第一章 矩阵练习题

1.设A为n阶对称矩阵, B为n阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ). (A)ABBA; (B)ABBA; (C)(AB)2; (D)BAB;

2.均为n阶方阵, 则下面结论正确的是( B ).

(A)若A或B可逆, 则AB必可逆; (B)若A或B不可逆, 则AB必不可逆; (C)若A、B均可逆, 则AB必可逆; (D)若A、B均不可逆, 则AB必不可逆.

3.若n阶方阵A、B都可逆, 且ABBA, 则下列( D )结论错误.

(A)A1BBA1; (B)AB1B1A; (C)A1B1B1A1; (D)BA1AB1;

4.设A、B、C为同阶方阵, 且ABCE, 则下列各式中不成立的是( D ).

(A)CABE; (B)B1A1C1E; (C)BCAE; (D)C1A1B1E.

5.设A、B为同阶可逆矩阵, 则有( D ).

(A)ABBA; (B)存在可逆矩阵P, 使P1APB; (C)存在可逆矩阵C, 使CTACB; (D)存在可逆矩阵P和Q, 使PAQB;

6.初等矩阵( A )

(A)都是可逆阵; (B)的行列式之值等于1; (C)相乘后仍为初等矩阵; (D)相加后仍为初等矩阵;

a22a23a11a12a13a21, Ba, aaaaa7.设A212223111213a31a32a33a31a21a32a22a33a23010 P110010(A)0100

二、填空题

101. 设A00522.设A00001P2AB, 则P2( C ). , 设有P11101100100010; (C)010; (D)010; 0; (B)1001101011010020100101000010010000, 则A100=________.

99990011339999220023230001225000, 则A1=__________ 02013231001313003.设ai0,i1,2,3,n, 且A0an01a1则A1=___00

a10000a20000,

an10001a200001an11an00____. 0423386, 且296___. 1104.设A, 则=__ABA2BB21291235.已知A为n阶可逆阵, 则[I(IA)(IA)1](IA)=__2I__.

6.若对任意的n1矩阵x均有Ax0, 则A=__O__.

三、计算题

111.设1n矩阵X[,0,0,], AEXTX, BE2XTX, 其中E为n阶单位阵,

22求AB.

1解: ABEXTX2XTXXTX, 注意到: XXT,

2TT故ABEXXXXE.

112.设T[1,2,3], T[1,,], 且AT, 求An.

2311123111111223, 解: AT2[1,,]22, T[1,,]23233333312 An(T)(T)T3n1T13.已知三阶矩阵A的逆阵为: A1111n1n1n2333223n123n123n2. 1nnn1333211*

21, 求的伴随矩阵的逆阵. AA13解: 由AA*A*A|A|E, 知: (A*)1A*AAA*E, |A||A|(A*)12A,

A|A1|A, 经计算得: |A1|2, |A|111100r12(1)11~01121010 [A1E]113001r13(1)001000110 21011r21(1)1~01r3()0252 故, A1120101012112110510100122r(1)310101100,

1~110001222115212. 22010, (A*)12A110102111201, B020, 已知AXBAXA2BA2B, 求矩阵. 0114.设矩阵AX001002316. 033解: XAA1B(BE)10035.设A,B为n阶方阵, 且满足: 2B1AA4E, 其中En阶单位矩阵.

120, 求矩阵. 120(1)证明: B2E为可逆矩阵, 并求(B2E)1; (2)已知AB002111, 且A2ABEO, 求矩阵. 0116.已知三阶方阵AB001解: 由A2ABEO, 得: A(AB)E, |A|1, 故A可逆, ABA1, BAA1,

111100102110100112~011010 ~010011 [A|E]011010001001001001001001112111112023, B011011002. A1011001001000001010, 试求[(A*)T]1, 其中012327.设AA*是A的伴随矩阵. 0152040111TA, [(A*)T]1[(A*)1]T[A]TA024解: (A*)1. |A||A||A|0610001111,B022, 0208. 已知矩阵A、B满足BXAB1BXIO, 其中A110100求矩阵X.

解: 由BXAB1BXIO得: BX(AB1I)I,

容易验证: B,AB1I均可逆,

故有: XB1(AB1I)1[(AB1I)B]1(AB)1

0111010. 0020100101201122, A*是的伴随矩阵, 0249.设矩阵A、B满足A*BA2BA8E, 其中AA100求矩阵B.

解: A*BA2BA8E, (2EA*)BA8E,

B8(2EA*)1A18(2AAA*)1,

又A*A|A|E, 及|A|2, 故A*A2E,

从而B8(2AAA*)18(2A2E)14(AE)1,

22212132246, (AE)101, B048 0142而AE2012200000

四、证明题

1.设A、B都是n阶对称矩阵, 且ABE及A都可逆, 证明: (ABE)1A为对称矩阵.

2.设A、B为n阶矩阵, 证明: (1)若ABAB, 则ABBA; (2)若ABAB, 则ABBA.

3.设A为n阶方阵, 且A2A, 证明: (AE)mE(2m1)A, 其中m为正整数.

1m12m2m1mACmACmACmE, 解: (AE)mAmCm因为A2A, 所以A3A2AAAA,…, AkAk2A2Ak2AAk1A, 012m1CmCmCm)AEE(2m1)A. 故(AE)m(Cm

4.设A,B为n阶矩阵, 其中B是可逆矩阵, 且满足A2ABB2O, 证明: A与AB均可逆, 并求A1与(AB)1. 证明: A2ABB2O, A(AB)B2,

因为B是可逆矩阵, 所以|B|0, |A||(AB)||B2|(1)n|B|20, 故A与AB均可逆, 且A1(AB)(B2)1, (AB)1(B2)1A.

5.已知n阶方阵A满足2A(AE)A3, 证明EA可逆, 并求(EA)1 解: 由2A(EA)A3, 得: 2A(AE)EA3E,

即, (EA)(2A)(EA)(A2AE)E, 即, (EA)(A2AE)E, 故EA可逆, (EA)1A2AE.

6.设A为n阶矩阵, 且A3A22AEO, 其中E为n阶单位矩阵, 证明: A与EA均可逆, 并求A1与(EA)1.

7.设A,B为n阶矩阵, B与EAB均是可逆矩阵, 证明: EBA也可逆, 并求(EAB)1.

证明: EBABB1BAB(B1A)B(EB1ABB1)B(EAB)B1, 而B与EAB均可, 故EBA也可逆, 且(EBA)1B(EAB)1B1.

8.设n阶矩阵A和B满足: ABAB.

(1)证明: AE为可逆矩阵, 其中En阶单位矩阵; (2)证明: ABBA;

130, 求矩阵. 210(3)已知BA002110211解: (3) AE(BE)10

30029.设A,B为n阶可逆阵, 证明: 矩阵EBA可逆, 且(EBA)1EB(EAB)1A. 证明: (EBA)[EB(EAB)1A](EBA){E[A1(EAB)B1]1} (EBA){E[A1(EAB)B1]1}(EBA)[E(A1B1E)1] (EBA)[(A1B1E)(A1B1E)1(A1B1E)1]

(EBA)[(A1B1EE)(A1B1E)1](EBA)A1B1(A1B1E)1

(A1B1E)(A1B1E)1E,

故EBA可逆, 且(EBA)1EB(EAB)1A.

100, 求矩阵. 03110.已知A2A,2ABABI, 试证AB可逆, 若AB062解: 由题设可得: (AI)(AB)A2ABABI, 即 (AB)1AI,

0120, BA(AI)10723294011.(1)证明: 如果n阶方阵A满足AkO, kN, 则EA可逆,

且(EA)1EAA2Ak1;

(2)若AkE, 则EA是否必不可逆? 证明: (1)因为AkO,

所以(EA)(EAA2Ak1)EAA2Ak1AA2Ak1Ak EAkE,

故EA可逆, 且(EA)1EAA2Ak1; (2)若AkE, 则EA仍可能是可逆的,

例如AE, A2(E)2E, 而EA2E可逆.

12.设f(x)a0xma1xm1am1xam, 又A为n阶矩阵, 如果am0, 且f(A)O, 证明A可逆, 并求A1.

解: f(A)Of(x)A(a0Am1a1Am2am1I)amI,

1由am0, 得:A1(a0Am1a1Am2am1I).

am

13.已知n阶矩阵A可逆, 、均为n维列向量, 且1TA0, 证明AT

A1TA1可逆, 且(A)A. T11AT11A1TA1)I. 解: 可直接验证(A)(AT11AT1