碎石运输方案设计

摘要：

本文对运输碎石的方案设计建立数学模型。这是一个道路改造项目中安排石料运输的规划问题，目标是在给定的条件下寻求使碎石运输总费用最少的规划方案.问题的关键是给出两个石料供应点的运量，恰当选择铺设临时道路的路线,确定设置码头的数量及位置。注意到通过水运运输碎石时，必须有装有卸，所有如果需要建临时码头,码头数应不小于2。由于S2处离河道处太远，又由于桥的造价很高，所以S2处运的碎石全部通过陆地运输。

为了使总费用在17亿元左右,我们在S1附近建设一个装碎石码头M0 ,可能建设装碎石码头M1 、M2、M3，从码头M1修建的临时道路与AB路的交点为L1，从码头M3修建的临时道路与AB路的交点为L2。从S2处铺设临时道路到临界点Q1.可能在点C处铺设临时道路到临界点Q2. 路线图为

S1（20，,120） M1 M0 （20.2,115）M2 A L1 1）铺设道路的总费用 12wwww =++ ( 1 ） 1w：碎石（碎石）费 M3 S2（180,157） C L2 Q1 Q2 B

关键词：最优解 lingo软件

1

一、问题重述

在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。)S1,S2与公路之间原来没有道路可以利用,需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0。1m。而在A,B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时,平均运输1立方米碎石1km运费为6元;逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A（0，100），B(200，100），s1（20，120），s2(180,157）。河与AB的交点为m4(50，100） （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线,其上另外几点为m1（0,120），m2（18，116），m3（42，108）；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5（74，80)，m6（104,70)，m7（200，50）。桥的造价很高,故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路.为了使总费用最少,如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1,s2所取的碎石量各是多少;指出你的方案的总费用。

二、符号说明

w:修路的总花费；

M0(x0,y0)：卸碎石码头M0的坐标;

Mi(xi,yi)：第i个装碎石码头Mi的坐标,i1,2,,k;

,k；

Li(li,100)：从码头Mi修建的临时道路与AB路的交点Li的坐标，i1,2,，修建它左边的道路需要的碎石取Q(q,100)：AB上的一点（我们称它为临界点）

2

自S1, 修建它右边的道路需要的碎石取自S2；

Qi(qi,100)：从S2修建的临时道路与AB路的交点Qi的坐标，i1,2,s1:临时道路的横截面面积，等于0.4106km2;

,t；

s2：正式铺设的AB道路的横截面面积,等于7.5106km2；

L：AB直线形公路的总长度；

b1:从采石点S1运出的仅用于修建AB公路的碎石数;

b2:从采石点S2运出的仅用于修建AB公路的碎石数。

三、问题假设

1）河有足够的跨度，可以满足在两岸都修建码头； 2）假设每个码头通向AB的临时道路只有一条； 3）除水路外，假设所有的运输道路均为直线型； 4)把河流的上游和下游分别看作两条抛物线的一部分； 5）不考虑题目所涉及范围以外的其他不确定因素产生的费用.

四、模型准备

考虑到在运输方案设计的数学模型中涉及大量的计算公式,为了方便，我们首先用一个示意图表示运输线路，并且逐步依次对各种量的表达式进行讨论. S1 M1 M0 A L1 1)铺设道路的总费用 M2 12wwww =++ ( 1 ) 1w：碎石（碎石）费 2w：运输费 3w：修建码头的费用 总费用w=码头建设费w0+铺设道路的碎石成本费w1+碎石运输费w2.

Mk S2 L2 Q Qt Q1 1)码头建设费w0:

修建一个码头的费用为10元，修建K个码头的费用为w0=k10

3

5

5

2)碎石成本费w1=铺设AB的碎石成本费w10+铺设临时道路的碎石成本费w11：

铺设AB的碎石成本费:w10=200s260109元 铺设临时道路的碎石成本费:

w11=[(s1M0M1L1M2L2MkLk)(s2Q1s2Q2s2Qt)]s160109

其中，s10.4106km2,s1M0(20x0)2(120y0)2,

M1L1(l1x1)2(100y1)2,,MkLk(lkxk)2(100yk)2,

,s2Qt(180qt)2(157100)2,

s2Q1(180q1)2(157100)2,1而x0y0225y01200,

8132x1y1225y11200，x2y212y2650,850,xk32yk12yk650. 503）碎石运输费w2=铺设临时道路的碎石运输费w21+铺设AB的碎石运输费w20：

首先计算铺设临时道路的碎石运输费w20f0f1下面依次计算各段道路的运输费。 从S1出发的临时路段的碎石运费计算：

为计算修建s1M0段道路的运输费，第一步，计算把碎石从s1运到M0的运费.如果把碎石分成无数小份，则每一份的运费与其将来被铺设的位置与采石点之间的距离成正比，所以这段路的运费可以用一个积分式求出来:

s1M0fkr1rt：

f00220xs1109dx10s1M02s1109,

修建M1L1段道路需要的碎石要经过M0运到M1的河流,由于

aby0ayy211y1dy[lnyy21],

b22利用第一型曲线积分可以计算这段河的长度为：

100y11112c1(y25)21dy[(100y)(y25)212ln(y25)1]4844y14y0y1其他河段的长度ci可以类似计算：

y0ci1001(y25)21dy4100yi(3y12)21dy。 25这里，我们假定了M2在下游抛物线上。

4

所以,修建M1L1段道路需要的碎石运费为：

f1(20s1M06c1)M1L1s110910M1L12s1109;

同样得到修建M2L2段道路需要的碎石运费为：

f2(20s1M06c2)M2L2s110910M2L22s1109;

,

fk(20s1M06ck)MkLks110910MkLk2s1109;

从S2出发的临时路段的碎石运费计算：

r110s2Q12s1109;r210s2Q22s1109;其次计算铺设AB的碎石运输费w21f21f22和。则

;rt10s2Qt2s1109

f2kr2tr21，即：

w21等于铺设L1,L2,,Lk,Qt,Qt1,,Q1点左右两边各段道路需要的碎石运输费之

2l2l12l2l199f21(20s1M06c120M1L1)(l1)s21010l1s210;

22l2l12l3l22l2l1l3l299f22(20s1M06c220M2L2)()s21010s210;2222

,

lklk12qlk2lklk1qlk99f2k(20s1M06ck20MkLk)()s21010s210;2222

22qtlkqt1qtqlqq99tkt1tr2t20s2Qt()s21010s210; 2222,

q2q32q1q22q2q3q1q299r2220s2Q2()s21010s210; 2222q1q22q1q2200q1299r2120s2Q1()s21010200q1s210;

222点Q(q,100)中的q为：

qlkqtlklkqt。 22b1是从采石点S1运出的仅用于修建AB公路的碎石数：b1s2q；

b2是从采石点S2运出的仅用于修建AB公路的碎石数:b2s2(200q)。

5

五、模型的建立与求解

kt1条由上可以知道,为了完成AB道路的修建工程，在假定修建1k个码头，

临时道路的情况下，总修建费用为：

w=w0+w1+w2

其中:W0=(K+1）105；

w1=200s260109+[(s1M0M1L1w2=w21+w20，而

w20f0f1fkr1MkLk)(s2Q1s2Qt)]s160109;

rt,w21f21f220x050;0x150;50x2x3;xk1xklk;lk200;0l150;50l2l3;lk1lkqt.qtqt1qt2;q2q1200;f2kr2tr21.

具体的计算表达式如上节，其他的约束条件为：

6

至此，我们已经成功建立了一个关于碎石运输的优化规划数学模型，要求的就是

w在上述约束条件下的最小值. 用Lingo求解得:

k(从河流出发采石方法 到AB的临时道路条数) 2 只从S1取石 3 4 码头数（k+1) 3 4 5 t(从S2出发的临时道路条数） 0 0 0 1 1 2 2 3 4 1 同时从S1、S2取石 3 4 2 3 2 3 1 2 3 1 4 具体程序参见附录.

结论：3码头2道路最优方案总费用为16.8亿元,各有关数据为：

5 2 3 最小费用（亿元) 24。5 21.1 28.7 18。6 18。13 17。82 17。01 18. 16。80 16.98 18.13 18.06 18。9 18.15 18。4 19.2 x020.2,y0115;x1l150;x273.3,y219.6;q1178.5,q2147.6;q132.3;b1930480m3 b2569520m3;

六、模型的评价与模型的改进

模型主要优点：

1） 考虑问题比较全面,我们建立的模型可以对不确定因素的各种情况都进行讨论;

2） 问题描述逐层深入，每个部分的模型建立与求解比较简洁；

7

3） 得到较好的结果,误差主要依赖于Lingo程序及计算机计算的精确度。 模型缺点:

没有建立一个全局动态的模型,不能直接求解出全局的最优结果。比如可以考虑从某条临时道路的中间位置建设另外一条临时道路，建立更科学的网络优化模型。 M0 A 1w:碎石(碎石）费 2w：运输费 S1 M1 S2 L2 L1 Lk Q Qt Q1 1)铺设道路的总费用 12wwww =++ ( 1 ） M2 Mk 七、参考文献

[1］姜启源，谢金星，叶俊。 数学模型. 北京:高等教育出版社,2003.8。 ［2]姜启源，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件. 北京：清华大学出版社，2005。7。

[3］刘光灿，刘简达。 道路改造项目中碎石运输的数学模型. 长沙大学学报,2007年9月，第21卷第5期,1—4.

附录一：

MODEL： Title road; data： sets： LL/

l0=@sqrt（(20-x0)^2+(120-y0）^2)；

l1=@sqrt（(L(1）-x1)^2+（100—y1）^2); !..;

lk=@sqrt（(L(k)-xk)^2+（100-yk)^2）;/ endsets sets: QQ/

q1=＠sqrt（（180-Q1）^2+（157—100）^2);

8

！。.;

qt=＠sqrt((180—Qt）^2+(157-100)^2);/ endsets sets: X/

x1=(-1/8)＊y1^2+25*y1-1200； x2=(3/20）*y2^2—12*y2+650； ！。.;

xk=（3/20)＊yk^2—12＊yk+650;/ endsets

w11=［@sum(L(i)：l（i))+@sum（Q（i）:q（i)）］＊s1＊60＊10^9; s1=0.4*10^-6;

f0=10＊l0^2＊s1*10^9； sets: C/ c1=［（1/8）*(-100+y0)*＠sqrt（（(—1/4）＊y0+25)^2+1)—2＊@log（(100—y0）/4+＠sqrt((（—1/4）＊y0+25)^2+1）]-[（1/8）＊（-100+y1）*@sqrt((（-1/4)＊y1+25)^2+1)-2＊＠log(（100-y1)/4+@sqrt(（（—1/4)＊y1+25)^2+1)］; c2=｛［(1/8）*（—100+y0)*@sqrt（（（—1/4)*y0+25）^2+1）—2*＠log(（100-y0)/4+＠sqrt（((-1/4）＊y0+25）^2+1）]—[2*＠log（@sqrt(（(—1/4）*100+25）^2+1）]}+；/ endsets sets： F/

f1=(20*l0+6＊c1)*l1＊s1＊10^9+10*l1^2＊s1*10^9； f2=(20＊l0+6*c2）*l1*s2*10^9+10＊l2^2*s1＊10^9； f3=(20＊l0+6*c3）*l1*s3＊10^9+10*l3^2*s1＊10^9； f4=(20＊l0+6＊c4)＊l1*s4*10^9+10＊l4^2*s1＊10^9； !.。；

fk=（20*l0+6*ck）＊l1＊sk*10^9+10*lk^2*s1*10^9;/ endsets sets: F2/ f21=（20*l0+6*c1+20＊l1）*(L（1）+（L（2)—L（1））/2）＊s2＊10^9+10*[L1^2+@sqr（(L（2）-L（1）)/2)］*s2*10^9; f22=（20*l0+6*c2+20*l2）*((L(2）—L（1）)/2+(L(3)—L(2))/2)*s2＊10^9+10*［＠sqr(（L(2）-L(1)）/2)+＠sqr（（L(3）-L(2))/2）］*s2*10^9; f23=（20＊l0+6＊c3+20*l3)＊(（L(3）-L(2)）/2+(L（4）—L（3)）/2）＊s2*10^9+10＊[＠sqr((L(3)-L（2））/2）+＠sqr(（L（4)—L(3）)/2)]*s2*10^9; f2k=（20＊l0+6*ck+20*lk）*（（L（k）-L（k-1))/2+(q-L(k))/2）*s2＊10^9+10＊[@sqr(（L（k）-L（k-1））/2）+@sqr（（q-L(k））/2)］*s2*10^9；/ endsets sets: R/

9

r1=10*q1^2＊s1＊10^9; r2=10＊q2^2＊s1*10^9; r3=10*q3^2＊s1＊10^9; r4=10＊q4^2*s1*10^9; ！.。；

rt=10＊qt^2*s1*10^9；/ endsets sets： R2/

r2t=20*qt*（(Q(t)-L(k））/2+（Q(t-1）-Q(t))/2）*s2*10^9+10＊[(（Q(t）—L(k)）/2）^2+(（Q（t—1）—Q(t））/2）^2]＊s2＊10^9; r22=20*q2*（（Q(2）-Q(3))/2+(Q(1）-Q(2))/2)＊s2*10^9+10＊［(（Q（2)—Q(3）)/2)^2+(（Q(1)-Q(2))/2）^2]*s2*10^9; r21=20＊q1*（（Q(1）-Q(2）)/2+（200-Q（1）)/2）＊s2＊10^9+10*[((Q(1)—Q（2））/2）^2+（（200-Q（1）)^2］*s2*10^9/ endsets enddata

[obj］ min w=w0+w1+w2; w0=（1+k)*2*10*10^4；

w1=200*s2＊60＊10^9+［@sum（LL(i）：l(i））+＠sum(QQ:q(i))］*s1*60＊10^9; w2=w21+w20;

w20=＠sum(F（i)：f（i）)+@sum（R（j):r(j））; w21=＠sum(F2（i）:f2（i))+＠sum(R2(j):r2(j)）； q=（L(k)+Q（t)）/2; b1=s2*q;

b2=s2＊（200-q);

0<=l1〈=50〈=l2〈l.。〈lk附录二：

data：

s1=0.4e—6；

s2=7。5e—6;L0=＠sqrt（(x0—20)^2+（y0-120)^2） L1=＠sqrt（(l1-x1）^2+(100-y1）^2) L2=@sqrt（(l2—x2)^2+(100—y2）^2)） Q1=＠sqrt(（180—q1）^2+(157—100)^2）)

enddata ［obj]

min=(1+k)*2＊10＊10^4+200*s2＊60*10^9+(L0+L1+Q1）*s1*60＊10^9+

10＊(L0)^2＊s1*10^9+(20＊L0+6*c1）＊L1*s1＊10^9+10＊（L1）^2*s1*10^9+ （（20*L0*+6*c2）＊L2*s1＊10^9+10＊（L2）^2*s1＊10^9+(20＊L0+6*c1+20

10

＊L1)*(l1+（l2-l1）/2)*s2*10^9+

（20＊L0+6＊c1+20*L2）＊（(l2—l1)/2*(l3-l2)/2)*s2*10^9+10*(l2-l1）/2） c1=［（1/8)*（—100+y0）＊@sqrt((（-1/4）＊y0+25)^2+1）—2*＠log（(100—y0）/4+@sqrt(（(-1/4）＊y0+25)^2+1)］—［(1/8)＊（-100+y1)＊@sqrt（（（—1/4)＊y1+25)^2+1）—2＊＠log((100—y1）/4+＠sqrt(((—1/4)＊y1+25)^2+1)］； b1+b2=1500000；

1000*x200*h1*d1=b1； x10>0; x20>x10; x20〈50; y20>100; y20〈y10;

x10=-0。125*y10^2+25＊y10—1200; x20=-0。125*y20^2+25*y20—1200; b1>0； b2>0; x00<200; x00>x200； y00=100; x2附录三：

min=(1+k）*2＊10*10^4+200*7.5*60＊10^9+[((x0—20）^2+(y0-120)^2)^0.5+(（l1—x1）^2+（100-y1）^2)^0.5

+(（l2-x2）^2+(100—y2)^2)^0.5+(（180-q1）^2+(157—100）^2）^0.5+((180-q2)^2+(157—100）^2）^0。5]＊0。4＊60＊10^9+ 10＊[(x0-20）^2+(y0-120）］＊s1*10^9+((20＊（(x0—20)^2+(y0—120）^2)^0。5+6*c1）*［（l1-x1）^2+(100—y1)^2)］^0.5

*s1*10^9+10＊（l1—x1)^2+（100—y1）^2)s1＊10^9+（(20＊

((x0—20)^2+(y0—120）^2）^0.5+6＊c1)＊（l2-x2)^2+(100—y2)^2）^0.5］＊

s1*10^9+10*（(l2—x2)^2+(100—y2)^2）s1＊10^9+10＊((180-q1)^2+(157-100）

11

^2)*s1*10^9+x0-20)^2+（20＊(y0—120)^2）^0。5 +6*c1+20＊((l1—x1)^2+（100—y1)^2)^0.5） s1=0.4； s2=7。5

b1+b2=1500000;

1000＊x200＊h1＊d1=b1； x10>0； x20>x10; x20<50; y20>100; y20x10=—0。125*y10^2+25＊y10-1200； x20=—0。125＊y20^2+25＊y20—1200； b1〉0; b2〉0; x00<200； x00〉x200; y00=100； x20; x2<50； y2=100; d1=15； h1=0.5; c1=60; d2=4; h2=0.1； c2=20； c3=6； c4=10；

附录四：

min=(1+1）＊2*10*10^4+200*s2*60*10^9+(s1M0+M1L1+s1Q1）*s1*60＊10^9+ 10*（s1M0）^2＊s1*10^9+(20*s1M0+6＊c1）＊M1L1*s1＊10^9+10＊（M1L1)^2＊s1＊10^9+

（20*s1M0+6*c1+20＊M1L1)＊(l1+（l2—l1）/2）*s2*10^9+

20*s2Q1（（q1—q2）/2+(200—q1)/2）＊s2*10^9+10*[(（q1-q2)/2）^2+（200-q1)^2]*s2＊10^9 s1=0。4e（—6）; s2=7.5e（-6)；

s1M0=((x0-20)^2+(y0—120)^2)^0.5 M1L1=（(l1—x1)^2+(100-y1)^2))^0.5

s2Q1=(（180-q1)^2+(157-100）^2)）^0。5

c1=[(1/8)＊（—100+y0)＊@sqrt（((—1/4）*y0+25）^2+1）-2*@log（（（100-y0)/4+@sqrt(（（—1/4）＊y0+25^2+1）］—[(1/8)*(—100)+y1）

12

＊＠sqrt((（—1/4）*y1+25)^2+1）—2＊@sqrt(（100-y1)/4+＠sqrt（（(—1/4)*y1+25）^2+1）］ x1〉0； x2〉x1； x2〈50; y2>100； y2〈y1；

x0=-0.125*y0^2+25*y0-1200; x1=-0。125＊y2^2+25＊y2-1200;

13