。（5）比的后项不能是零。（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。3、求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。4、按比例分配：在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。——专注中小学重难点知识系统化辅导67报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。6、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。7、比和比例的区别（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。y用字母表示=k（一定）x9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。12、比例尺的分类（1）数值比例尺和线段比例尺（2）缩小比例尺和放大比例尺图上距离13、图上距离：实际距离=比例尺或=比例尺实际距离实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离14、应用比例尺画图的步骤：（1）写出图的名称、（2）确定比例尺；（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺15、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。16、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。17、常见的数量关系式：（成正比例或成反比例）单价×数量=总价单产量×数量=总产量速度×时间=路程工效×工作时间=工作总量总价总产量路程工作总量=数量=数量=时间=工作时间单价单产量速度工作效率总价总产量路程工作总量=单价=单产量=速度=工作效率数量数量时间工作时间18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。——专注中小学重难点知识系统化辅导68报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂19、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？答：每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。20、判断下面各题的两个量是不是成比例，如果成比例，成什么比例？（1）订阅《中国少年报》的份数和钱数。钱数因为=每份的钱数（一定）订阅《中国少年报》的份数所以，订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。（2）三角形的底一定，它的面积和高。三角形的面积1因为=（一定）高2所以，它的面积和高成正比例。（3）图上距离一定，实际距离和比例尺。因为，实际距离×比例尺=图上距离（一定）所以，实际距离和比例尺成反比例。（4）一条绳子的长度一定，剪去的部分和剩下的部分。因为，剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系，所以，剪去的部分和剩下的部分不成比例。（5）圆的面积和它的半径不成正比例，因为圆的面积和它的半径的比值不一定，所以圆的面积和它的半径不成正比例。自行车里的数学：前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数蹬一圈走的路程=车轮周长×（蹬一圈，后轮转动的圈数）蹬一圈走的路程=车轮周长×（前齿轮齿数：后齿轮齿数）48:28≈1.7148:24=248:20=2.448:18≈2.6748:16=348:14≈3.4340:28≈1.4340:24≈1.6740:20=240:18≈2.2240:16=2.0:14≈2.86前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走的就远，因而车速快，但骑车人较费力前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，这种组合走的就近，因而车速慢，但骑车人较省力自行车跑的快慢与两个条件有关：1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小（合理）——专注中小学重难点知识系统化辅导69报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂第五单元数学广角—鸽巢问题1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理,在解决数学问题时有非常重要的作用①什么是鸽巣原理,先从一个简单的例子入手,把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放法,如下表放法1234盒子13210盒子20123无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。这个结论是在“任意放法”的情况下,得出的一个“必然结果”。类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子如果有6封信,任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣,可以得到鸽巣原理最简单的表达形式②利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+12、摸2个同色球计算方法。①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。③公式：两种颜色：2＋1＝3（个）三种颜色：3＋1＝4（个）四种颜色：4＋1＝5（个）常见乘法计算（敏感数字）：25×4＝100加法交换律简算例子210.875++38721=++838712=++8832=1+3加法结合律简算例子21++0.834214=++345214=+(+)3452=+13125×8＝1000乘法交换律简算例子50.4×33×225=×33×5222=××3355=1×3乘法结合律简算例子1623×0.375×3316=23××83316=23×(×)83=23×2——专注中小学重难点知识系统化辅导70报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂含加法交换律与结合律含乘法交换律与结合律数字换减法式2112916750.875+++0.375×××35×38373293672113291675=+++=×××=(36-1)×83838732936712131629755=+++=×××=36×-1×883383729363671213162975=(+)+(+)=(×)×(×)=5-88338372936=1+1=2×1乘法分配律提取式9101×0.9-×11099=101×-×1101099=101×-1×10109=(101-1)×109=100×10减法的性质简算例子518--0.375853=18--8853=18-(+)88=18-1乘法分配律(添项)995.5÷1.6-15.5÷1.6101×0.9-1099=(95.5-15.5)÷1.6=101×-101099=80÷1.6=101×-1×10109=800÷16=(101-1)×109=100×10减法的性质简算例子减法的性质简算例子37271--0.7512-(+0.4)416516373272=1--=12-(+)415165337227=1--=12--4416551677=1-=12-1616除法的性质简算例子2700÷2.5÷2.7=2700÷2.7÷2.5=1000÷2.5除法的性质简算例子5900÷(2.5×5.9)=5900÷5.9÷2.5=1000÷2.5乘法分配律提取式数字换加法式9101×1091099=100×+1×10109=1+10=(100+1)×乘法分配律(添项)5552×+29×-0.62588555=52×+29×-888555=52×+29×-1×8885=(52+29-1)×85=80×8数字换乘法式0.56×125=0.7×0.8×125=0.7×(0.8×125)=0.7×100除法的性质简算例子3200÷2.5÷0.4=3200÷(2.5×0.4)=3200÷1数字换乘法式33333×33333=11111×3×33333=11111×99999=11111×(100000-1)同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家2722711+-250÷0.8×0.41-+31633163227217=1-+=250×0.4÷0.8=1+-3316331677=1+=100÷0.8=2-1616——专注中小学重难点知识系统化辅导7129×0.25÷0.29=29÷0.29×0.25=100×0.25报名电话：15198725909（）思学教育·乐教课堂解方程方法一：消项(如果消＋3，方程两边就同时－3；如果消×3，方程两边就同时÷3)1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一2：如果两边都有几,要先消去其中一边的几(如果有“-几”，就把“-几”消去，如果没有“-几”，就把较小的消去掉)3：消去“-几”，消去“÷”4：把这边的数字全部消掉，先消“+-”再消“÷”最后消“×”(注意：无论解到哪一步，数字+几都要写成几+数字)解方程方法二：移项(＋3移到另一边就变成－3，×3移到另一边就变成÷3)1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一2：如果两边都有几,就把其中一边的几移到另一边(如果有“-几”，就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”，就把较小的移到另一边)3：把“-几”移到另一边，把“÷”移到另一边”4：把这边的数字全部移到另一边，先移“+-”再移“÷”最后移“×”(注意：无论解到哪一步，数字+几都要写成几+数字)单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米km1分米=10厘米mdmcm1米=100厘米mm1厘米=10毫米mm²面积单位换算km²m²dm²cm²1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方米=1000升质量单位换算1吨=1000千克人民币单位换算1元=10角LmLm³dm³cm³1立方分米=1000立方厘米1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升tkɡɡ1千克=1公斤1千克=1000克1角=10分1元=100分mins时间单位换算h1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\\3\\5\\7\\8\\10\\12月小月(30天)的有:4\\6\\9\\11月平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒——专注中小学重难点知识系统化辅导72报名电话：15198725909（）