２０１３正 赣南师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２０１３ 第六期 约化方法下一类含有对手违约的 欧式期权定价模型 潘 坚 （赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州摘３４１０００） 要：在约化方法框架下，假设原生资产服从几何布朗运动，利率和违约强度均服从Ｖａｓｉｃｅｋ模型，利用风 险对冲技巧和无套利原理推导出国债回收条件下的一类含交易对手违约的欧式期权定价模型且利用偏微分方程 方法得到其定价公式．在此基础上，讨论了回收参数对期权价格的影响． 关键词：约化方法；信用风险；国债回收；期权定价；偏微分方程方法 中图分类号：Ｆ８３０．９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００４—８３３２（２０１３）０６—００１３—０５ 近年来，随着场外期权的迅速发展，引起了人们对对手风险越来越多的关注．场外期权由于其对手在到 期Ｅｔ可能无法完成必须的支付而暴露潜在的信用风险，其价值低于同等条件下在场内交易的期权价值， Ｊｏｈｎｓｏｎ和Ｓｔｕｌｚ（１９８７）¨ 称这种期权为脆弱期权．源于美国次贷危机的金融危机，有不少学者，投资者和业 界人士认为由于忽略交易对手风险而对信用产品的错误估价，放大了风险，导致金融危机愈演愈大．所以，对 信用衍生产品的交易对手估值变得越来越重要． 含有信用风险的期权定价模型主要有两类定价方法：结构化方法和约化方法．结构化方法是以Ｍｅｒｔｏｎ （１９７４） 的债券定价理论为基础，假设公司资本结构由资产和负债两部分构成，到期时如果资不抵债就发 生违约．Ｊｏｈｎｓｏｎ和Ｓｔｕｌｚ的论文是首篇在结构化方法下讨论有信用风险的期权定价问题的论文，此模型是 Ｍｅｒｔｏｎ债券定价模型的推广；Ｋｌｅｉｎ（１９９６） 扩展了Ｊｏｈｎｓｏｎ和Ｓｔｕｌｚ的论文，假设交易对手方的价值与标的 资产价值相关时，讨论了有信用风险的期权定价问题；汪刘根 利用偏微分方程方法，在文献［３］的基础上 推导出随机利率模型下的脆弱期权定价公式；吴恒煜（２００７） 考虑了随机利率与随机的对手方负债情形下 的具有信用风险的期权定价问题并得到定价公式；梁歌春，任学敏 利用偏微分方程方法研究了基于首次 通过时间模型的欧式脆弱期权定价并得到定价公式．约化方法，它并不直接考虑违约与公司价值之间的关 系，而是通过一个外生的跳过程来刻画违约事件，违约时刻就是泊松过程发生第一次跳的时刻，其中跳过程 的参数可通过市场数据统计出来的，这种方法认为违约是由外在的某种不可预测的因素造成的．Ｊａｒｒｏｗ和 Ｔｕｎｂｕｌｌ（１９９５） Ｄｕｆｆｉｅ和Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ（１９９９） 分别用这种方法研究了具有违约风险的债券定价问题．傅毅， 张寄洲和王杨 在约化框架下利用偏微分方法分别得到了常数违约强度和确定性函数违约强度的欧式期 权定价公式；苏小囡 在约化框架且在面值回收下利用概率论方法求解出随机利率与随机违约强度相关的 欧式期权定价公式．文献［８］中的回收方式一面值回收不是很合理，期权与债券不一样，期权违约后，没有回 收价值．为了减少投资者的损失，可以考虑国债回收，即期权违约后，期权一文不值，可以采用相同到期Ｅｔ的 国债收益来弥补投资者．本文在约化框架下，假设原生资产服从几何布朗运动，利率和违约强度均服从Ｖａ． ｓｉｃｅｋ模型，利用风险对冲技巧和无套利原理推导出国债回收条件下的一类含交易对手违约的欧式期权定 价模型且利用偏微分方程方法得到其定价公式．最后，讨论了回收参数对期权价格的影响． １数学模型 １．１基本假设 （Ｈ ）原生资产（股票）的价格．ｓ 服从如下随机过程： ｝收稿日期：２０１３一ｏ９—１３ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１０６１００１） 作者简介：潘坚（１９７９一），男，江西寻乌人，赣南师范学院数学与计算机科学学院讲师、硕士，主要从事偏微分方程与金融数学的研究 １４ 赣南师范学院学报 ２０１３伍 ｄＳ ＝Ｓ ［ ＋ｏｒ ｄＷ１（ｔ）］， 其中 为股票的期望增长率，ｏｒ 为股票的波动率且为常数， （ｔ）是标准的布朗运动． （Ｈ：）违约强度Ａ 服从如下随机微分方程 Ｊ： （１） ｄＡ ＝ｎ１［ｂ 一Ａ ］ｄ ＋ｏｒ２ｄ （ｔ）， （２） 其中常数。 为违约强度回归长期均值的速度；常数ｂ 为违约强度的长期均值；常数 为违约强度的波动 率， （￡）是标准的布朗运动． （Ｈ ）随机利率ｒｆ服从如下随机微分方程 Ｊ： ｄｒ ＝口２［ｂ２一ｒＩ］ｄ￡＋ ３ｄ （ｔ）， （３） 其中常数口 为利率回归长期均值的速度；常数ｂ：为利率的长期均值；常数 ，为利率的波动率， （ｔ）是标准 的布朗运动． （Ｈ４）Ｃｏｖ［ｄＷｉ（ ），ｄ （ｔ）］＝Ｐ （ｄｔ），（Ｉ Ｐ ＜１，ｉ， ＝１，２，３且ｉ≠ ，常数Ｐ 表示两个随机源的相关 系数． （Ｈ ）为了减少投资者的损失，假定在期权发行方发生违约时，投资者可以获得 份具有相同到期日的 国债收益，同时为了方便计算，假定 为常数且Ｒ ０． （Ｈ ）市场无摩擦，无套利，不支付交易费，红利和税收． 注：模型假设（２）和（３）中的Ａ 和ｒｉ的取值可能为负，现实中不是很合理，可以考虑ｃ—Ｉ—Ｒ模型，但会 导致期权价格满足的方程是退化抛物型方程，求解也非常复杂且麻烦，文献［２］告诉我们：Ａ 和ｒ｛取值为负 的概率非常小，只要有相应合理的初始值Ａ。和ｒ。． ｉ．２模型建立 根据上面的假设，利用△对冲技巧，在ｔ时刻构造一个投资组合ｎ＝Ｖ—Ａ。Ｓ—Ａ：Ｐ，即Ⅱ是由一份期权 Ｖ：Ｖ（Ｓ，Ａ，ｒ，ｔ）、△ 份的股票Ｓ和△：份的无风险国债Ｐ＝Ｐ（ｒ，ｔ）的组成．在（ｔ，ｔ＋山）时间段内，ｎ的变化 与是否发生违约有关，从而ｄｌＩ并不确定．须分两种情形讨论： 情形１：在（ｔ，ｔ＋ｄ ）时间段若发生违约，其可能性为ａｄｔ，由模型假设５，此时组合的价值变化为 ｄⅡ ’＝一Ｖ＋Ｒ尸． （４） 情形２：在（ｔ，ｔ＋ｄ ）时间段不发生违约，其概率为１一Ａｄｔ．利用Ｉｔｏ公式Ｌ９ｊ，可以得到此时投资组合的价 值变化为： ２Ｖ（ｄｎ ）＝ｄ 一△ｌｄ 一△２ｄＰ＝ ＋ Ｊｓ＋ Ａ＋ ｒ＋ １ ０２Ｖ． ，￣２＋ １ ０２Ｖ（．ｄＡ） １ ０ ＋ 、ｄｒ） ＋ ｄＳｄ人＋ ｄｓｄｒ＋ ｄｒｄＡ＿△ｌｄｓ＿△２［ ＋ ＋ １ ０２Ｐ（ｄｒ ． （５） ＯＰ： 为了消除（５）中的随机项，取△ ＝ ＯＶ和△：ｏＥｐ＝Ｏ Ｖ（Ｏ Ｐ）一 并注意到国债价格Ｐ满足偏微分方程 ＋ １ ２ ＋口：（６ 一，） 一 ：０．综合２种情形，先对ｄＩＩ 取数学期望并略去ｄｔ的高阶项，得到：Ｅ［ｄＩＩ ］： ［ｄⅡ ］（１一ａｄｔ）＋［ｄｎ ”］Ａｄｔ—ｄⅡ ＋［ｄｎ ］Ａｄｔ．然后，根据无套利原理 ，即ｄⅡ ＝ｒＨ ｄｔ．因此，通 过简单计算，得到 ＋ ．ｓ ＋２ｐ１２ＯｒｌＯ－２Ｓ ｎ。（６ 一Ａ ＯＶ＋。 （６ ＯＶｒ 一＋／０１３０＂１０＂３Ｓ ＋ｚｐ２３０－２０－， ］＋ （６） ＋ｒＪｓ 一（ｒ＋ａ）ｖ＋ＡＲ尸＝０． 注意到在看涨情况下，期权的到期收益为： （Ｓ，Ａ，ｒ，Ｔ）＝（ｓ— ） ， 为敲定价格．因此，Ｖａｓｉｃｅｋ模型下具 有信用风险的欧式看涨期权定价模型为： １ ２ ｅ ２Ｚ ＋ ＿１２０－１０－２Ｓ ０２Ｖ＋２ｐ１３－１００－３Ｓ ｆＶ＋２ｐ＋２ｐ２３０－２０＂３ ］＋ （７） 口。（６ 一Ａ） ＯＶ＋口（６ 一ｒ）ｏｖ ＋ｒ．ｓ ＯＶ：（ｒ＋ａ）ｖ＋Ａ Ｐ＝０， 一（Ｓ，Ａ，ｒ， ）＝（Ｓ— ） ． 第６期 潘坚约化方法下一类含有对手违约的欧式期权定价模型 １５ 而在看跌情况下，期权的到期收益为：Ｖ（Ｓ，Ａ，ｒ，Ｔ）＝（Ｋ—Ｓ） ．因此，Ｖａｓｉｃｅｋ模型下具有信用风险的欧式 看跌期权定价模型为： ＋ １［ ２ ｜ｓ ３２Ｖ＋ ； ＋ ； 一１２￣ｒｌｏｒ２Ｓ ０ ２Ｖ＋２ｐ，， 。 ，．ｓ ＯＺＶ＋＋２ｐ０２Ｖ ｊ＋ ｐ２３０＂２０＂３ 。 （６ 一Ａ ＯＶ＋。 （６ ｒ） Ｖ（Ｓ，Ａ，ｒ，Ｔ）＝（Ｋ—Ｓ） ． ２定价公式 ＋ ＯＶ一（ｒ＋Ａ） ＋ＡＲＰ＝。， ８ 定理１ 约化方法框架下，含有交易对手违约的欧式看涨期权定价公式为： ｖ（ｓ ）：ＰＩ ｅ￣＋ａ（Ｎ（ ）－ＫＮ（ ）一 ｝ ＋ ＋即 （９） √２ｄ１。其中： 。＝１ｎ．ｓ＋ ｒ＋ ｃ：（ ）＋Ａ：（ ）， ４２ｄ１ 。ｃ：㈤－６２ ｆ）＋ 口１口， Ａ２（ ）：ｂ２（ 一ｆ）＋ Ｐ２３Ｏｒ２０＂３［一 ｚｒ＋ 等 口１十０１ 一 ＋ ｎ： ＋ ０１ ‘Ｓｉｎ 一 一］一 ， ］＋ 口， 一６ 二 ＿＝ ０’ ［ｚ一 一二 １＿＿＝ 口１］＋Ｐ１３０ｒｔ０＂３［ｚ（ 二＿＿＿１＿＝ ｏ ｔ １一 一— —————＿口。＋— ０ｌ（ａＩ＋口２），１ｏ，２ ‘ —口２ 一 一—０１＋０２— ｌ＋ ｌ ．（ 一 ）＋ 一 ｔ ＋一Ｉ—ｅｏｓｈ （（０ （ ｔ 一 ｆ。））一Ｉ＋ｅ）＿１＋ ）］’ｌ 口； 、 、 、 ’ ］＋ ２１ ２（～）＋著 ０： 一２ ０， ＋ ０， ］＋ ０， ［． ０１ 邶 ‘ 训＋蓦 一２ ＋ ＋ ｐ２３ｏ＇￣ｒ３［（ 一 ）一 二竺：： ！：：：：一 二旦：： ：：：：：＋ 二！：！： ：： ：！：：：：］． Ｏ，１０，２ ａ１ ０，２ Ｏ，１＋０，２ 证明题 ： 注意到在Ｖａｓｉｃｅｋ利率模型下，到期日Ｔ支付１（单位）的零息票国债的价格Ｐ满足如下终值问 ｆ ＯＰ＋≥２等＋。：（６ 一ｒ）筹一ｒＰ＝ｏ（一。。＜ｒ＜＋∞，０≤ｆ ｓ ）， Ｌｐ（，７１）：１． ，（１０） 由文献［９］知道：问题（１０）有唯一显式解： Ｐ（ｒ，ｔ）＝Ｈ（ｔ，Ｔ）ｅ ‘ ， 其 ）＝ 如下 角犟问颢． ｅｘｐ｛ ２ （ ）＿３ 一）］＿ 睾生 ｝． 为了求出问题（７）的表达式，作变换： ＝ｌｎＳ和Ｖ（Ｓ，Ａ，ｒ，ｔ）＝（ｗ（ｘ，Ａ，ｒ，ｔ）＋Ｒ）Ｐ（ｒ，ｔ），通过计算后，化为 ｆｌ 詈＋＋ Ｌ丢（ 警 ，＋ ｌ２ｐｌ２ ０ ３２Ｗ＋＋ ｌ２ｐｌ３ ， ０３２Ｗ＋１＋ ０２３０＂２０＂３ ） ＋一ＡＷ＋ １［卜≥２＋ｐ１。叩 ）］ ，６ｌ十 Ｌｗ（ Ａ，ｒ， ）：（ｅ 一Ｋ）＋一Ｒ ） Ａ］ ＯＷ ６２＋ ｏｗ＝。 其中 （￡）＝古筹＝一 （￡， ）．为了求出问题（１１）的表达式，作变换 （ ，Ａ，ｒ， ）： （ ，Ａ，ｒ，￡） 帕ｎ，其中 口ｌ１＋口１ ’ Ａ（ｔ）＝三一＿— ，通过计算后，化为如下定解问题： １６ 赣南师范学院学报 ２０１３钲 『磐＋ （ ＋ ； ＋ ； ＋ １２０＂１０＂２ ａｘ旦２ＯＡ＋ ］ （ ，Ａ，ｒ，Ｔ）＝（ｅ 一Ｋ） 一Ｒ ＋ ， ： ， ）＋ （ ） ＋ （１２） ［ｒ＋ＢＩ（ ）］ Ｏｘ＋［Ｂｚ（ ）一。・Ａ］ ＋［ ｓ（￡）一口ｚｒ］ Ｏｒ：０ （ ）一 Ｏ＂ｌ， ２其中：ＢＩ（￡）＝ｐ ２ ｌ ２ （ ）＋ｐ ， Ｂ３（ ）＝。ｚ６ ＋ （￡）＝。 ６ ＋ ：２４（ ）＋ｐ：３ ２ （￡）， （ｆ）＋ｐｚ。 ： ｓ （ ）， （￡）＝［ａｌ６－十ｐｚｓ （ ）＋２Ａ（ ）３Ａ（ ）． 为了求解问题（１２），做变换：ｙ：入ｅ ＋Ｃ１（ ），０：ｔｅａ２ｔ＋Ｃ２（￡）， （ ，Ａ， ，￡）：ｕ（ ，），，０，￡）。 （ ，通 过计算后，问题（１２）可化为： ＋丢（ ＋ ２ ２ ＋ ２ ２ ＋２ｐ１２０＂１０＂２ｅａｌｔ ８２Ｕ＋２ｐ１３＂０１＂０３ｅａ２ｔ ａ： ｕ Ｉ＋ ａ２Ｕ帆 ３ｅ ＋［ｒ＋Ｂ１（ ）］ｏｕ ＝。 （ ３） Ｕ（ ， ，Ｙ，Ｔ）＝（ｅ 一Ｋ） 一Ｒ 中，Ｃ１（ ）＝Ｊ． ａｌ６１＋Ｐ２３ ２ （ｓ）＋ ；Ａ（ｓ）ｅ ｄｓ，Ｃ２（ ）＝Ｊ ａ２ｂ２＋，Ｏ２３ ２ ３Ａ（ｓ）＋ （ｓ）ｅ ｄｓ． 为了求解问题（１３），再做变换： ＝ ＋Ａ （￡）０＋Ａ２（ｔ）和Ｕ（ｘ，ｙ，０，￡）＝Ｍ（ｘ ，ｙ，￡），其中Ａ （￡）＝ ，Ａ：（ｆ）＝ｆ［Ｂ （ｓ）一Ｃ：（ｓ）ｅ ］ｄｓ．通过计算后，问题（１３）可化为： ｆ ＋扣㈩ 【 （ 其中 （ｆ）＝ ＋ ３２ｅ。 。， ， ２ｅ ￡ａ矿２Ｍ＋ ） ． ） ）：（ｅ — ）＋一 （ｆ）＋２ｐ１３ １ ３ｅ Ａｌ（ｔ） （ｆ）＝，０１２０＂１ ２ｅ ＋Ｐ２３ ２ ３ｅａｌｔ＋ａ２ｔＡ１（ ）下面利用Ｆｏｕｒｉｅｒ变换Ｈ叫求解问题（１４），令中２（ ，叼， ）＝ｆ ｆ Ｍ（ｘ。，ｙ，ｔ）ｅ ‘缸－＋ ） ｄｙ并对问题 （１４）进行Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，得到如下常微分方程定解问题（ ， 是参数）： ｄ ２ ［ （ ） ＋ ２２ｅ 叼 ＋ （￡） 叼］中２ ｄ ２２ ＝０。 （１５） （ ，田，Ｔ）＝（ｅ 一Ｋ） 一Ｒ． 利用变量分离的方法求解（１５），得到 ２（ ，叼，￡）＝［（ｅｆ—Ｋ） 一 ］ｅ－［ ＋ ｒ／２＋２ｄ２＂￣ｑ＇Ｉ． （１６） 其 ： ， ｆ￣ｒ２（ｓ）ｄｓ —＋∞ ：丁＂０２（ｅ２ａ１Ｔ－－ｅ２ａｌｔ）．刚６ 濑 洧 （１７） ＋∞ Ｍ（ｘ ，），，￡）＝Ｊ．，一∞Ｊ Ｊ．一∞ ［（ 一 ） 一Ｒ］Ｇ（ 一 ，Ｙ一＇７）ｄｊｌｄｎ （ １）２＋ｄｌ＊ｙ２—２ Ⅲ … ： ＝兰 啊一对 （ ， ， ）进行较为繁琐的 ４７ｒ√ｄ ｄ３ 一（ｄ２ ） 。— 二重积分计算，得到 ／２ａ１ 。，）一ＫＮ（ ２ｄ ）一 最后，经过一系列的上述变换回到原变量和原函数，定理１得证．用完全类似的方法，可以得到： 定理２约化方法框架下，含有交易对手违约的的欧式看跌期权定价公式为： 第６期 潘坚约化方法下一类含有对手违约的欧式期权定价模型 １７ （ｓ，Ａ，，， ）：ＰｔＫＮ（一 ２ｄ ）一 －＋ Ⅳ（一 — ２ｄ ）一ＲＩ 』７ （ｓ）出＋ ＋ＲＰ（１８） 其中定理２中的参数同定理１． ３数值分析 下面将利用数值化的方法来说明回收参数 对期权价格的影响（以看涨期权为例）．假定参数满足： ａｌ：０．２，ｂ１＝０．０２，ａ２＝０．３，ｂ２＝０．０５， １＝０．２，ｏｒ２＝０．２５， ３＝０．１５， Ｔ＝１，Ｓｏ：１００，Ａｏ＝０．５，ｒ０＝０．０２，Ｐｌ２＝０．５，Ｐ１３＝一０．７，Ｐ２３＝０．６，Ｋ＝８０． 利用Ｍａｔｌａｂ软件，我们可以分别得到不同回收参数下期权价格与期权敲定价的关系图和期权价格与股票价 格的关系图： ） 图１ 不同回收参数下期权价格与期权敲定价的关系图 图２不同回收参数下期权价格与股票价格的关系图 从图１可以看出：期权价格随着敲定价格的增加而减小这一趋势与回收参数Ｒ无关，但随着Ｒ的增大，期权 价格也随着上涨，这是由于回收率越大，损失更小，期权的到期收益越大．因此，期权的价格也越高．从图２可以 看出：期权价格随着股票价格的增加而上涨这一趋势也与回收参数无关，随着Ｒ的增大，期权价格也随着上涨． 参考文献： ［１］Ｊｏｈｎｓｏｎ Ｈ．，Ｒ．Ｓｔｕｌｚ．Ｔｈｅ ｐｒｉｃｉｎｇ ｏｆ ｏｐｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｅｆａｕｌｔ ｒｉｓｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ，１９８７，４２（２）：２６７—２８０． ［２］达雷尔・达菲（Ｄａｒｒｅｌｌ Ｄｕｆｌｅ），肯尼思・Ｊ辛格尔顿（Ｋｅｎｎｅｔｆｈ Ｊ．Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ）．信用风险：定价、度量和管理［Ｍ］．上海：上海财经大学出版 社．２００９． ［３］Ｐ．Ｋｌｅｉｎ．Ｐｒｉｃｉｎｇ Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ Ｏｐｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ Ｃｒｅｄｉｔ Ｒｉｓｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ，１９９６，２０（７）：１１２１—１１２９． ［４］汪刘根．含有信用风险的期权定价研究［Ｄ］．杭州：浙江工商大学，２００７． ［５］吴恒煜．具有违约风险的欧式期权定价［Ｊ］．经济数学，２００５，２２（４）：３７３—３８３． ［６］Ｌｉａｎｇ，Ｇ．Ｃ．，Ｒｅｎ，Ｘ．Ｍ．Ｔｈｅ ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋ ａｎｄ ｐｒｉｃｉｎｇ ＯＴＣ ｏｐｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｓｉａ—ｐａｃｉｉｆｃ Ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｍａｒｋｅｔｓ，２００７，１４（２）：４５—６８． ［７］ 傅毅，张寄洲，王杨．违约风险的欧式期权定价模型［Ｊ］．上海师范大学学报（自然科学版），２００９，３８（６）：５７３—５７９． ［８］ 苏小囡．不完备市场中的几类期权定价研究［Ｄ］．上海：华东师范大学，２０１２． ［９］Ｗｉｌｍｏｔｔ Ｐ．Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，１９９９． ［１Ｏ］姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３． Ｐｒｉｃｉｎｇ ｆｏｒ ａ Ｋｉｎｄ ｏｆ Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｏｐｔｉｏｎｓ Ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ Ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔｙ Ｄｅｆａｕｌｔ ｉｎ ａ Ｒｅｄｕｃｅｄ ｆｏｒｍ Ｍｏｄｅｌ ＰＡＮ Ｊｉａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃ．ａｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ ３４１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｏｆ ｒｅｄｕｃｅｄ ｆｏｒｍｓ ｍｏｄｅｌ，ｗｅ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ａｓｓｅｔ ｉｓ ｏｂｅｙｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｂｒｏｗｎ ｍｏｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｄｅｆａｕｌｔ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ａｒｅ ｇｏｖｅｒｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｖａｓｉｃｅｋ ｍｏｄｅｌ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ａｍｏｎｇ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ，ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ａｂｏｕｔ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ Ｅｕｒｏｐｅａｎ ｏｐｔｉｏｎｓ ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔｙ ｄｅｆａｕｌｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｈｅｄｇｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ａｒｂｉ￣ａｇｅ—ｆｒｅｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ ｆｏｒｍ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｙｅ ａｌｓｏ ｄｅｒｉｖｅｄ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ＰＤＥ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ａｆｔｅｒｗａｒｄｓ，ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｉｃｅ ｏｆ Ｅｕｒｏｐｅａｎ ｏｐｔｉｏｎｓ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｅｄｕｃｅｄ—ｆｏｒｍ ａｐｐｒｏａｃｈ；ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋ；ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｔｒｅａｓｕｒｙ；ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｉｎｇ；ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｍｅｔｈｏｄｓ
